TRƯỜNG THCS NĂNG YÊN ĐỀ THI HSG- HS NK MÔN : TOÁN NĂM HỌC 2009-2010 ( Thời gian làm 150 phút ) Bài 1:(2diểm) a) Cho A= 413 +325-88 Chứng minh A chia hết cho b) Cho B = 20+21+22+23+…+22009 C= 22010 Chứng minh B C hai số nguyên dương liên tiếp? Bài 2:(2điểm) y   x y  z 1 x  z  x  y     b)Tìm số x,y,z biết: ( với : x,y,z 0,x+y+z 0 ) x y z xyz a) Tìm số nguyên x,y biết: Bài 3(2điểm) Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B với vận tốc 24km/h.Sau ca nơ ngược dịng từ bến B bến A với vận tốc 20km/h Tính thời gian ca nơ xi dịng, ca nơ ngược dịng biết tổng thời gian xi dòng ngược dòng 5giờ 30 phút? Bài 4(2điểm): Cho tam giác ABC.Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N cho AM = CN Gọi O giao điểm CM BN Chứng minh : a) CM = BN b) Số đo góc BOC khơng đổi M N di động hai cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AM = CN Bài 5:(2điểm):  Cho tam giác ABC có AB BD HẾT (Họ tên: ………………………………… SBD Câu Hướng dẫn chấm a) A= +32 -8 = +225-224 = 224(22+2- 1) = 224.5 5  A 5 13 Câu Điểm 0,5 0,5 26 b)Hiển nhiên: B > 0,C >0 B,C  Z Ta có: 2B = 2+ 22+ 23+……+22010  B = 2B – B = (2 + 22+23 + …+22009+22010) – (1+2+22+…+22009) 22010-1 Mà : C = 22010  C B hai số nguyên dương liên tiếp = y y 1 y  x(1-2y) = 40 (*)       x x 8 -Vì x,y  Z  1-2y  Z mà 1-2y số nguyên lẻ nên từ (*) có 1-2y a)-Từ giả thiết : Câu2 ước số lẻ 40 1-2y =1  y=  x=40 1-2y = -1  y=1  x=-40 1-2y =  y=-2  x=8 1-2y=-5  y=3  x=-8 b)-Từ GT áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ( y  z  1)  ( x  z  2)  ( x  y  3) 2( x  y  z )  2 (vì :x+y+z 0 ;và x yz ( x  y  z) x,y,z 0 ) 2  x  y  z 0,5  x yz 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 -Thay vào đề ta có: x y z 5  x= ; y  ; z  6 -Gọi: thời gian từ bến A đến B : t1(h) Thời gian từ bến B bến A : t2(h) -Vì tổng thời gian lẫn : 5h 30’ = t1 + t = Câu 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 11 (h) nên ta có : 11 0,25 -Do chiều dài quãng sông không đổi nên vận tốc ca nô thời gian ca nô đại lương tỉ lệ nghịch Ta có :t1.24 =t2.20  t1 t  20 24 0,5 -Theo tính chất dãy tỉ số ta có : t1 t t t 11     20 24 24  20 2.44 -Suy : t1 = 20 2,5 (h) t2 = 24 3 (h) 0,5 0,5 Hình 0,25 a)Ta có :Xét ΔACMACM ΔACMCBN Câu A  AM=CN(gt)   )  ΔACMACM=ΔACMCBN (c.g.c) -Có: A=C(=60  AC=CB(gt)   CM = BN  =B  b) Vì : ΔACMACM=ΔACMCBN ( theo phần a)  C 0,5 M N O B 0,25 C  +C  =C  +C  =600 -Ta có : B 2   C  ) 1800  600 1200 (không đổi)  Trong ΔACMBOC có BOC 1800  ( B 0,5 0,5 Hình Câu5 -Ta có :lấy điểm E cạnh AC cho AE =AB  Xét  ABD =  AED( c.g.c)    BD = DE ADB=ADE   -Ta có : DEC>ADE (t/c góc ngồi tam giác)    DEC>ADB   Mà : ADB>ECD (t/c góc ngồi tam giác)    DEC>ECD 0,25 0,25 A 0,5 E B C D  CD >DE (Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác)  CD > BD 0,5 0,5