HƯỚNG ĐẾN KỲ THI THPT 2022 MỘT SỐ CÔNG THỨC ÔN TẬP TOÁN 12 HK1 MÔN: TOÁN Giáo viên: VŨ QUN CHƯƠNG 1: HÀM SỐ I CƠNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG Ba điểm cực trị hàm trùng phương tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện STT Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC Tam giác ABC có góc BAC =  Tam giác ABC có diện tích SABC = S0 Tam giác ABC có diện tích max ( S ) Cơng thức thỏa ab  8a + b3 = 24a + b3 =  8a tan = − b 32a ( S0 ) + b5 = S0 = − r0 = b5 32a b2  b3 a 1 + −  a      Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp rABC = r0 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 a.m02 + 2b = Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16a n02 − b + 8ab = Tam giác ABC có cực trị B, C  Ox 10 Tam giác ABC có góc nhọn b(8a + b3 )  11 Tam giác ABC có trọng tâm O b − 6ac = 12 Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a − 4ac = 13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RABC = R0 R= 14 Tam giác ABC điểm O tạo hình thoi b − 2ac = 15 Tam giác ABC có O tâm đường tròn nội tiếp b3 − 8a − 4abc = 16 Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp b3 − 8a − 8abc = 17 Tam giác ABC có cạnh BC = k AB = k AC 18 19 20 Trục hồnh chia ABC thành hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành b − 4ac = b3 − 8a 8ab b3 k − 8a(k − 4) = b = ac b − 8ac = 2   2   Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC là: x + y −  − + c y + c −  =  b 4a   b 4a  Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success II CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÀM SỐ BẬC 3: y = ax3 + bx + cx + d ( a  ) Ta có y = 3ax + 2bx + c Cơng thức 1: Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt  Δ   b − 3ac  Công thức 2: Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị y  = vơ nghiệm có nghiệm  b − 3ac  Công thức 3: Cơng thức phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba theo a, b, c, d  2c 2b2  bc y = − x+d − 9a  9a  Cơng thức 4: Tìm m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d , ( a  ) đối xứng qua đường thẳng d : y = kx + e  y1 = kx1 + e  Khi đó, m thỏa hệ   b2     c − 3a   k = −1    III CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÀM SỐ PHÂN THỨC - Hàm phân thức y = - Đặt f ( x ) = p ( x) q ( x) u ( x) v ( x) có đường thẳng qua điểm cực trị y = u ( x ) v ( x ) hàm phân thức, p ( x ) q ( x ) hàm đa thức Nếu bậc đa thức tử số p ( x ) nhỏ bậc đa thức mẫu số q ( x ) , y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) a đường b tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) , a, b hệ số hạng tử có bậc Nếu bậc đa thức tử số p ( x ) bậc đa thức mẫu số q ( x ) , y = cao đa thức tử số p ( x ) đa thức mẫu số q ( x ) Nếu bậc đa thức tử số p ( x ) lớn bậc đa thức mẫu số q ( x ) đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có tiệm cận ngang Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS Cơng thức 1: Ta có khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y= ax + b là: cx + d d1 = x0 +  d1  d = cx + d d a ad − bc = ; d = y0 − = c c c c ( cx0 + d ) cx0 + d ad − bc ad − bc  = = p c c  ( cx0 + d ) c2 Vậy tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y = ax + b đến hai đường tiệm cận cx + d không đổi ax + b cho khoảng cách từ M cx + d đến đường tiệm cận đứng k lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang d  x0 = −  kp c Công thức 2: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị hàm số y = Công thức 3: Tìm điều kiện cho tổng khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị hàm số y= ax + b đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số Ià nhỏ cx + d Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: d1 + d  d1d = Dấu xảy d1 = d  ad − bc =2 p c2 cx0 + d ad − bc =  ( cx0 + d ) = ad − bc c c ( cx0 + d ) ax + b cho khoảng cách từ M cx + d đến điểm I ngắn nhất, biết I giao điểm hai đường tiệm cận Cơng