Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN LỜI GIỚI THIỆU Vấn đề diện tích hình quen thuộc tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác, … gọi chung đa giác học sinh biết công thức tính diện tích từ lớp Cũng tương tự vấn đề thể tích khối ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung khối đa diện ) học sinh học cơng thức tính thể tích Đây vấn đề thực tế để học tốt vốn khơng đơn giản học sinh có tư hình học yếu , đặc biệt tư cụ thể hoá , trừu tượng hoá Việc dạy học vấn đề chương trình tốn lớp , , 10 , 11 vốn gặp nhều khó khăn nhiều nguyên nhân , yếu tố “trực quan thực tế” sách giáo khoa cịn thiếu Do học vấn đề : vấn đề diện tích hình phẳng , vấn đề thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” tốn tính diện tích hình phẳng tốn tính thể tích vật thể trịn xoay Khi học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích , thiếu tư thực tế trực quan nên em hay bị nhầm lẫn , học không giải , đặc biệt tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích tính Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh hoạ cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tích phân cịn yếu kỹ “đọc đồ thị” hạn chế Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ tính tích phân , đặc biệt tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ đọc đồ thị hàm số , từ khắc phục khó khăn , sai lầm gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức diện tích thể tích mà học sinh học lớp , thấy tính thực tế liên hệ nội vấn đề chương lớp học , học sinh cảm thấy hứng thú , thiết thực học tốt vấn đề ứng dụng tích phân Đây làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên để luyện thi ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ Tài liệu gồm phần : - Phần : Thực trạng giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng tích phân 1/ Những khó khăn sai làm mà học sinh thường mắc phải 2/ Hướng khắc phục - Phần hai Diện tích hình phẳng I.Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hồnh 1/ Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =f(x) trục hoành 2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 3/ Các toán minh họa tập tương tự 4/ Diện tích hình trịn hình elip II Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 1/ Cách tìm giao điểm hai đồ thị 2/ Một vài ví dụ cách tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số 3/ Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số - Phân ba: Thể tích vật thể trịn xoay I Cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay 1/ Vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hoành Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2/ Vật thể tròn xoay tạo quay vật thể quanh trục tung II Thể tích khối cầu , khối trụ 1/ Thể tích khối cầu 2/ Thể tích khối trụ Dù tác giả cố gắng , song viết khó tránh khỏi thiếu sót,rất mong nhận góp ý học sinh quý bạn đồng nghiệp Xin chân thành cám ơn Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN PHẦN MỘT Thực trạng giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng tích phân 1/ Những khó khăn sai lầm mà học sinh thường mắc phải Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân , đặc biệt tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ,tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hồnh trục tung Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH Nhìn chung học vấn đề , đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi ) thường gặp khó khăn , sai lầm sau : - Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung hình phẳng (hay vật thể trịn xoay ) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước ( diện tích đa giác , thể tích khối đa diện …).Học sinh không tận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề -Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng , vật trịn xoay học -Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu - Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật trịn xoay ) cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức , kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối b Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : I = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a Học sinh : công thức trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu khoảng (a ; b) Ví dụ : S = ∫ x − x + dx Học sinh viết sai : S = ∫ ( x − x + 2)dx 2/ Hướng khắc phục - Giúp học thành thạo kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối cách linh hoạt tùy thuộc vào tình cụ thể cách sau : + Hoặc cách xét biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dùng công thức sau : b I = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Với điều kiện f(x) không đổi dấu khoảng (a ;b) - Đưa nhiều tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy dạy phụ đạo để học sinh tham khảo Qua rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị vận dụng vào giải tốn Giúp học có hình ảnh trực quan hình phẳng Từ học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế , hứng thú - Đưa hệ thống tập tương tự có hình vẽ kèm theo khơng có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn tập tiêu biểu để giảng giải , số lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm nhà nộp làm cho giáo viên PHẦN HAI Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH 1/ Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a ; b] Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích S tính theo cơng thức : b S = ∫ f ( x) dx (1) a  Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối b • b Nếu f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ a ; b] S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx a b a • a b a Nếu f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a ; b] S = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − f ( x ) ) dx  Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau : -Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bật nhất” , định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f(x) ; đơi phải giải bất phương trình f(x) ≥ , f(x) ≤ đoạn [ a ; b] -Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn [ a ; b] để suy dấu f(x) đoạn • Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ a ; b] • Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a ; b] b -Cách Nếu f(x) không đổi dấu [a ; b] ta có : S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a 2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Vd : Tính I = ∫ x + dx −2 Xét dấu nhị thức bậc f(x) = 2x + x -∞ f(x)=2x + - -2 0 +  +∞ + Suy x + ≥ , ∀x ∈ [ - 2;0] Do I = ∫ −2 x + dx = ∫ ( x + 4)dx = ( x + x) −2 [ ] = − ( −2) + 4(−2) = −2 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vd : J = ∫ − x + x − dx Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 2x – , có ∆' = 12 − (−1)(−2) = − = −1 < , a = - < Suy f(x) < ∀x ∈ R x f(x)= -x2 + 2x - -∞ -2 - - -5 +∞ - Suy f ( x) < , ∀x ∈ [ 0;3] 3 x3 J = ∫ − x + x − dx = ∫ ( x − x + 2)dx = ( − x + x ) 0 2  03  27 33 = − + 2.3 −  − − 2.0 = −9+6−0 = 3  2 Vd K = ∫ x − 3x + dx Cách Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + , có a = > ; x = x − 3x + = ⇔  x = x -∞ 2 f(x)= x - 3x + + + 0 Suy f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) ≤ , ∀x ∈ [1;2] +∞ + 2 Do : K = ∫ x − 3x + dx = ∫ ( x − x + 2)dx − ∫ ( x − x + 2)dx 2 =( 1 x 3x x 3x − + x) − ( − + x) = - (− ) =1 3 3 Cách 2 K = ∫ x − 3x + dx = ∫ ( x − x + 2)dx + ∫ ( x − x + 2)dx = 2 −1 + =1 6 3/ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hồnh Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + , trục hoành , đường thẳng x = - , x = y f (x) = 2⋅x+4 x -2 O Hình Giải Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ∫ x + dx Diện tích S hình phẳng S = −2 Từ hình vẽ , suy x + ≥ , ∀x ∈ [ - 2;0] [ ] = − (−2) + 4(−2) = (đvdt) −2 −2 −2 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= - 2x - , trục hoành Ox, trục tung Oy đường thẳng x = - Do S = ∫ x + dx = ∫ (2 x + 4)dx = ( x + x) y x O -2 f( x ) = -2 ⋅ x-4 Hình Giải Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = -2x – , trục hoành