UBND HUYỆN ANH SƠN GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Năm học: 2015-2016 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bµi : Cho biĨu thøc A = x 1 x1 a TÝnh gi¸ trị A x = 16 x = 25 b Tìm giá trị x để A =5 Bài : Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết :5 : : Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c  b d Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh:  HMN cân Câu (1,0 điểm) a b c   2 a Cho ba số dương a b c 1 chứng minh rằng: bc  ac  ab  b Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Cõu Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = trị nguyên nào? Bi 1: Thc hin phép tính (6 điểm) Giải: 14  x ; x Z x Khi x nhận giá a b c  5 :     9 1  45           19         1 5.415.9  4.320.89 5.210.619  7.2 29.27 Bài 2: (6 điểm) Giải: a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16 = 21 22 b Tìm x, biết: : 2x  c Tìm x, y, z biết : 2x  y 3y  2z  15 Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c  b d x + z = 2y Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh:  HMN cân  5 9 :     :   9 4 9 36 =   9 0,75đ 0,75đ 45  19 1   1 1                   1 45   1 19  4 1,0đ 45 26 19   1 = 19 19 19 5.415.9  4.320.89 5.210.619  7.2 29.27   1,0đ 5.2 2.15.32.9  2.320.2 3.9 10 19 19 29 = 5.2  7.2  01đ 01đ 29.318 5.2  32 29.318  5.3   10   = 15  0,5đ 2x – – 6x – – 8x – 12 = 16 -12x – 20 = 16 -12x = 16 + 20 = 36 x = 36 : (-12) = -3 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ x Nếu Ta có: (vì x = ½ 2x – = 0) : 2x  32 = 11 2x = x= Nếu 14 : 21 22 x : 2x  32 = 22 11  21 > 0,25đ 0,25đ 14 +1= :2= 0,25đ 21 22 : (2x – 1) = 2x – = 21 22 0,25đ 0,25đ Ta có: = 21 22 : (1 - 2x) = 21 22 0,25đ 0,25đ  0,25đ -2x = x= 11 -1= : (-2) =   Vậy x = x = Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = hay 2x – 4y + 2z = hay 2x – y – 3y + 2z = hay 2x – y = 3y – 2z Vậy nếu: 2x  y 3y  2z  15 thì: 2x – y = 3y – 2z = (vì  15) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Từ 2x – y = suy ra: x = 0,25đ y Từ 3y – 2z = x + z = 2y  x + z + y – 2z = hay hay y - z = hay y = z suy ra: x = Vậy giá trị x, y, z cần tìm là: {x = 3 y +y–z= 0,25đ z z; y = z ; với z  R } 0,5đ {x = y; y  R; z = y} {x  R; y = 2x; z = 3x} Ta (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) có: ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd cb = ad suy ra: Giải: 0,25đ a c  b d 0,75đ 0,75đ D B K N M A C H a/ Chứng minh CD song song với AB Xét tam giác: ABK DCK có: BK = CK (gt) ˆ A CK ˆ D (đối đỉnh) BK AK = DK (gt)  ABK = DCK (c-g-c) ˆ B 90  AC ˆ D AC ˆ B  BC ˆ D 90 ˆ K ; mà AB ˆ C  AC  DCˆK DB  ACˆD 900 BAˆC  AB // CD (AB  AC CD  AC) b Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét tam giác vng: ABH CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt)  ABH = CDH (c-g-c) c Chứng minh:  HMN cân Xét tam giác vuông: ABC CDA có: AB = CD; ACˆD 90 BAˆC ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (cg-c) ˆD  ACˆB CA 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ ˆ A  NH ˆ C (vì ABH = CDH) mà: AH = CH (gt) MH  AMH = CNH (g-c-g)  MH = NH Vậy HMN cân H Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabc ln 0,50đ 0,50đ 0,50đ chia hết cho 11 Giải: Ta có: = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.102 + b.10 + c) 11 Vậy abcabc 11 abcabc Hết 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