thức 4: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị hàm số y =  IM  ad − bc d , dấu xảy x0 = −  p c c Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success CHƯƠNG 2: HÀM SỐ MŨ, LÙY THỪA VÀ LOGARIT I CƠNG THỨC LŨY THỪA Cơng thức lũy thừa Cho số dương a, b m, n  a n = a.a a với n  a0 = * n so a (a m ) n = a mn = (a n ) m a a = a m+n a nb n = (ab) n a a =  bn  b  n m n a−n = an am = a m−n n a n m an = a  a = a2 n m  a =a (m, n  * ) II CƠNG THỨC LOGARIT Cơng thức logarit: Cho số a, b  0, a  m, n  log a b =   a = b lg b = log b = log10 b ln b = log e b log a = log a a = log a a n = n log a b n = n log a b log am b n = b log a   = log a b − log a c c a loga b = b  logb c = c logb a a log a c = log b c , ( b  1) log a b log a b = log am b = log a b m log a (bc) = log a b + log a c log a b.log b c = log a c , ( b  1) n log a b m , ( b  1) log b a III.ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT a) Điều kiện xác định hàm số mũ Dạng: a  với  y=a a  y = ax u Tập xác định: D = b) Điều kiện xác định hàm số logarit Dạng: y = log a x a  với  y = log a u a  → y = ln x ; a = 10 ⎯⎯ → y = log x = lg x Đặc biệt: a = e ⎯⎯ Điều kiện xác định: u  Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS IV.CÔNG THỨC ĐẠO HÀM a) Đạo hàm hàm số mũ y = a x ⎯⎯ → y = a x ln a y = au ⎯⎯ → y = a u ln a.u ' Đặc biệt: (e x ) = e x (eu ) = eu u ' b) Đạo hàm hàm số logarit x ln a u' y = log a u ⎯⎯ → y = u ln a V CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP y = log a x ⎯⎯ → y = Đặc biệt: x u' (ln u ) = u (ln x) = a) Lãi đơn: Lãi đơn phần lãi kì sau tính số tiền gốc Giả sử số tiền gốc A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể tháng, q hay năm) Cơng thức tính số tiền nhận gốc lãi sau n kì hạn gửi là: Sn A(1 nr ) b) Lãi kép: Lãi kép phần lãi kì sau tính số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi kì trước Giả sử số tiền gốc A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể tháng, q hay năm) Cơng thức tính số tiền nhận gốc lãi sau n kì hạn gửi Sn A(1 r ) n * Ở trình bày cơng thức hay xuất kì thi, bạn muốn tìm hiểu tham khảo thêm Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1 ) , ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) với (H 1) để khối đa diện ( H ) (H) (H 2) 2.KHỐI ĐA DIỆN LỒI 2.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 2.2 Khối đa diện 2.2.1 Định nghĩa - Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: - Các mặt đa giác n cạnh - Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh   - Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p 2.2.2 Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại {3;3} , loại {4;3} , loại {3; 4} , loại {5;3} , loại {3;5} Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 2.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Số MPĐX Tứ diện 4 {3;3} Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS 6 Khối lập phương 12 {4;3} Bát diện 12 {3; 4} Mười hai mặt 20 30 12 {5;3} 15 Hai mươi mặt 12 30 20 {3;5} 15   Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ = 2C = nM 2.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 2.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó: - Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều; - Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 2.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 2.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 2.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: - Ba đường chéo cắt trung điểm đường - Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; - Ba đường chéo Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 3.1 Thể tích khối chóp Nội dung V = S Ð h S Ð : Diện tích mặt đáy Hình vẽ h : Độ dài chiều cao khối chóp 3.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung V = S Ð h Hình vẽ S Ð : Diện tích mặt đáy h : Độ dài chiều cao khối lăng trụ Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 3.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung V = abc Hình vẽ 3.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V = a3 3.5 Tỉ số thể tích VSA ' B 'C ' VSABC Hình vẽ Nội dung SA ' SB ' SC ' = SA SB SC S Thể tích hình chóp cụt A ' B ' C ' ABC h V = B + B '+ BB ' Với B, B ', h diện tích hai đáy chiều cao ( ) B’ A’ C’ A B C 3.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt - Đường chéo hình vng cạnh a a Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS - Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a 2 - Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là: a + b + c - Đường cao tam giác cạnh a là: a CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 4.1 Hệ thức lượng tam giác 4.1.1 Cho ABC vuông A , đường cao AH - AB + AC = BC - AB = BH BC - AC = CH BC - AH BC = AB AC - AH = BH HC 1 = + 2 AH AB AC 4.1.2 Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p - Định lí hàm số cosin: a = b + c − 2bc.cos A , b = a + c − 2ac.cos B , c = a + b − 2ab.cos C a b c = = = 2R sin A sin B sin C b2 + c a a + c b2 a + b2 c2 2 ma = − mb = − mc = − , , - Độ dài trung tuyến: - Định lí hàm số sin: 4.2 Các cơng thức tính diện tích Hình Tam giác S S S S Công thức 1 = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc.sin A = ac.sin B = ab.sin C 2 abc = 4R = pr S= p ( p − a )( p − a )( p − a ) Hình vng S = a2 Hình chữ nhật S = ab Hình bình hành S = đáy  cao = AB AD.sin BAD Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success Hình thoi S = AB AD.sin BAD = Hình thang AC.BD ( a + b ) h ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) S = AC.BD S= Tứ giác có hai đường chéo vng góc MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Hình vẽ Nội dung Cho hình chóp SABC với mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) , A ( SBC ) vng góc với đơi một, diện tích tam giác ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) S1 , S , S3 S 2S1S2 S3 Khi đó: VS ABCD = C B Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với ( ABC ) , hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với S nhau, BSC =  , ASB =  Khi đó: VS ABCD SB3 sin 2 tan  = 12 C A B Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên b Khi đó: VS ABCD = a 3b − a 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC = a3 tan  24 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC 3b3 sin  cos  = S C A G M B Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , S cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC a3 tan  = 12 C A G M B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = SB = SC = SD = b Khi đó: VS ABCD = S a 4b − 2a D A M O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc S tạo mặt bên mặt phẳng đáy  Khi đó: VS ABCD = a3 tan  A D M O B C Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , S    SAB =  với    ;  4 2 Khi đó: VS ABCD D a3 tan  − = A M O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a , S   góc tạo mặt bên mặt đáy  với    0;   2 Khi đó: VS ABCD = 4a tan  ( + tan  ) A O B C Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi ( P ) mặt phẳng qua A song song với BC vng góc S F N với ( SBC ) , góc ( P ) với mặt phẳng đáy  Khi đó: VS ABCD = a co t  24 D M A E C x G M B Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success 11 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V = A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương S G2 2a Khi đó: V = 27 D A G1 N M C B S' CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức Điều kiện tứ diện abc  SA − cos  − cos  − cos  + cos  cos  cos  = a, SB = b, SC = c   ASB =  , BSC =  , CSA =  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện VABCD = abd sin   AB = a, CD = b  Cơng thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc  d ( AB, CD ) = d ( AB, CD ) =  cạnh 2S S sin  VS ABC =  S SAB = S1 , S SAC = S , SA = a 3a  Công thức tính biết cạnh, diện