hai đường thẳng x = - , x = Diện tích S hình phẳng S = ∫ − x − dx −2 Từ hình vẽ , suy − x − ≥ , ∀x ∈ [ - 2;0] [ ] = − (−2) + 4(−2) = (đvdt) −2 −2 −2 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng (được tơ màu ) sau : Do S = ∫ − x − dx = ∫ (2 x + 4)dx = ( x + x) y O -2 f( x ) = x A x B Hình Giải : Hình phẳng giới hạn bốn đường y = x ,trục hoành hai đường thẳng x = , x = 3 Diện tích S hình phẳng S = ∫ x dx Vì x ≥ , ∀x ∈ [ 0;3] S=∫ x 32 x dx = ∫ xdx = ( ) = − = 2 2 (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng (có tơ màu ) sau Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y f( x ) = x O -2 1B A x Hình Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành hai đường thẳng x = , x = 2 Diện tích S hình phẳng S = ∫ x dx Vì x ≥ , ∀x ∈ [ 0;2] 2 x 23 03 ) = − = (đvdt) 3 3 0 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox hai đường thẳng x = -1 ; x = S = ∫ x dx = ∫ x dx = ( y A O -1 -2 B 3x -4 f( x ) = -x Hình Giải Diện tích S hình phẳng S = ∫−x dx −1 Từ hình vẽ , suy x ≤ , ∀x ∈ [ - 1;2] 2 x3 2 (−1) S = ∫ − x dx = ∫ x dx = ( ) = − = + =3 −1 3 3 −1 −1 2 (đvdt) Bài tốn Hình thang sau giới hạn đường thẳng y = -x – , y = , x = x = Hãy tính diện tích hình thang Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y A O -2 -1 B x f( x) = -x-2 -4 Hình Giải Diện tích S hình phẳng S = ∫ − x − dx Từ hình vẽ , suy − x − ≤ , ∀x ∈ [ 0;3] 32  02  x2 21 S = ∫ − x − dx = ∫ ( x + 2)dx = ( + x) = + 2.3 −  + 2.0 = + = (đvdt) 2 2  0 Bài toán Cho hàm số y = -x2 +2x – có đồ thị (C ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) , trục hoành hai đường thẳng x =0 , x = 3 y A O -2 -1 B x f( x ) = ( -x 2+2⋅ x) -2 -4 (C) Hình Giải Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = -x2 +2x - , trục hoành đường thẳng x = , x = Diện tích S hình phẳng S = ∫ − x + x − dx Từ hình vẽ , suy − x + x − ≤ , ∀x ∈ [ 0;3] 3 S = ∫ − x + x − dx = ∫ ( x − x + 2)dx = ( = x3 − x + x)  03  27 33 − + 2.3 −  − − 2.0 = − + − = (đvdt) 3  Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài tốn Hãy tính diện tích hình phẳng (có tơ màu ) sau đây: y f( x) = x2+2⋅ x+2 B A -2 -1 O x Hình Giải Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 +2x +2 , trục hoành đường thẳng x = -1 , x = Diện tích S hình phẳng S = ∫x + x + dx −1 Từ hình vẽ , suy x + x + ≥ , ∀x ∈ [ - 1;1] S= ∫ −1 x + x + dx = ∫ ( x + x + 2)dx = ( −1 x3 + x + x) −1  (−1)  13 −1 1 14 + + 2.1 −  + (−1) − 2 = + − ( + − 2) = + + + = (đvdt) 3 3   Bài tốn 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số y = x3 –x2 + , trục hoành Ox đường thẳng x = - ; x = = y f( x) = ( x3-x2) +2 A -2 -1 O B x Hình Giải : Diện tích S hình phẳng S = ∫x − x + dx −1 Từ hình vẽ , suy x − x + ≥ , ∀x ∈ [ - 1;2] S= ∫ −1 = 2 x − x + dx = ∫ ( x − x + 2)dx = ( −1 x4 x3 − + x) −1 2 (−1) (−1) 16 1 1 85 − + 2.2 − ( − − 2) = − + − ( + − 2) = − + − − + = (đvdt) 4 4 3 12 10 4 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3 y b/Diện tích hình phẳng cần tìm : S = ∫ y − x dx = ∫ − = − (ln x − ) dx = x −1 = − ln + ln = − ln + = ln (đvdt) Bài tập tương tự : −1 ∫ x − dx 2 − 10 − − − − x x −1 , đường thẳng x+2 y = , y = -2x – (Hình 29).Tính diện tích hình phẳng − Bài Hình phẳng sau giới hạn đồ thị hàm số y = y x − − − − 2 − Hình 31 − Bài Tính diện tích hình phẳng sau : (∆ ) (d) Hình 32 x − 3x + Biết (C ) đồ thị hàm số y = ; đường thẳng d qua hai điểm x +1 (4 ;0) ( ; - 4) ; đường thẳng ∆ tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Bài Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường y = x + , trục hoành , hai đường thẳng x = ; x = Thể diện tích hình phẳng (H) Bài Hình phẳng sau giới hạn đường y = 2x2 - 3x + , y = , x = - , x = Tính diện tích hình phẳng y x -5 Hình 33 27 10 x -5 10 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN -2 Bài Cho hình phẳng sau giới hạn parabol (P) trục hoành.Biết (P) qua ba điểm (0 , 0) ; (2 , 0) (2 , 4) y x -10 -5 -2 Hình 34 -4 a/ Viết phương trình parabol (P) b/ Tính diện tích hình phẳng cho Bài Cho hình phẳng (H) giới hạn hai