PHỊNG GD&ĐT ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG LỚP MƠN : TỐN Thêi gian: 120phót (kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ò) Ngày:…./… Bài 1: (1,5 điểm) a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10 b/ (1 điểm) Cho: Tính: A= 1 1      2007 2008 B= 2007 2006 2005      2006 2007 B A Bài 2: (1,5 điểm) a/ (0,75 điểm) Tìm x y, biết rằng: x  2005  x  2006  y  2007  x  2008 3 b/ (0,75 điểm) Tìm a  Z cho M = a2  a nhận giá trị nguyên Bài 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 Tính f (100) b/ (1 điểm) Cho hai đa thức f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007 Giả sử f(x) sau khai triển thu gọn ta tìm tổng tất hệ số s Hãy tính s tính giá trị g(s) Bài 4: (2 điểm) Tìm số có ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1: 2: Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M N trung điểm AB AC Kẻ NH  CM H Kẻ HE  AB E Chứng minh rằng: a/ Tam giác ABH cân b/ HM phân giác góc BHE HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP Năm học 2008 - 2009 Bài 1: (1,5 đ) a/ (0,5 đ) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 3n 10 – 2n 3n.10 10 ; 2n 10 => 3n 10 – 2n 10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 b/ (1 đ) Tách 2007 tổng 2007 số biến đổi sau: B= 2007 2006 2005 2006   2005            1    2006 2007          1    1   1 2006   2007   2008 2008 2008 2008 2008      2006 2007 2008 1  1 = 2008    2006  2007  2008  2008 A   B => A 2008   A A (0,25 đ) (0,25 đ) = Bài 2: (1,5 đ) a/ (0,75 đ) Ta có A (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) với A tùy ý x  2005  x  2008  x  2005  2008  x  x  2005  2008  x 3 (1) (0,25 đ) Từ theo giả thiết đề ta có: x  2006  y  2007 0 (2) (0,25 đ) Từ (1) (2) => x  2005  x  2006  y  2007  x  2008 3 x  2006 0 y  2007 0 (0,25đ) Vậy x = 2006 y = 2007 b/ (0,75 đ) a  a  a  a   a (a  1)  a     a a a 4 a   Z  Z a a a – ước a – = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: điểm a/ (1 đ) f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 = x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2 + x2 – 100x – x +25 f(x) = x7(x - 100) – x6(x - 100) + x5(x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) f(100) = 1007.(100 -100) – 1006(100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ) f(100) = -75 (0,25 đ) b/ (1 đ) Tổng hệ số f(x) sau khai triển thu gọn giá trị đa thức f(x) x = Ta có s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 (0,25 đ) 2008 2007 = (-1) + (-1) + 2006 = – + 2006 = 2006 (0,25 đ) Thay s + = 2007; s – = 2005 ta g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 (0,25 đ) 2009 2009 2008 2008 2007 2007 2007 =s –s –s +s - s = - s = -2006 (0,25 đ) 2007 Vậy s = 2006 g(s) = -2006 Bài 4: (2 điểm) Gọi số cần tìm a; b; c (a; b; c  N* a; b; c 9 ) (0,25 đ) Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số chia hết => (a + b + c) 9 số cần tìm số chẵn (0,25 đ)  a ; b ; c  Vì => a  b  c 27 (0,25 đ) Từ đến 27 có số 9; 18; 27 9 Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) (0,25 đ) a b c a b c a b c     1  *  N => a + b + c 6 (2) Theo ta có: (0,25 đ) Vì a; b; c Từ (1) (2) => a + b +c = 18 (0,25 đ) a b c 18    3  a = 3; b = 6; c =9 Số cần tìm chia hết chữ số hàng đơn vị số chẵn Vậy số cần tìm là: 396 936 Bài 5: (3 điểm) Vẽ hình 0,5 đ (0,25 đ) B M K H E C A N a/ Từ A kẻ AK  MC K AQ  HN Q Xét  vng MAK  vng NCH có: (0,25 đ) Q MA = NC (= AB),  MAK =  NCH (cùng phụ với góc AMC) =>  MAK =  NCH (cạnh huyền –góc nhọn) (1) => AK = HC Xét  BAK  ACH có: AB = AC (gt);  BAK =  ACH; AK = HC (cm trên) =>  BAK =  ACH (c-g-c) =>  BKA =  AHC Xét  vuông AQN  vng CHN có: AN = NC;  ANQ =  CNH (đối đỉnh) đ) =>  AQN =  CHN (cạnh huyền – góc nhọn) => AQ = CH (2) Từ (1) (2) => AK = AQ => HA tia phân giác góc KHQ =>  AHQ = 450 =>  AHC =1350 =>  BKA = 1350 đ) Từ  BKA +  BKH +  AKH = 3600 =>  BKH = 1350  AKH có  KHA = 450 nên vuông cân K => KA =KH Xét  BKA  BKH có: BK: chung ;  BKA =  BKH = 1350; KA =KH =>  BKA =  BKH (c-g-c) => BA =BH hay tam giác ABH cân B b/ Ta có  BKA =  BKH =>  BAK =  BHK hay  BAK =  BHM Mà HE // CA (cùng vng góc AB) =>  MHE =  HCA (đồng vị) Vì  BAK =  HCA nên  BHM =  MHE hay HM tia phân giác góc BHE (0,5 đ) (0,25 đ) (0,25 (0,25 đ) (0,25 (0,25 đ) (0,25 đ) (0,5 đ)