PHÒNG GD VÀ ĐT KON TUM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 90 phút khơng tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 3  4    :   : a) A =   11  11  11  11 b) B = 212.35  46.9 (22.3)6  84.35 Cho 5x2  y x y  Tính giá trị biểu thức: C  10 x  y Câu 2: (4,5 điểm) Tìm số x, y, z , biết: a) x y y z  ;  x  y  z 92 b)  x –1 2018   y –1 2018  x  2y – z 2019 0 Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = Câu 3: (3,0 điểm) Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2 Cho hàm số y  f  x  ax  có đồ thị qua điểm A  a –1; a  a  a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn: f  x –1  f  – x  Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE tam giác cân   c) EIC 600 IA tia phân giác DIE Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ x, cho tổng số với nghịch đảo có giá trị số nguyên Cho số a,b,c không âm thỏa mãn: a  3c 2016 ; a  2b 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức P a  b  c ĐÁP ÁN Câu 1: 3  4     11    11   :   :      a) A =  =  11  11  11  11  11   11  A= b) B = B= Đặt 11         11         11 11      =        =  ( 1)  1  0       11   11    7   11 11   7 212.35  46.9 212.35  (22 )6 (32 ) 212.35  212.34 212.34 (3  1)  = = (22.3)6  84.35 212.36  (23 ) 35 212.36  212.35 212.35 (3  1) 212.34.2  212.35.4  x 3k x y  =k   Khi đó:  y 5k 5x  3y 5(3k)  3(5k) 45k  75k 120k   C= = =8 10x  3y 10(3k)  3(5k) 90k  75k 15k Câu 2: y x y x   10 15 x y z     a) Ta có:  10 15 21  y z y z 15 21  Áp dụng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 92, ta được: x y z x yz 92    2 = 10 15 21 10  15  21 46 x 10 2  y   2  15 z  21 2   x 20   y 30 z 42  b ) Ta có: (x – 1)2016  (2y – 1)2016   x  y |x + 2y – z|2017   x, y, z  (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017   x, y, z  x – 1 2016 0  2016  0 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = nên dấu "=" xảy   2y – 1  2017 0  x  2y – z   x 1    y     1  2 – z 0  x 1   y   z   Ta có: xy + 3x – y =  x(y + 3) – (y + 3) = –  (x – 1)(y + 3) = = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 y+3 –3 x y –2 –6 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) –3 –1 –2 –4 Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) +  a2 + a = a2 – a +  2a =  a = b) Với a = y = f(x) = x + Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x)  (2x – 1) + = (1 – 2x) +  4x =  x = Câu 4: GT KL B  = 900,  ABD  ACE  ABC, A I = BE  CD a) BE = CD D b) BDE tam giác cân   c) EIC 600 IA tia phân giác DIE    900 600  900 1500  DAC A    DAC BAE a) Ta có:  0 0    BAE A  90 60  90 150 Xét DAC BAE có: DA = BA (GT)   (CM trên) DAC BAE AC = AE (GT)  DAC = BAE (c – g – c)  BE = CD (Hai cạnh tương ứng)  A   BAC   3600 b) Ta có: A A   600  900  600 3600  A I 1 A3 1 2 2 E C  1500  A  = DAC   A = 1500 Xét DAE BAE có: DA = BA (GT)  = DAC  (CM trên) A AE: Cạnh chung  DAE = BAE (c – g – c)  DE = BE (Hai cạnh tương ứng)  BDE tam giác cân E 1=C  (Hai góc tương ứng) c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a)  E   ICE  Lại có: I1  E 1800 (Tổng góc ICE)   )  (C  C  ) 1800  I1  (AEC E  C   600 1800  I1  600  E 1=C  1)  I1  1200 1800 (Vì E  I1 600 1 = E  (Hai góc tương ứng)  EA tia phân giác Vì DAE = BAE (Cm câu b)  E  (1) DEI  DAC BAE 1 = D  (Hai góc tương ứng)  DA tia  DAC = DAE  D Vì   DAE BAE  phân giác EDC (2) Từ (1) (2)  A giao điểm tia phân giác DIE  IA đường phân giác thứ  ba DIE hay IA tia phân giác DIE Câu 5: Gọi x = x+ Để x  m (m, n  Z, n  0, (m, n) = 1) Khi đó: n m n m2  n (1)    x n m mn nguyên m2 + n2  mn x  m2 + n2  m  n2  m (Vì m2  m)  n m Mà (m, n) = nên m = m = – *) Với m = 1: Từ (1), ta có: x  1 12  n  n = Để x  nguyên + n2  n   n hay n =   x x 1.n n *) Với m = – 1: Từ (1), ta có: x  ( 1)  n  n  = Để x  nguyên + n2 (– n)   (– n) hay n x ( 1).n n x = 1 Khi x = m 1 1 1     hay x =  n 1 1 Ta có: a + 3c = 2016 (1) a + 2b = 2017 (2) Từ (1)  a = 2016 – 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c =  b = P = a + b + c = (2016 – 3c) +  3c Khi đó:  3c +c=   6c  3c  2c c  2016  Vì a, b, c  2016    2 2  c 1  2016 , MaxP = 2016  c = không âm nên P = 2016  2 2