PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) a Tìm x biết: 1 : 2015x  2016 2015 b Tìm giá trị nguyên n để phân số M = 3n  n  có giá trị số nguyên c Tính giá trị biểu thức: N = xy z  x y3z  x y z   x 2014 y 2015z 2016 tại: x -1; y -1; z -1 Câu (2,0 điểm) a Cho dãy tỉ số 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z   Chứng minh:   a 2b 3c a 2b 3c b Tìm tất số tự nhiên m, n cho : 2m + 2015 = n  2016 + n - 2016 Câu 3.(1,5 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x  2015  x  2016  x  2017 b Cho bốn số nguyên dương khác thỏa mãn tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho Tính giá trị nhỏ tổng bốn số ? Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc AC H Trên cạnh BC lấy điểm M ( khác B C) Gọi D, E, F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị không đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Câu (1,0 điểm) Có sáu túi chứa 18, 19, 21, 23, 25 34 bóng Một túi chứa bóng đỏ năm túi chứa bóng xanh Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi Túi cịn lại chứa bóng đỏ Biết lúc bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh bạn Học Tìm số bóng đỏ túi lại -Hết PHÒNG GD&ĐT SÔNG KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; LÔ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 HDC thi mơn: Tốn Ghi chú: - Hướng dẫn chấm trình bày ý cách giải, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo vận dụng thang điểm điểm không vượt thang điểm câu - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm - Tổng điểm tồn thi thí sinh tổng điểm câu khơng làm tròn CÂU 1a 1,0 điểm NỘI DUNG ĐIỂM 0,25 1 : 2015x  2016 2015 1 x 2016.2015 2015 1 x :  2016 2015 2016.2015 0,25 0,25 Vậy x  2016 1b 1,0 điểm M= 3n  n  0,25 có giá trị số nguyên => 3n - Mn – => 3(n – 1) + Mn – => Mn – 1=> n -  Ư(2) =   Ta có bảng n–1 -1 -2 n -1 1;1; 2;2 0,25 0,25 Thử lại ta có n   0;2; 1;3 M nhận giá trị nguyên 1c 0,5 điểm 2 2 3 2014 Ta có : N = xyz.yz  x y z yz  x y z yz   x y Thay y = 1; z = -1 ta được: N =  xyz  x y 2z  x y3z   x 2014 y 2014 z 2014 = -(xyz) - (xyz)2 - (xyz)3 - - (xyz)2014 Thay xyz = -1 được: N = - + – 1+ +1- = Vậy N=0 2a 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx   a 2b 3c 1,0 điểm  0,25 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   a2 4b 9c 0,25 2014 2014 z yz 0,25 0,25  2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx 0 a  4b  9c  2bz - 3cy =   3cx - az =  z y  (1) 3c 2b x z x y z  (2); Từ (1) (2) suy ra:   a 3c a 2b 3c 2b Nhận xét: 1,0 -Với x ≥ x + x = 2x điểm -Với x < x + x = Do x + x ln số chẵn với  xZ 0,5 0,25 0,25 0,25 Áp dụng nhận xét n  2016 + n – 2016 số chẵn với n -2016  Z Suy 2m + 2015 số chẵn  2m lẻ  m = 0,25 Khi n  2016 + n – 2016 = 2016 + Nếu n < 2016, ta có - (n– 2016) + n – 2016 = 2016  = 2016 (loại) + Nếu n ≥ 2016 , ta có 2(n– 2016) = 2016  n – 2016 = 1008  n = 3024 (thỏa mãn) 0,25 3a Vậy (m; n) = (0; 3024) P= x  2015  2016  x  x  2017 = ( x  2015  2017  x )  x  2016 0,25 0.25 1điểm Ta có: x  2015  2017  x  x  2015  2017  x 2 Dấu “=” xảy khi: 2015 x 2017 (1) Lại có: x  2016 0 Dấu “=” xảy x = 2016 (2) 0.25 0.25 3b Từ (1) (2) ta có minP = Dấu “=” xảy x = 2016 Nhận xét : Bốn số phải có số dư chia cho Để có tổng 0,5 nhỏ nhất, hai số dư điểm Từ ta có số 1, 7, 13 19 Tổng chúng : 1+7+13+19 = 40 0,25 0,25 A H D B P 4a E F C Q M I K Chứng minh ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 điểm 4b Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương 0,25 1,0 ứng) điểm +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) 1,0 (1) (2) 0,25 Từ (1) (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 0,25 0,25 4c BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm) Vẽ DPBC P, KQBC Q, gọi I giao điểm DK BC 0,5 +) Chứng minh : BD = FM = EH = CK 0,25 điểm +) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tương ứng)   +) Chứng minh : IDP ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm) IKQ 0,25 Tổng số bóng túi : 18+19+21+23+25+34=140 0,25 1,0 Vì số bóng Tốn gấp hai lần số bóng học nên tổng số bóng điểm hai bạn bội Ta có : 140 chia 46 dư Do số bóng đỏ 0,25 số chia dư Trong sáu số cho có 23 chia dư 2, số bóng đỏ túi cịn lại Từ ta tìm số bóng Tốn : 18+21=39.Số bóng 0,5 học : 19+25+34=78