đường parabol (P) đường thẳng (d) hình vẽ sau : -6 y Hình 35 Biết parabol (P) qua gốc toạ độ O(0,0) điểm (2; -4) ; đường thẳng (d) qua hai điểm -5 10 (2 ; -4 ) (-2 ; 0) a/ Viết phương trình đường thẳng (d) parabol (P) b/Tính diện tích hình phẳng cho - Bài 7.Cho hình phẳng sau : x Hinh 36 a/ Viết phương trình parabol b/ Tinh diện tích hình phẳng cho Bài Cho hình phẳng sau giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2) trục hoành 28 -2 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Hinh 37 a/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y =f(x) với trục hồnh b/ Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau : π 3π y = sin x , y = , x = ; x= 2 Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ; y = x3 -3x2 + 3x - tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x = Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + , tiếp tuyến với parabol điểm M(3 ; 5) trục tung Bài 12 Cho hình phẳng giới hạn đường sau y = x.e x y = , trục tung đường thẳng x =1 Tính diện tích hình phẳng Bài 13 Cho hình phẳng giới hạn đường π 4 Bài 14.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y =x , y = - x2 , x = Bài 15.Cho hình phẳng (H) giới hạn đường π y = + sinx , y = , x = , x = -6 -2 Tính diện tích hình phẳng trên.4 y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = y x -2 Bài 16 Cho hình phẳng sau giới hạn đường y = thẳng (d) qua hai điểm (-2 ;0) , ( ;2) −x+2 , y = đường 2x + Hình 38 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) b/ Tính diện tích hình phẳng Bài 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ; y = x3 -3x2 + 3x - tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x = 29 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + , tiếp tuyến với parabol điểm M(3 ; 5) trục tung Bài 19 Tính thể tích vật thể trịn xoay , sinh hình phẳng giới đường sau quanh trục Ox : a/ y = , y = 2x - x2 b/ y = sin2x , y = , x = , x = Bài 20 Cho hình phẳng giới hạn đường sau y = x.e x y = , trục tung đường thẳng x =1 a/ Tính diện tích hình phẳng b/ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục Ox Bài 21 Cho hình phẳng giới hạn đường π y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Bài 22.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y =x , y = - x2 , x = Bài 23.Cho hình phẳng (H) giới hạn đường π y = + sinx , y = , x =0- , x =- 4 -2 Tính diện tích hình phẳng -2 −x+2 Bài 24 Cho hình phẳng sau giới hạn đường y = , y = đường 2x + thẳng (d) qua hai điểm (-2 ;0) , ( ;2) y x Hình 39 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) b/ Tính diện tích hình phẳng Bài 25 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b/Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C ) c/Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đường thẳng y = -x2 + Bài 26.Tính diện tích hình phẳng sau : 30 -3 -4 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y Hình 40 Bài 27 Cho hàm số -4 y = - x − 3x -+ 2 -1 x -2 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ- thị (C ) điểm uốn c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục tung tiếp tuyến (d) -4 Hình 41 31 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN PHẦN III THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY I Cơng thức tính vật thể trịn xoay / Vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hồnh Chú ý  Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b , ( a < b) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức : b V = π ∫ [ f ( x)] dx a Bài tốn 31 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x2 , y = , x = , x = Giải: 2 x5 32 32π V = π ∫ ( x ) dx = π ∫ x dx = π =π( − ) = (đvtt) 5 5 0 Bài tốn 32 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x2 – 2x , y = , x = , x = 1 x5 x 8π 2 4 V = π ∫ ( x − x) dx = π ∫ ( x − x + x )dx = π ( − x + ) = (đvtt) 15 0 Bài toán 33 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x3 – 3x , y = , x = , x = 1 V = π ∫ ( x − x) dx = π ∫ ( x − x + x )dx = π ( 0 x7 x5 x3 −6 +9 ) 68π x 6x − + 3x ) = (đvtt) 