tích góc ( ( SAB ) , ( SAC ) ) =  mặt kề abc  SA = a, SB = b, SC = c VS ABC = sin  sin  sin    Công thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc  ( SAB ) , ( SAC ) =   nhị diện  ASB =  , ASC =  VS ABC = ( VS ABC = a3 12 VS ABC = 12 ( a + b2 − c2 )(b2 + c2 − a )( a + c − b2 ) Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS ) Tứ diện tất cạnh a Tứ diện gần  AB = CD = a   AC = BD = b  AD = BC = c  12 TỈ SỐ THỂ TÍCH Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác: VS MNP SM SN SP = VS ABC SA SB SC Cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tứ giác SA ' SB ' SC ' SD ' = x, = y, = z, =t SA SB SC SD 1 1 Ta có: + = + x z y t V x+z Công thức tỉ số thể tích sau: S A ' B 'C ' D ' = y.t VS ABCD Đặt Trường hợp đặt biệt: Nếu ( A1 B1C1 D1 ) ( ABCD ) VS A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1 = = = = k = k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success 13 Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, + V( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, + V(5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V( 4) = Ví dụ: V V , V(5) = V 3 A ' B ' BC = V 2V ;VA ' B ' ABC = 3 Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP = m, = n, =p AA ' CC ' BB ' Khi đó: V2 = m+n+ p V Đặc biệt: - Nếu M  A ', N  C AM CN = 1, =0 AA ' CC ' Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V( 4) (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) = V( 4) (trường hợp cịn lại) = Ví dụ: VA 'C ' BD = V ,V A 'C ' D ' D V V = V Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM  = x x+ y  DD ' V   V2 = BP = y  BB ' Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS 14 CHƯƠNG 2: KHỐI TRỊN XOAY CƠNG THỨC KHỐI NÓN S Chu vi đáy: p = 2 r Bán kính đáy: r = OA = OB = OM Diện tích đáy: Sđ =  r Đường sinh: l = SA = SB = SM l h l A Đường cao: h = SO r l O Góc đỉnh: ASB B 1 Thể tích: V = h.Sđ = h. r 3 S t Thiết diện qua trục: SAB cân (liên Góc đường sinh mặt đáy: Diện tích xung quanh: S xq =  rl M SAO = SBO = SMO Hìn Hình thành: Quay  vuông SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h = SO  r = OM Diện tích tồn phần Stp = S xq + Sđ =  rl +  r CÔNG THỨC KHỐI TRỤ MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Đường cao: h = OO Đường sinh: l = AD = BC Chu vi đáy: p = 2 r Ta có: l = h Diện tích đáy: Sđ =  r Bán kính đáy: Thể tích khối trụ: V = h.Sđ = h. r r = OA = OB = OC = OD Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O Hình thành: Quay hình Thiết diện qua trục: Là hình chữ chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có nhật ABCD mặt trụ hình bên CƠNG THỨC KHỐI CẦU MẶT CẦU Một số công thức: Một số công thức: Diện tích xung quanh: S xq = 2 r.h Diện tích tồn phần: Stp Sxq 2Sđ r h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện § Tâm I , bán kính R = IA = IB = IM § Đường kính AB = R § Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R § Diện tích mặt cầu: S = 4 R 4 R3 § Thể tích khối cầu: V = Tài liệu KYS Education is the Key to Your Success Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất 15 Hình thành: Quay đường AB trịn tâm I , bán kính R = quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ cầu qua tất đỉnh đa diện mặt đa diện IV BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP Kí hiệu: + RMC : bán kinh đường trịn ngoại tiếp khối cầu + RÐ : bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy + h : chiều cao khối chóp Cơng thức 1: Cạnh bên vng góc với đáy lăng trụ đứng RMC = h + Cơng thức 2: Mặt bên vng góc với đáy RMC = RÐ + RMB − RÐ GT , với RMB bán kính đường tròn ngoại tiếp CB với CB cạnh bên 2h a + b + c , với a, b , c độ Cơng thức 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: RMC = dài cạnh hình hộp Cơng thức 3: Khối chóp RMC = Cơng thức 5: Mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương: RMC = a với a độ dài cạnh hình lập phương Học Tốn Cơ Vũ Qun | KYS 16