đề chọn học sinh khiếu NM HC 2010-2011 Mụn thi : Tốn Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1( 6đ): Tìm số x, y, z biết a/ (x – 1)3 = - c/ x - x = Bài 2:(4 đ) b/  x 5 x  d/ 12x = 15y = 20z x + y + z = 48 a) Thực phép tính: A 212.35  46.9  3   510.73  255.492  125.7   59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n 2  2n2  3n  n chia hết cho 10 Câu 3:(3.5đ) a/ Tìm số dư chia 22011 cho 31 b/ Với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho Câu 4( 2.5) Cho đa thức P  x  = x + 2mx + m vµ Q  x  = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) Câu 5:(4đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Từ E F kẻ đường vng góc EK FN với đường thẳng HA a/ Chứng minh rằng: EK = FN b/ Gọi I giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF = 2AI -Hết - HNG DN CHM chọn học sinh khiếu MễN: TON ======================================== Câ Phầ Nội dung cần trình bày u n a 1,5 (x – 1)3 = - => x – = - => x = - Vậy x = - (6đ)  x 5 x  Điều kiện: x  b   x 5 x   12 x 12  x 1   =>  (Thỏa mãn điều kiện) 1,5đ =>    x 3  x c 1,5đ d 1,5đ (4đ) a 2đ  x 6 Điể m 1.5  x 3 1.5 Vậy x = x = x - x = Điều kiện x  => x  x  3 = => x = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = x = 12x = 15y = 20z => 1.5 x y z x y z x  y  z 48   =>     4 5 12 12 1.5 => x = 20; y = 16; z = 12 a) 212.35  46.9 510.73  255.492 10 212.35  212.34 510.73  74 A   12 12  9 3  3   125.7   14   212.34   1 510.73     12    1 59.73   23  10 212.34.2     12  59.73.9  10    b) b 2đ 3n 2  2n2  3n  2n = 3n 2  3n  2n2  2n = 3n (32  1)  2n (2  1) = 3n 10  2n 5 3n 10  2n 10 = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n 2  2n 2  3n  2n  10 với n số nguyên dương (3.5 đ) a, 2đ b 1,5đ 2.5đ Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402  (mod31) => 22011  (mod31) Vậy số dư chia 22011 cho 31 1 Vì a ngun dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 0 (mod3) Mà 4a + 0 (mod2) => 4a +  0,5 a a Khi ta có + a + b = + + a +1 + b + 2007 – 2010  0,5 Vậy với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho 4a + a + b chia hết cho 0,5 Cho ®a thøc P  x  = x + 2mx + m vµ Q  x  = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m  4m = -1  m = 1/4 0.5đ (4đ) 1 0.5 0,5 Vẽ hình GT-KL đúng, đẹp F N I K E A B a 2.5 Chứng minh  KAE =  HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh  NFA =  HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy EK = FN Chứng minh  KEI =  NFI ( c.g.c) => EI = FI = b 1đ C H Mà AI = EF 1 0.5 0,5 EF (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE IAF = IFA => EAF = 900 => BAC = 900 Vậy EF = 2AI tam giác ABC vuông A Ghi chú: Đáp án cách làm đúng, học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5