35 Bài tốn 34 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x + x , y = , x = , x = = π( 1 x5 x 38 V = π ∫ x + x dx = π ∫ ( x + x + x ) dx = π ( + x + ) = π 15 0 2 (đvtt) Bài tốn 35 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x + x , y = , x = , x = 32 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 x 3 x 16 V = π ∫ ( x + x ) dx = π ∫ ( x + x)dx = π ( + ) = π 11 0 2 (đvtt) Bài tốn 36 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = e x , y = , x = , x = 1 π V = π ∫ (e ) dx = π ∫ e x dx = π ( e x ) = (e − 1) 2 0 1 x (đvtt) Bài tốn 37 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = ln x , y = , x = , x = e e e V = π ∫ (ln x) dx = π ∫ ln xdx (đvtt) 1  u = ln x du = ln x dx ⇒ x Đặt  dv = dx v = x  e e e e e e x Do ∫ ln xdx = uv − ∫ vdu = x ln x - ∫ x2lnx dx = e ln e − ln − 2∫ ln xdx = e − I 1 1 e I = ∫ ln xdx 1  u = ln x du = dx ⇒ x Đặt  dv = dx v = x  e e e e I = ∫ ln x = ( x ln x ) − ∫ dx = e ln e − ln − ( x ) = e − (e − 1) = 1 1 e e 1 2 Suy V = π ∫ (ln x) dx = π ∫ ln xdx = π(e – 2) (đvtt) Bài tốn 38 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = sin x , y = , x = , x = π π π π − cos x ππ V = π ∫ (sin x) dx = π ∫ sin xdx = π ∫ ( ) dx = ∫ (1 − cos x)dx (đvtt) 0 2 π π π 1 π π2 ( x − sin x) = (π − sin 2π − + sin 0) = (π − − + 0) = (đvtt) 2 2 2 Bài tốn 39 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x − , y = 2x -4 , x = , x = = 33 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Giải y (C) -3 -2 -1 x O -1 -2 -3 -4 d Hình 42 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 2x - , y = , x = , x = quanh trục hoành Ox 2 32π 4x3 V1 = π ∫ (2 x − 4) dx = π ∫ (4 x − 16 x + 16)dx = π ( − x + 16 x) = (đvtt) 3 0 Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x2 – , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 256π V2 = π ∫ ( x − 4) dx = π ∫ ( x − x + 16)dx = (đvtt) 15 0 256π 32π 32π − = Thể tích vật thể trịn xoay cần tính : V = V2 − V1 = (đvtt) 15 Bài tốn 40 Gọi (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = –x2 , trục hoành đường thẳng y=x+2 y d (C) -3 x -2 -1 O -1 -2 Hình 43 Giải Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x + , y = , x = -2 , x = quanh trục hoành Ox 34 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 x3 + x + x) = 9π (đvtt) −2 −2 −2 Gọi V2 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 4- x2 , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 53π V2 = π ∫ (4 − x ) dx = π ∫ (16 − x + x )dx = (đvtt) 15 1 53π 188π + 9π = Thể tích vật thể trịn xoay cần tính : V = V2 + V1 = (đvtt) 15 15 V1 = π ∫ ( x + 2) dx = π ∫ ( x + x + 4)dx = π ( Bài tập tương tự Bài Cho hình phẳng sau giới hạn parabol (P) đường thẳng d a/ Viết phương trình parabol (P) đường thẳng d b/ Tính diện tích hình phẳng c/ Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng sau quanh trục hoành y d (P) x -3 -2 -1 -1 O -2 -3 Hình 44 Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay , sinh hình phẳng giới đường sau quanh trục Ox : a/ y = , y = 2x - x2 b/ y = sin2x , y = , x = , x = x2 − x +1 Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C ) x −1 Hình phẳng sau giới hạn đồ thị (C ) , tiệm cận xiên ∆ đường thẳng x = , x=3 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh 35 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y x O -3 -2 -1 -1 d -2 (C) -3 Hình 46 Bài Cho hàm số y = x – 3x + có đồ thị (C ) a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C ) điểm có hồnh độ c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , đường thẳng x = tiếp tuyến ∆ d/ T ính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh y (C) -3 -2 x -1 -1 O -2 -3 -5 Hình 47 36 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2/ Vật thể trịn xoay quanh hình phẳng quanh trục tung  Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) , trục tung hai đường thẳng y = m , y = n , ( m < n) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo công thức : n V = π ∫ [ g ( y )] dy m Bài toán 41 Cho hình phẳng giới hạn các