ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ SỐ Câu ( điểm) Thực phép tính :     a  6.   1  1   3.    1 : (  3  3    2  3 2003        1     b  2           12  Câu ( điểm) a Tìm số nguyên a để a2  a  số nguyên a 1 b Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y = Câu ( điểm) a Chứng minh a + c = 2b 2bd = c(b + d) a c  với b, d khác b d b Cần số hạng tổng S = + + +… để số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN CÂ U 1.a 1.b 2.a HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa a  a  a (a  1)  a  Ta có : = a 1 a 1 a 1 a số nguyên nên 1Điểm 1Điểm 0,25 a2  a  số nguyên số nguyên hay a+1 ước a 1 a 1 ta có bảng sau : a+1 a 0,25 -3 -4 Vậy với a    4, 2,0,2 -1 -2 a2  a  số nguyên a 1 0,25 0,25 2.b Từ : x- 2xy + y = Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ta có trường hợp sau : 1  y 1  x 0    2 x     y 0 Hoặc 0,25 1  y   x 1    2 x  1  y 1 Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu 0,25 3.a Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) Hay ad = bc Suy 3.b a c  ( ĐPCM) b d 0,25 0,5 0,5 Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta có : n(n  1) 111a 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n + < 74 ( Nếu n = 74 khơng thoả mãn ) Do n=37 n + = 37 0,25 Nếu n =37 n + = 38 lúc n(n  1) 703 không thoả mãn Nếu n + 1=37 n = 36 lúc n(n  1) 666 thoả mãn Vậy số số hạng tổng 36 0,5 A H 0,5 B C D Kẻ DH Vng góc với AC Nên CH = CD ACD =600 CDH = 300  CH = BC 0,5 Tam giác BCH cân C  CBH = 300  ABH = 150 1,0 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 Từ : x2- 2y2 =1suy x2- = 2y2 1,0 0,25 Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x = lúc y = nguyên tố thoả mãn 0,25 Nếu x không chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3) =1 0,25 nên y chia hết cho x =19 khơng thoả mãn Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu (2;3) 0,25