TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 1 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn axbyc abab axbyc 2222 111 1122 222 (0,0)  += +≠+≠  +=  Giải và biện luận: – Tính các định thức: ab D ab 11 22 = , x cb D cb 11 22 = , y ac D ac 11 22 = . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 543 798  −=  −=  b) xy xy 211 548  +=  −=  c) xy xy 31 625  −=  −=  d) ( ) ( ) xy xy 2121 22122   ++=−  −−=   e) xy xy 32 16 43 53 11 25  +=    −=  f) xy y 31 5x23   −=  +=   Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 18 18 54 51  −=     +=   b) xy xy 101 1 12 253 2 12  +=   −+   += −+  c) xyxy xyxy 2732 7 23 4548 1 23  +=   −+   −=− −+  d) xy xy 26315 56411  −++=  −−+=  e) xyxy xyxy 29 3217  +−−=  ++−=  f) xyxy xyxy 438 356  ++−=  +−−=  Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) mxmym xmy (1)1 22  +−=+  +=  b) mxmy mxmy (2)5 (2)(1)2  +−=  +++=  c) mxym mxym (1)231 (2)1  −+=−  +−=−  d) mxmy mxmym (4)(2)4 (21)(4)  +−+=  −+−=  e) mxym mxymm 22 (1)21 2  +−=−  −=+  f) mxym xmym 21 225  +=+  +=+  Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mxym mxymm 22 (1)21 2  +−=−  −=+  b) mxy xmym 1 4(1)4  −=  ++=  c) mxy xmym 33 210  +−=  +−+=  I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Xét D Kết quả D ≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất y x D D xy DD ;  ==   D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 D x = D y = 0 Hệ có vô số nghiệm Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 2 Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mxym xmym 21 225  +=+  +=+  b) mxmy mxmy 6(2)3 (1)2  +−=  −−=  c) mxmym xmy (1)1 22  +−=+  +=  Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) axyb xy 325  +=  +=−  b) yaxb xy 234  −=  −=  c) axyab xya2  +=+  +=  d) abxabya abxabyb ()() (2)(2)  ++−=  −++=  e) axbyab bxayab 22 2  +=+  +=  f) axbyab bxbyb 2 2 4   −=−  −=   Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) xyz xyz xyz 31 225 230  +−=  −+=   −−=  b) xyz xyz xyz 328 26 36  ++=  ++=   ++=  c) xyz xyz xyz 327 2438 35  −+=−  −++=   +−=  Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 3 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) fxy gxy (,)0 (,)0  =  =  (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. • Giải hệ (II) ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: XSXP 2 0 −+= . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) fxy fyx (,)0(1) (,)0(2)  =  =  (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) ⇔ fxyfyx fxy (,)(,)0(3) (,)0(1)  −=  =  • Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ xygxy ().(,)0 −= ⇔ xy gxy (,)0  =  =  . • Như vậy: (I) ⇔ fxy xy fxy gxy (,)0 (,)0 (,)0   =   =    =    =   . • Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm xy 00 (;) thì yx 00 (;) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì xy 00 = . 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) axbxycyd axbxycyd 22 1111 22 2222  ++=   ++=   . • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x ≠ 0, đặt ykx = . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 4 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 22 48 24  +=  +=  b) xxy xy 2 24 231  −=  −=  c) xy xy 2 ()49 3484  −=  +=  d) xxyyxy xy 22 32360 23  −+++−=  −=  e) xy xyxy 3410 3()9  −+=  =+−  f) xy xyxy 232 60  +=  +++=  g) yxx xy 2 4 250  +=  +−=  h) xy xyy 22 235 324  +=  −+=  i) xy xxyy 22 25 7  −=  ++=  Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xy xym 22 6  +=  +=  b) xym xyx 22 22  +=  −+=  c) xy xym 22 321  −=  +=  Bài 3. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) mxym xmya 21 221  +=+  +=−  b) mxym xmym 3 21  +=  +=+  c) xym xym 24 233  −=−  +=+  d) xy yxm 25 2105  +=  −=+  Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xyxyxy 22 11 2()3  ++=  +−−+=−  b) xy xxyy 22 4 13  +=  ++=  c) xyxy xyxy 22 5 8  ++=  +++=  d) xy yx xy 13 6 6  +=    +=  e) xxyy xyxy 3333 17 5  ++=  ++=  f) xxyy xxyy 4224 22 481 37   ++=  ++=   Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xyyx 22 1 6  ++=−  +=−  b) xy xxyy 22 4224 5 13   +=  −+=   c) xyyx xy 22 33 30 35   +=  +=   d) xy xyxy 33 5522 1   +=  +=+   e) xyxy xyxy 22 4422 7 21   ++=  ++=   f) xyxy xyxy 22 11 3()28  ++=  +++=  Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy xy xy 22 22 1 ()15 1 ()149   ++=        ++=     b) ( ) yxxy xy xy 22 22 22 (1)2(1) 1 124  +=+    ++=      c) xy xy xy xy 22 22 11 4 11 4  +++=     +++=   d) xy xy xy xy 22 2 3 11 1 ()(1)6  +=   ++   ++=   e) xyyxyxxy yx xy xyxy 22 226 1 4  +++=   +++=   f) xy xy xy xy 1 4 1 ()15  +=      ++=     Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 5 Bài 7. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xyxym xym 22 32  ++=  +=−  b) xym xyxymm 222 1 23  +=+  +=−−  c) xym xyxym (1)(1)5 ()4  ++=+  +=  Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: a) xxy yyx 2 2 32 32   =+  =+   b) xyxy yxyx 22 22 22 22   −=+  −=+   c) xxy yyx 3 3 2 2   =+  =+   d) y xy x x yx y 34 34  −=     −=   e) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3  + =    +  =   f) xy y yx x 2 2 1 2 1 2  =+     =+   g) xxy yyx 3 3 38 38   =+  =+   h) xyxy xyyx 2 2 8(1) 8(1)   +=−  +=−   i) xy x yx y 2 2 3 2 3 2  +=     +=   k) 22 22 912(1) 912(2)  +=−+   +=−+  xyy yxx Bài 9. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xxmy yymx 2 2 3 3   =+  =+   b) xymm yxmm 22 22 (34)(34) (34)(34)   −=−  −=−   c) xyxmy xyymx 2 2 (1) (1)   +=−  +=−   Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) xymy xymx 22 22   +=  +=   b) xyxmy xyymx 2 2 (1) (1)   +=−  +=−   c) m xy y m yx x 2 2 2 2 2 2  =+     =+   Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 22 31 3313   −+=−  −+=   b) xxyy xxyy 22 22 241 3227   −+=−  ++=   c) yxy xxyy 2 22 34 41   −=  −+=   d) xxyy xxyy 22 22 35438 59315   +−=  −−=   e) xxyy xxyy 22 22 239 455   −+=  −+=   f) xxyy xxyy 22 22 3840 5760   −+=  −−=   Bài 12. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xmxyym xmxymym 22 22 (1)   ++=  +−+=   b) xyy xxym 2 2 12 26   −=  −=+   c) xxyym yxy 22 2 4 34   −+=  −=   Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 6 Các hệ phương trình đại số tổng quát thường rất khó giải và không thể nêu ra phương pháp chung để giải chúng. Ở đây xin nêu ra một số phương pháp để có thể lựa chọn thích hợp. 1. Phương pháp thế: Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này. 2. Đặt ẩn phụ: Biến đổi các phương trình để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản. 3. Phương pháp đánh giá: Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức. 4. Phương pháp điều kiện cần và đủ: 5. Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β). Khi đó, với mọi a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b. Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh xfy yfz zfx () () ()  =  =   =  , thường sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh x = y = z. – Xét tính đơn điệu hàm số f(t). – Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra. – Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z. Vấn đề 1: Phương pháp thế Bài 1. Giải hệ phương trình sau: xyyxy xyxy 2 2 1()4(1) (1)(2)(2)   +++=  ++−=   • Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇒ [ ] yyyxyxy 4()(2) −++−= ⇔ [ ] yx 2 (3)0 −−= ⇔ yx 3 =− Nghiệm: (1; 2), (–2; 5). Bài 2. Giải hệ phương trình sau: 22 22 3(1) 114(2)  +−=   +++=   xyxy xy • (2) ⇔ xyxyxyxyxy 22222 2(1).(1)142()411 ++++=⇔+++= (3) Đặt xy = p. p p ppp p pp 2 2 3 11 (3)2411 35 3261050 3  =  ≤  ⇔++=−⇔⇔ −  =  +−=   (1) ⇔ ( ) xyxy 2 33 +=+ • p = xy = 35 3 − (loại) • p = xy = 3 ⇒ xy 23 +=± 1/ Với xy xy xy 3 3 23  = ⇒==  +=  2/ Với xy xy xy 3 3 23  = ⇒==−  +=−  Vậy hệ có hai nghiệm là: ( ) ( ) 3;3,3;3 −− III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 7 Bài 3. Giải hệ phương trình sau: xxy xy x 2 2 (1)30 5 ()10  ++−=   +−+=   (D – 2009) • Vì x ≠ 0 nên HPT ⇔ xy x xy x 2 2 3 1 5 ()10  +=−     +−+=   ⇔ xy x x x 2 3 1 46 20  +=−     −+=   ⇔ x x xy xy 11 1 1 2 1 2 2   =   = ∨   += +=    . Nghiệm: 3 (1;1),2; 2  −   . Bài 4. Giải hệ phương trình sau: xxyxyy xyxy 3223 6940(1) 2(2)   −+−=  −++=   • Ta có: (1) ⇔ xyxy 2 ()(4)0 −−= ⇔ xy xy 4  =  =  • Với x = y: (2) ⇒ x = y = 2 • Với x = 4y: (2) ⇒ xy 32815;8215 =−=− Bài 5. Giải hệ phương trình sau:   ++=  +++=   xxy xxyxyx 2 322 59 32618 • Hệ ⇔ yxx xxxx+ 2 432 95 4518180   =−−  +−−=   ⇔ yxx x x x 2 95 1 3 17  =−−    =   =−    =−±   ⇔ xy xy xy xy 1;3 3;15 17;637 17;637  ==  =−=  =−−=+   =−+=−  Bài 6. Giải hệ phương trình sau: xyxy xy 20 1412  −−=  −+−=   • Hệ PT ⇔ ( ) ( ) xyxy xy 20 1412  +−=   −+−=   ⇔ xy xy 20 1412  −=  −+−=   ⇔ xy y 4 411  =  −=  ⇔ x y 2 1 2  =   =   Bài 7. Giải hệ phương trình sau: xy xy xy xyxy 22 2 2 1(1) (2)  ++=  +   +=−  • Điều kiện: xy 0 +> . (1) ⇔ xyxy xy 2 1 ()1210  +−−−=  +  ⇔ xyxyxy 22 (1)()0 +−+++= ⇔ xy 10 +−= (vì xy 0 +> nên xyxy 22 0 +++> ) Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 8 Thay xy 1 =− vào (2) ta được: xx 2 1(1) =−− ⇔ xx 2 20 +−= ⇔ xy xy 1(0) 2(3)  ==  =−=  Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). Bài 8. Giải hệ phương trình sau: ( ) xyxy xy 33 22 34(1) 9(2)   −=  =   • Từ (2): xyxy 22 93 =⇔=± . • Khi: xy 3 = , ta có: xy 33 4 −= và ( ) xy 33 .27 −=− Suy ra: ( ) xy 33 ; − là các nghiệm của phương trình: XXX 2 4270231 −−=⇔=± Vậy nghiệm của Hệ PT là xy 33 231,231 =+=−− hoặc xy 33 231,231 =−=−+ . • Khi: xy 3 =− , ta có: xy 33 4 −=− và ( ) xy 33 .27 −= Suy ra: xy 33 ;() − là nghiệm của phương trình: XXPTVN 2 4270() ++= Bài 9. Giải hệ phương trình sau: () 2 32(1) 28(2)  −=   −=   xyxy xy • Điều kiện : xyxy .0; ≥≥ Ta có: (1) ⇔ xyxyxyxy 2 3()4(3)(3)0 −=⇔−−= y xyhayx3 3 ⇔== • Với xy 3 = , thế vào (2) ta được : yyyy 2 6802;4 −+=⇔== ⇒ Hệ có nghiệm xx yy 612 ; 24  ==  ==  • Với y x 3 = , thế vào (2) ta được : yy 2 32240 −+= Vô nghiệm. Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: xx yy 612 ; 24  ==  ==  Bài 10. Giải hệ phương trình sau: xyyx yx 33 22 416(1) 15(1)(2)   +=+  +=+   • Từ (2) suy ra yx 22 –54 = (3). Thế vào (1) được: ( ) y xxyyx 2233 –5 .16 +=+ ⇔ xxy x 32 –5–160 = x xxy 2 0 5160  =  −−=  • Với x 0 = ⇒ y 2 4 = ⇔ y 2 =± . • Với xxy 2 –5–160 = ⇔ x y x 2 16 5 − = (4). Thế vào (3) được: x x x 2 2 2 16 54 5  − −=   ⇔ xxxx 4242 –32256–125100 += ⇔ xx 42 124132–2560 += ⇔ x 2 1 = ⇔ xy xy 1(3) 1(3)    ==− =−= . Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 9 Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) Bài 11. Giải hệ phương trình sau: xyy xyx 2 2 48 2   −=−  =+   • Nếu xy ≥ 4 thì HPT ⇔ xyy xyx 2 2 48(1) 2(2)   −=−  =+   Từ (2) ⇒ x ≠ 0, x 2 2 ≥ và x y x 2 2 + = Thay vào (1) ta được: x x x 2 2 2 2 248  + +−=−   ⇔ xx 22 (2)(1)0 −−= ⇔ x 2 =± ⇒ Hệ có nghiệm (x; y) là: ( ) ( ) 2;8,2;8 −− • Nếu xy < 4 thì x 2 2 < . HPT ⇔ xyy xyx 2 2 48 2   −=−  =+   ⇒ x x x 2 2 2 2 428  + −−=−   ⇔ x 2 2(2)0 −= ⇔ x 2 2 = (loại) Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ: ( ) ( ) 2;8,2;8 −− Bài 12. Giải hệ phương trình sau: xyxyxx xyxx 22 2 (1)(1)341(1) 1(2)   +++=−+  ++=   • Từ (2) ⇒ x ≠ 0 và x y x 2 1 1 − += . Thay vào (1) ta được: xx xxxx xx 22 22 11 341  −− +=−+   ⇔ xxx 2(1)(2)0 −+= ⇔ x x 1 2  =  =−  (vì x ≠ 0) Nghiệm (x; y): 5 (1;1),2; 2  −−−   Bài 13. Giải hệ phương trình sau: xyxyxy xyyxxy 22 2(1) 2122(2)   ++=−  −−=−   • Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0 ⇒ x + y > 0. (1) ⇔ xyxy ()(21)0 +−−= ⇔ xy 21 =+ (3) Thay (3) vào (2) ta được: yyyyyy (21)222(21)2 +−=+− ⇔ ( ) yy (1)220 +−= ⇔ y = 2 ⇒ x = 5 Nghiệm (x; y): (5; 2) Bài 14. Giải hệ phương trình sau: yxx yxxyxy 2 22 (54)(4)(1) 54168160(2)   =+−  −−+−+=   • Từ (1) ⇒ yxx 22 51616 =−++ . Thay vào (2) ta được: yxyy 2 2480 −−= ⇔ y yx 0 24  =  =+  [...]... hệ phương trình sau: ( y = 5) ( y = − 5) • Trang 18 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 4: Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả Bài 1 Giải hệ phương trình sau: x + y = 1 (1)  (2) y + z = 2 z + x = 3 (3)  • Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được: x + y + z = 3 (4) Từ (4) và (1) ⇒ z = 2; từ (4) và (2) ⇒ x = 1; từ (4) và (3) ⇒ y = 0 Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2) Bài 2 Giải hệ. .. v = 1 Hệ PT ⇔  2 2 ⇒  ⇔  y = −1 u = −1, v = −2 (loaïi ) u + v = 5 Bài 16 Giải hệ phương trình sau:  x( x + 2)(2 x + y ) = 9  2 x + 4 x + y = 6 2 ( x 2 + 2 x )(2 x + y) = 9   Đặt u = x + 2 x • Hệ PT ⇔  2 ( x + 2 x ) + (2 x + y) = 6 v = 2 x + y  Bài 17 Giải hệ phương trình sau: • Trang 16 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá Bài 1 Giải hệ phương trình. .. tương tự:  6 6 x + y = 1  Bài 3 Giải hệ phương trình sau: • Trang 20 −1 + 5 =y 2 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 6: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình Bài 1 Giải phương trình sau: 8x + 1 = 2 3 2 x +1 − 1 3 • Đặt 2 x = u > 0; 2 x +1 − 1 = v u3 + 1 = 2v u 3 + 1 = 2 v u = v > 0   Ta được hệ  3 ⇔ ⇔ 3 2 2 v + 1 = 2u (u − v)(u + uv + v + 2) = 0  u − 2u + 1 = 0  ... Ta được hệ  3 y + 1 = 2 x  x = 1 