đường sau : y = ln x , trục tung , hai đường thẳng y = , y = Tính thể vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung Giải : Ta có y = ln x ⇔ x = e y Do thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng tạo đồ thị hàm số x = ey , trục tung hai đường thẳng y = , y = : V = π ∫ e y dy = π 2y 1 π e = π (e − e0 ) = (e − 1) (đvtt) 2 Bài toán 42 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C ) : x + y = , trục tung , hai đường thẳng x = , y = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung y (E) -2 O x Hình 48 Giải 2 2 Ta có (C ) : x + y = ⇔ y = − x ⇔ y = − x2 ,y≥0 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn nửa elip (E ) , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung π π 11 11π V1 = π ∫ ( − x ) dx = ∫ (4 − x )dx = = 40 12 1 (đvtt) Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung 37 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 V = π ∫ dx = π ∫ 4dx = 8π (đvtt) 11π 85 = (đvtt) 12 12 3/ Thể tích khối cầu , khối trụ ,khối nón , khối nón cụt Thể tích vật thể cần tính : V = V2 − V1 = 8π − a/ Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2 với r > y ≥ (hình 49) Quay nửa hình trịn quanh trục hồnh ta mặt cầu có bán hính r Thể tích mặt cầu : V = π r 3 (đvtt) y (P) x -2 -r -1 O r -1 Hinh 49 Thật : Giải : Ta có Với y ≥ ta có : y = Và có diện tích x2 + y2 = r ⇔ y = ± r − x2 r − x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hồnh r r x3 r V = π ∫ ( r − x ) dx = 2π ∫ (r − x )dx = 2π (r x − ) −r 2 r3 4π r = 2π (r − ) = 3 2 (đvtt) b/ Thể tích khối trụ : Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành đường thẳng x = ; x = h ( h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hồnh ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể trịn xoay ( khối trụ )này : h h V = π ∫ r dx = (π r x) = π r h − π r = π r h 0 38 (đvtt) Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN c/ Thể tích khối nón trịn xoay Cho hình phẳng (H) ( tam giác vng ) giới hạn đồ thị hàm số r y = x (r > , h > 0) ; trục hoành hai đường thẳng x = ; x = h (hình 50) h Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón : h r r2 r x h π r h π r h V = π ∫ ( x) dx = π ∫ x = ( π ) = = h 3 h h 3.h h (đvtt) y (d) r x O h Hình 50 d/ Thể tích khối nón cụt y (d) R r O x a b Hình 51 r x , trục hồnh hai đường a thẳng x = a ; x = b ( b > a > ; R > r > ) Hình 51 Quay hình thang vng quanh trục hồnh ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R , bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành : Cho hình thang vng giới hạn đồ thị hàm số y = r π r V = π ∫ ( x) dx = a a a b ∫ x dx = ( π r x3 b π r 3 π r ) = (b − a ) = (b − a).(b + ab + a ) 2 a a 3a 3a Vì x = a ta có y = r x = b ta có y = r 39 b R b =R⇒ = a r a Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Do π r π r h b b π r h R R 2 V= h.(b + ab + a ) = ( + + 1) = ( + + 1) a r 3a a r = π h ( R + R.r + r ) ( đvtt) π R b π r a π Chú ý : V = − = ( R b − r a ) 3 KẾT LUẬN Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua nhận thấy , tài liệu “Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng tích phân” giúp tơi thu nhiều kết khả quan.Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan ,cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học Từ , em học sinh rât thích thú học tốt vấn đề 40 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Nhận xét , đánh giá đề tài Hội đồng khoa học nhà trường : -Nhận xét , đánh giá đề tài Hội đồng khoa học cấp : - 41 ... ý học sinh quý bạn đồng nghiệp Xin chân thành cám ơn Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN PHẦN MỘT Thực trạng giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng tích. .. dụng tích phân 1/ Những khó khăn sai lầm mà học sinh thường mắc phải Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ... tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan ,cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học Từ , em học sinh rât thích thú học tốt vấn đề 40 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG