++++++++++++++ phòng giáo dục đào tạo nam đàn ********************** Sáng kiến kinh nghiệm Tên Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử tập ứng dụng ******************************** Năm học 2008 2009 Nam đàn, tháng năm 2009 I Mở đầu Môn toán môn học phong phú đa dạng, niềm say mê ng ời yêu thích toán học Đối với học sinh để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân 1)Lí chọn đề tài SKKN Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" đợc học kỹ chơng trình líp 8, nã cã rÊt nhiỊu bµi tËp vµ cịng đợc ứng dụng nhiều để giải tập chơng trình đại số lớp nh lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm đợc tinh thần trình giảng dạy toán lớp đà dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thông minh lực t sáng tạo cho học sinh Trong SGK đà trình bày phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phơng pháp nh: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tách số hạng, phơng pháp thêm bớt số hạng, phơng pháp đặt ẩn phụ,phơng pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi học chuyên đề häc sinh tiÕp thu rÊt thÝch thó C¸c vÝ dơ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tơng tự nên giúp cho học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải toán khó 2)Lịch sử SKKN Trong nhiều năm đợc phân công làm nhiệm vụ bồi dỡng học sinh giỏi đà tích lũy đợc nhiều kiến thức dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng ,đặc biệt hớng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết đợc nên áp dụng phơng pháp để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu 3)Mục đích nghiên cứu: Chỉ phơng pháp dạy loại Phân tích đa thức thành nhân tử Đổi phơng pháp dạy học Nâng cao chất lợng dạy học,cụ thể chất lợng mũi nhọn 4.Nhiệm vụ phơng pháp nghiên cứu: a) Nhiệm vụ Nhiệm vụ khái quát:Nêu phơng pháp dạy loại Phân tích đa thức thành nhân tử Nhiệm vụ cụ thể: -Tìm hiểu thực trạng học sinh -Những phơng pháp đà thực -Những chuyển biến sau áp dụng -Rút học kinh nghiệm b)Phơng pháp nghiên cứu: -Phơng pháp đọc sách tài liệu -Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm -Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm -Phơng pháp thực nghiệm -Phơng pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 7.Giới hạn(phạm vi) nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu Phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp trờng THCS B - Nội dung đề tài: Trớc hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ Phân tích đa thức thành nhân tử giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập đợc vận dụng vận dụng nh ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức đà cho thành tích đa thức,đơn thức khác -Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức +Giải phơng trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ I> Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1- Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dơ 1: x4 + 5x3 +15x - §a thøc đà cho có số hạng đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tÝch nh sau: C¸ch 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) C¸ch 2: x4 + 5x3 + 15x - + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - =x = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x2 + 5x - không phân tích đợc Ví dô 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức đà cho có số hạng lại không đặt nhân tử chung đợc mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phơng pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) VÝ dô 3: x2 + 6x + Với phơng pháp đà biết nh đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta phân tích đợc đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức đà cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) C¸ch 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) C¸ch 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) C¸ch 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) VÝ dô 4: x3 - 7x - Ta cã thĨ t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) C¸ch 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) C¸ch 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) C¸ch 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) C¸ch 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) C¸ch 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối phân tích đợc Tất nhiên yêu cầu có tính chất tơng đối phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích không triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) C¸ch 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích đợc thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ (hoặc , )là số phơng (trong = b2-4ac ( , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất đẳng thức đợc : (hoặc , )là số phơng chứa hạng tử A2 +2AB +B2 hc A2 - 2AB +B2 VÝ dơ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Đa thức ta dự đoán có nhân tử b + c hc c - a hc a + b Ta có cách phân tích nh sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) C¸ch 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) C¸ch 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) C¸ch 4: NhËn xÐt: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) C¸ch 5: NhËn xÐt: b + c = (c - a) + (a + b) Ta cã: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) C¸ch 6: NhËn xÐt: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) VÝ dô 6: a5 + a + Sè mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) C¸ch 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) - Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 §Ỉt x = b - c; y = c - a; z = a - b Ta thÊy: x + y + z = => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) VÝ dô 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thờng gặp toán học sinh thờng thực phép nhân đa thức với đa thức đợc đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thờng khó dài dòng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x2 + x + hc y = x2 + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta cã: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) VÝ dô 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 NhËn xÐt: Ta cã: + = + ta nhân thừa số x + với x +7và x + với x + ta đợc đa thøc cã phÇn biÕn gièng (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta đợc: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) 3- Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tìm nghiệm đa thức a) Cách tìm nghiệm đa thức -Phơng pháp tìm nghiệm nguyên ®a thøc:NghiƯm nguyªn (nÕu cã ) cđa mét ®a thøc phảI ớc hạng tử tự VD Tìm nghiệm nguyên đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: C1)Các ớc : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức đà cho C2) Tổng hệ số đa thức nên đa thức đà cho có nghiệm x = - Phơng pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ớc hệ số tự do;q ớc dơng số hạng có bậc cao VD Tìm nghiệm ®a thøc sau: 2x3 + 5x2 + 5x + GiảI: Các ớc : 1;-1;3;-3 (p) Các ớc dơng : 1;2 (q) Xét sè ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thÊy -3/2 lµ nghiƯm cđa ®a thøc ®· cho Chó ý: -NÕu ®a thøc cã tổng hệ số đa thức cã mét nghiƯm b»ng VÝ dơ: §a thøc a) 3x4 - 4x +1 cã 3+ (-4) + = nªn cã mét nghiƯm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - cã + + (-3) + (-6) = nªn cã mét nghiƯm x = Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tỉng c¸c hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thÊy tỉng c¸c hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức ®ã cã mét nghiƯm lµ -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bËc ch½n b»ng : + = Tỉng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thÊy tỉng c¸c hƯ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 + 3x2 - b 2x3 + 5x2 + 5x + Gi¶I : a)C1 §a thøc x3 + 3x2 - cã nghiƯm lµ x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 C2 §a thøc x3 + 3x2 - cã nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta cã x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 c) §a thøc 2x3 + 5x2 + 5x + cã nghiƯm lµ x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) II> Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mÉu cho nh©n tư chung cđa chóng VÝ dơ: Rót gän biÓu thøc: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Gi¶i : Ta cã A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Ta thÊy tư thøc cđa phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 Do x x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5) A= ( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x + 5) ( x − 2)( x − 4) A= ( x + 1)( x + 4) A= VÝ dơ :Rót gän biĨu thøc B= x + 3x − x+x−2 Gi¶i: Ta thÊy tư thøc cã nghiƯm lµ 1; mÉu thøc cịng có nghiệm ;nên ta có x + 3x − x − x + x − x + 4x − = x + x − x − x + 2x − 2x + 2x − x+x+4 = Ta thấy tử mẫu không phân tích đợc x + 2x + B= Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhng trình bày phơng pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x ,ta cã: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]  (x+6) Gi¶I: Ta cã (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta cã (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6)  (x+6) VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x ta cã (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tÝch biÓu thøc (4x + 3)2 - 25 thõa sè (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x lµ sè nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do ®ã (2x2 + 3x - 3) chia hÕt cho 8.Ta suy §PCM VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n biĨu thøc A= n + n + n số nguyên 3 Ta cã: n + n + n = 2n + 2n + 6 Mn chøng minh biĨu thøc lµ sè nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n Ta cã: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thÊy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nªn Ýt nhÊt cã mét thõa sè chia hÕt cho vµ mét thõa sè chia hÕt cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho 2 VËy mäi sè nguyªn n biĨu thøc A= n + n + n số nguyên Ví dơ 4: Chøng minh ®a thøc: x 50 + x49 + + x2 + x + chia hÕt cho ®a thøc x 16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia nh sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Râ rµng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hÕt cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x 34 + x17 + VÝ dô 5: Chøng minh ®a thøc a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta cã: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) VËy ®a thøc A chia hÕt cho ®a thøc B 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 CMR: n + n + n = n víi n lỴ a b c a + bn + cn 1 1 bc + ac + ab Ta cã: + + = => = a b c a+b+c abc a+b+c ?VÝ dô 6: Cho => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - hc b + c = => b = - c Hc a + c = => a = - c V× n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phơng trình a) Giải phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta cã: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta cã: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mµ x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phơng trình sau: x + 2y = x + 2y = (II) (I) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = x + 2y = 12 (III) (IV) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta đợc x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta đợc x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta đợc x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta đợc x = - 16;y = 14 (Loại) VËy nghiƯm cđa hƯ x = 4; y = Vậy nghiệm phơng trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = x=1 x=1 => => 2x2 + y = y=5 x=7 x=7 Hc => 2x2 + y =1 y = - 97 x=-1 x=-1 => Hc 2x2 + y =-7 y-9 x=-7 x=-7 => Hc 2x2 + y = - y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > tháa m·n x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < V× x > y > x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phơng trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phơng trình ( 3x - )2 -( x - )2 = Gi¶i: Ta cã: ( 3x - )2 -( x - )2 =  ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) =  ( 4x - 6)(2x - 4) =  4x - =  x = 3/2 hc 2x - =  x = VËy nghiÖm phơng trình đà cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phơng trình x3 + 3x2 + 4x + = Gi¶i : Ta cã x3 + 3x2 + 4x + =  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = hc (x + 1) = => x = -1 hc (x2 + 2x + 2) = giá trị x Q Vậy nghiệm phơng trình đà cho x = -1 III - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tö 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) TÝnh nhanh sè trÞ cđa biĨu thøc sau víi a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biÓu thøc (2n + 3)2 - chia hÕt cho víi mäi n nguyªn 15) CM biĨu thøc n + n + n lµ số nguyên với số chẵn n 12 16) Chøng minh ®a thøc: 24 x79 + x78 + + x2 + x+ chia hÕt cho ®a thøc x19 + x18 + + x2 + x + C - Kết luận: Trên đà đa suy nghĩ mà giảng dạy "phân tích đa thức thành mhân tử dạng bàI tập øng dơng" cho båi dìng häc sinh giái líp Tôi đà tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng bồi dỡng học sinh giỏi đạt đợc kết cao Hầu hết học sinh nắm đợc kiến thức yêu thích học kiến thức Xin đợc giới thiệu với bạn đọc, em học sinh , bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào lực giải toán tri thức toán học mình.Rất mong bạn đọc tham khảo góp ý cho để nội dung phong phú hoàn thiện hơn./ Ngời thực hiện: tài liệu tham khảo 1) Một số vấn đề đổi phơng pháp dạy học môn toán trờng THCS 2) Sách hớng dẫn giảng dạy môn toán lớp 3) Sách giáo khoa toán 4) Tài liệu Bồi dỡng thờng xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007 5) Toán nâng cao chuyên đề Đại Số  ... giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập đợc vận dụng vận dụng nh ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức đà cho thành tích đa thức, đơn thức khác -Phân tích đa thức. .. dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu... cđa sè hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích