Phòng giáo dục đào tạo thi chọn học sinh giỏi CP TRNG năm học 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thêi gian giao ®Ị) Đề có 05 câu, in 01 trang ®Ị thi chÝnh thøc Câu 1: (4.0 điểm): 3  11 12  1,5   0,75 tính: 5  0,625  0,5   2,5   1,25 11 12 0,375  0,3  a/ Thực phép b/ Tính B = 1+ 22 + 24 + + 2100 So sánh B với 2102 Câu 2: (5.0 điểm): a/ Tìm x biết: x    x 4 x  b/ Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = c/ Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = Câu 3: (4.0 điểm): a/ Cho biểu thức A = 2012  x 6 x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị b) Cho số a, b, c khác thoả mãn: Tính giá trị biểu thức: M  ab bc ca   a b b c c a ab  bc  ca a2  b2  c2 Câu 4: (5.0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABE ACF vuông B C Có AH vơng góc với BC ,trên tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC Chứng minh : a/ ∆ABI= ∆BEC; b/ BI = CE BI vng góc với CE ; c/ Ba đường thẳng AH,CE,BF cắt điểm Câu 5: (2.0 điểm): Tam giác ABC cân B có ABC = 800 I điểm nằm tam giác, biết IAC = 100 ICA = 300 Tớnh AIB = ? Phòng giáo dục đào ĐÁP ÁN ĐỀ thi chän häc sinh giái CẤP TRƯỜNG tạo năm học 2015 - 2016 Môn: Toán đề thi thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kĨ thêi gian giao ®Ị) Câu Ý a/ (2 điểm) Nội dung b/(2 điểm) 3  11 12  1,5   0,75 5  0,625  0,5   2,5   1,25 11 12 0,375  0,3  A= A= Câu điểm 3 3 3      10 11 12  5 5 5       10 11 12 a/ (2 điểm = 1 1 1 3     3    10 11 12    1 1 1  5     5    10 11 12  2 =  3  = 5 1  4 1  4 4B – B = (22 + 24 + 26 + + 2102 )- (1+ 22 + 24 + + 2100 ) 2102  Do ta có : B < 2102 a/ Tìm x biết: x    0,5 0,5 0,5 0,5 x 4 x  Nếu x >2 ta có: x - + 2x - = 4x +  x = - ( loại) Nếu 0,5 0,5 Ta có 4B = 22 + 24 + 26 + + 2102 3B = 2102 – => B = Câu điểm Điểm 0,5   x 2 ta có: - x + 2x - = 4x +  x = (loại) 0,5 ta có: - x + - 2x = 4x +  x = ( nhận) 0,5 Nếu x< Vậy: x = 0,5 b/ (2 điểm b Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = Từ: 2x= 3y; 4y = 5z  8x = 12y = 15z x y z x y 5z 4x  y  5z       12  1 1 1 = 1   12 15 4 12 1  x = 12 = ; y = 12 = 1; z = 12  12 15 Vậy ta tìm : x = c/ (1 điểm ; y = 1; z = 0,5 0,5 c Tìm x; y  Z biết: xy + 2x – y = Ta có: xy + 2x - y =  x(y+2) - (y+2) =  (y+2)(x-1) = 5.1 =1.5 = (-1).(-5) = (-5).(-1) y+2 -1 -5 x-1 -5 -1 x -4 y -1 -3 -7 0,5 0,5 Vậy ta tìm giá trị của: (x;y) = (2;3), (6;-1), (- ; - 3),(0; - 7) a/ (2 điểm Để A lớn Câu điểm 2006 ; x 2006  x 0,5 Ta có A = 1+  phải đạt giá trị lớn nhất, ta thấy 2006 số dương nên 6- x > – x phải đạt giá trị nhỏ => x= ( x  Z) A đạt giá trị lớn A = 2007 b/ (2 điểm 0,5 0,5 0,5 ab bc ca abc bca cab      a b bc ca (a  b)c (b  c)a (c  a)b 0,5 abc abc   ac  bc ab  ac  bc ab  a c ac  bc ab  ac Tương tự, chứng minh được: a b c 0,5 0,5 0,5 Thay b = a; c = a M = I A F E M B Câu điểm a/ (2 điểm b/ (2 điểm c/ (1điể m H C a/ Ta có: IAB = 1800 – BAH = 1800 – ( 900 – ABC) = 900 + ABC = EBC ∆ABI = ∆BEC ( c – g – c ) 0,5 0,5 b/∆ABI = ∆BEC ( câu a ) nên BI = EC ( hai cạnh tương ứng ) ECB = BIA hay ECB = BIH Gọi giao điểm CE với AB M, ta có: MCB + MBC = BIH + IBH = 900, suy BMC = 900 , CE  BI Chứng minh tương tự BF  CI c/ Trong tam giác BIC: AH , CE, BF ba đường cao Vậy AH , CE, BF đồng quy điểm 0,5 0,5 K Câu điểm B I A C Tam giác ABC cân B, ABC = 800 nên BAC = BCA = 500 IAC = 200 , ICA = 300 nên IAB = 400 , ICB = 200 0,5 Vẽ tam giác AKC ( K B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC ) ta có BAK = BCK = 100 ∆ABK = ∆CKB (c - g – c ) nên BAK = BCK = 300 ∆ABK = ∆AIC (g – c – g ) suy AB = AI Tam giác ABI cân A , AIB = 700 Chú ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa./ 0,5 0,5 0,5