3 ⇒ x − 2x +1 = 0 ⇔   x = −1 ± 5  2 Bài 2 Giải phương trình sau: Bài 3 Giải phương trình sau: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0 • Đặt u = 3 3 x − 2, v = 6 − 5 x , v ≥ 0 (*) 2u + 3v = 8 Ta có hệ:  3 ⇔ 2 5u + 3v = 8  8 − 2u v = u = −2 ⇒ x = –2 ⇔ 3  v = 4 15u3 + 4u2 − 32u + 40 = 0  Bài 4 Giải phương trình sau: • Trang 21 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ... = 0   Trường hợp (b) ⇒ 2 y − 1 = −3 ⇔  y = −1 2 z − 1 = − 5 z = −2   Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 2;3), (0; −1; −2) Bài 3 Giải hệ phương trình sau: • Trang 19 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 5: Phương pháp hàm số Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:  x + x 2 − 2 x + 2 = 3y −1 + 1    y + y 2 − 2 y + 2 = 3 x −1 + 1  u = x − 1 • Đặt  HPT ⇔ v = y − 1 u + u2 + 1 = 3v  ... (vì y ≠ 0) m = y− +2  y  1 1 Xét f ( y ) = y − + 2 ⇒ f ' ( y ) = 1 + >0 y y2 Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất ⇔ m > 2 Bài 4 Tìm m để hệ phương trình sau: a) • Từ (1) ⇒ x = 2 y − m , nên (2) ⇔ Trang 22 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng IV BÀI TẬP ÔN Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:  x + y − x y = 3  b)   x +1 + y +1 = 4   x + 2− y = 2  a)   y + 2− x = 2   x 7 y +... 3  Đặt u = x 2 + y 2 − 1; v = • Nếu v = x Hệ PT trở thành: y 7 thì u = 7, ta có Hệ PT: 2 Trang 13 (1) (2) Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng   2 2  x2 + y2 − 1 = 7  x 2 + y2 = 8  y = 4  y = −4     53 ∨ 53 ⇔ ⇔ x 7  7 = y 2 x = 2 y  x = 14 2  x = −14 2    53  53   So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT Bài 8 Giải hệ phương trình sau:  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y  2 2...  x = 3y   x = −4 y  6 6   6 6  Nghiệm (x; y): (3;1), (−3; −1),  −4 ; ;−  ,  4  13 13   13 13   Bài 20 Giải hệ phương trình sau: • Trang 11 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1 Giải hệ phương trình sau:  x 4 − 4 x 2 + y2 − 6 y + 9 = 0   2 2  x y + x + 2 y − 22 = 0  ( x 2 − 2)2 + ( y − 3)2 = 4  Đặt • HPT ⇔  2 2 ( x − 2 + 4)( y − 3 + 3)... Tùng Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số  x2 y − x2 + y = 2  Bài 1 Tìm m để hệ phương trình:  có ba nghiệm phân biệt 2 2 m ( x + y ) − x y = 4  (m − 1) x 4 + 2(m − 3) x 2 + 2m − 4 = 0  • Hệ PT ⇔  x2 + 2 y=  x2 + 1  2 x 2 + 1 = 0  + Khi m = 1: Hệ PT ⇔  (VN ) x2 + 2 y=   x2 + 1 (1) + Khi m ≠ 1 Đặt t = x2 , t ≥ 0 Xét f (t ) = (m − 1)t 2 + 2(m − 3)t + 2 m − 4 = 0 (2) Hệ PT có 3 nghiệm... y x − y 1− 6 x − y = 0 ⇔  Thay vào (2) ta được:  3 1 x = , y = x = y +1  2 2 Bài 18 Giải hệ phương trình sau:  1 1 (1) x − = y − (A - 2003) x y  3 2 y = x + 1 (2)  (1) ⇔ 3 ( )  1  x = y • Điều kiện xy ≠ 0 Ta có: (1) ⇔ ( x − y )  1 +  = 0 ⇔   xy = −1  xy  Trang 10 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng x = y = 1  x = y x = y −1 + 5 Trường hợp 1:  ⇔ ⇔ x = y = 3 2  2 2 x = . trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương. Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 3 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc. TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 1 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn axbyc abab axbyc 2222 111 1122 222 (0,0)  += +≠+≠  += 