Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010 Môn: Toán Thêi gian: 120 Bài (4 điểm) a/ Tính:  A= 54  3  11 13 5  11 13    1  5  b/ Cho số x, y, z số khác thỏa mãn điều kiện: yz x zx y x y z   x y z Hãy tính giá trị biểu thức:  x y z    B = 1  1  1  y z x     Bài (4 điểm)  y   x  xz  b/ CMR: Với n nguyên dương 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10 a/ Tìm x, y, z biết: x Bài (4 điểm) Một thảo sách dày 555 trang giao cho người đánh máy Để đánh máy trang người thứ cần phút, người thứ cần phút, người thứ cần phút Hỏi người đánh máy trang thảo, biết người làm từ đầu đến đánh máy xong Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME=MA Chứng minh rằng: a/ AC=EB AC // BE b/ Gọi I điểm AC, K điểm EB cho: AI=EK Chứng minh: I, M, K thẳng hàng c/ Từ E kẻ EH  BC (H  BC) Biết góc HBE 500; góc MEB 250, tính góc HEM BME ? Bài (2 điểm): Tìm x, y  N biết: 36  y 8  x  2010  Híng dÉn chÊm 2009-2010 Bµi ý a ®iÓm b Nội dung 1 3 1 3    x135         11 13   4 11 13  x13 = 45x11 5 5 5 + 1 x129  5 1 1     5        11 13  11 13    x11x13 x135 x11x13 189 189 x5  172 x 1289 = x11x13 x x129 + = 172  = = 860 172 x5 Ta có: Điểm +5 yz x zx y xy z yz zx x y     1  1 1 x y z x y z y  z z  x x  y 2 x  y  z     2 x y z xyz x y yz zx  x  y  z  B           y z x y  z  x  x y zx yz  2.2.2 8 z y x Vậy B=8 a Áp dụng tính chất A  điểm    x  0  x  0    2    y  0   y  0 3    x  xz 0  x  x  z  0     0,5 0,5 0,5 0,5 0,25  x 2     y     z  x   Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 b Ta có: 3n 2  2n 2  3n  2n = (3n 2  3n )  (2n2  2n ) 3n  32  1  2n  22  1 1,5 0,25 0,75 0,5  3n 10  n = 10.(3n – 2n-1) 0,5 Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với n nguyên dương 0,25 Suy điều phải chứng minh Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ đánh máy 0,5 theo thứ tự x,y,z Trong thời gian, số trang sách người đánh tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong trang; tức số trang người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 1,0 1 Do ta có: x : y : z  : : 12 :15 :10 4điểm Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z xyz 555     15  x 180; y 225; z 150 12 15 10 12  15  10 37 Vậy số trang sách người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh là: 180, 225, 150 a (2 điểm) 0,75 0,75 0,75 0,25 Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) A  góc AMC =góc EMB (đối đỉnh) BM = MC (gt ) Nên: AMC = EMB (c.g.c)  AC = EB I M B C H 0,75 0,25 0,5 K Vì AMC = EMB => Góc MAC góc MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE) b Suy AC // BE (2 điểm) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt) điểm   = MEK (vì AMC EMB ); AI = EK (gt ) MAI  Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK E  Mà AMI + IME = 180o (tính chất hai góc kề bù)   + IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c  EMK (1,5 điểm)  = 90o ) có HBE  Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o   = 90o - HBE = 90o - 50o =40o  HBE 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (1.0đ) 0,5    = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o  HEM  góc ngồi đỉnh M HEM BME    Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o (định lý góc ngồi tam giác) 2 Ta có: 36  y 8  x  2010   y   x  2010  36 Vì y 0   x  2010  36  ( x  2010)  36 0,25 0,25 Vì ( x  2010) x  N ,  x  2010  số phương nên  ( x  2010) 4 ( x  2010) 1 ( x  2010) 0 điểm  x 2012 + Với ( x  2010) 4  x  2010 2    x 2008  y 2  y 4    y  (loai ) 0,5 0,25 0,25 + Với ( x  2010)2 1  y 36  28 (loại)  y 6 + Với ( x  2010)2 0  x 2010 y 36    y  (loai ) Vậy ( x, y ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6) 0,25 0,25