PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2012 – 2013 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: ( điểm ) Tìm x thỏa mãn điều kiện sau : 121 a  x  3  b | x – | = 5- x Chứng minh đa thức x2 + 2x + khơng có nghiệm Câu 2: ( điểm ) Cho: a a c  b d (a, b, c, d o, a  b, c  d ) a c  a b c d b Chứng minh: a c  a b c d c  a  b c  d   ab cd Câu 3: ( điểm ) 1) Chứng minh với a,b  Q ta có : | a + b | ≤ | a | + | b | 2) So sánh 12723 51318 Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CD Các tia phân giác góc ACD DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự K M a Chứng minh: ∆ ACM cân b Chứng minh điểm cách đỉnh ∆KCM cách ba cạnh ∆ABC Câu 5: ( điểm ) a c Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết : b  d  e f Chứng minh : d ≥ b + f HƯỚNG DẪN CHẤM af – be = Câu Câu (6 điểm) Nội dung a, ( 2x + 3) = => x =   3    121  11  Điểm 1,0đ 15 18 x=  11 11 1,0đ b, | x – 5| = – x = - ( x – ) 1,0đ x – ≤ x ≤ 1,0đ x2 + 2x + = x2 + x + x +1 + 1,0đ = (x + 1)2 + > -> đpcm 1,0đ Câu (4 điểm) Chứng minh câu a, câu b câu cho điểm c, a c  b d -> 2,0đ a b a b   c d c d 1,0đ ab a b a  b a  b  a  b       => cd c d c  d c  d  c  d  Câu (4 điểm) 1,0đ a, Nếu a +b ≥ -> | a + b| = a + b 0,5đ Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q ) -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| 0,5đ (1) b, Nếu a + b < -> | a+b | = - a – b 0,5đ mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b | 0,5đ -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | (2) Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy  ab ≥ 23 23 23 127 < 128 = (2 ) = 18 18 18 1,0đ 161 513 > 512 = (2 ) = 162 1,0đ -> 513 Câu (5 điểm) 18 > 127 23 1, AMC = Bˆ  Cˆ , ACM = ACD + Cˆ Do Cˆ = Cˆ , Bˆ = ACD -> ACM = AMC -> ∆ACM cân CM tương tự ta có BC = 8K 2,5đ Vậy đường thẳng chứa tia phân giác góc A đường trung trực CM Và đường thẳng chứa tia phân giác góc B trung trực CK => Giao điểm đường trung trực ∆KCM trùng với giao điểm đường phân giác ∆ABC -> đpcm 2,5đ Câu (1 điểm) d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) 0,5đ = f( ad – bc ) + b ( cd – ed ) ≥ f.1 + b.1 = f + b 0,5đ