Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lụcTrangMục lục 01Giới thiệuGiới thiệu đề tài 02Giới thiệu nhóm 03Nội dung đề tàiChương 1. Đại cương về tổ hợp 041.1 Sơ lược lịch sử 041.2 Bài toán tổ hợp 07Chương 2. Bài toán nguyên lý Dirichlet 092.1 Nguyên lý Dirichlet 092.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu 102.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 11Chương 3. Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 123.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 123.2 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực số học 133.3 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực hình học 173.4 Ứng dụng nguyên lí trong các bài toán khác 25Kết luận 29Tài liệu tham khảo 30Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụngGiới thiệuGiới thiệu về đề tàiNguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The PigeonholePrinciple) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vàongăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp cácphần tử vào các lớp.Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học ngườiĐức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất.Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắctrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong nhiều trường hợp sử dụngnguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thểmà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toánchỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn,có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán.Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnhvực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chútrọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp,số học và hình học”.Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu thamkhảo.Chương 1. Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp.Chương 2. Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toántrong các chương sau.Chương 3. Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bàitập.
Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Mục lục Trang Mục lục 01 Giới thiệu Giới thiệu đề tài 02 Giới thiệu nhóm 03 Nội dung đề tài Chương 1. Đại cương về tổ hợp 04 1.1 Sơ lược lịch sử 04 1.2 Bài toán tổ hợp 07 Chương 2. Bài toán nguyên lý Dirichlet 09 2.1 Nguyên lý Dirichlet 09 2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu 10 2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 11 Chương 3. Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 12 3.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 12 3.2 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực số học 13 3.3 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực hình học 17 3.4 Ứng dụng nguyên lí trong các bài toán khác 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Giới thiệu Giới thiệu về đề tài Nguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp các phần tử vào các lớp. Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học người Đức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất. Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong nhiều trường hợp sử dụng nguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thể mà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toán chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi. Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn, có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán. Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chú trọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp, số học và hình học”. Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp. Chương 2. Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toán trong các chương sau. Chương 3. Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bài tập. Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Giới thiệu về nhóm STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Vũ Hứa Hạnh Nguyên Chương 1 Chương 3 2 Nguyễn Thị Kim Thoa Chương 2 Chương 3 3 Đinh Thị Thuỷ Chương 2 Chương 3 4 Lê Quang Huy Giới thiệu Chương 3 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Nội dung đề tài Chương 1. Đại cương về tổ hợp. Tổ hợp là một lĩnh vực của toán học rời rạc, là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ 17. Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, khoa học máy tính, hóa học…Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn đề khác nhau của toán học nên khó có thể định nghĩa một cách tổng quan. Nội dung của lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu, phân bố các phần tử vào các tập hợp. Các phần tử này thường hữu hạn và việc phân bố phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó. Trong nhiều trường hợp, việc xác định sự tồn tại một cấu hình thỏa mãn tính chất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặc lý thuyết cũng như thực tế. Vì vậy một bài toán tổ hợp là một bài toán: “Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước”. Bài toán tồn tại nghiên cứu từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác, các bài toan dưới đây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó. 1.1Sơ lược lịch sử Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu – Trung Quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hy Lạp – thế kỉ thứ 4 trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt. Ví dụ, 36 không những là tổng của 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỉ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, … Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân, …phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học,… Chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử. Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 1.1.1 Bài toán tháp Hà Nội Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỉ 19(ông cũng là người đưa ra dãy Fibonacci). Bài toán phát biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau, xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn. Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn. Hãy đếm số lần di chuyển đĩa. Tìm phương án di chuyển tối ưu. Số lần di chuyển là Khi n=64 ta có số lần di chuyển là 18 446 744 073 709 551 615 1.1.2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán này cũng do Lucas đưa ra năm 1891. Bài toán phát biểu như sau: Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần nhau. Có bao nhiêu cách xếp như vậy? Bài toán này dẫn đến việc ngiên cứu một khái niệm quan trọng là số phân bố và mãi đến năm 1934 mới có lời giải. Số cách xếp là trong đó là số phân bố. Bảng sau cho thấy sự bùng nổ tổ hợp ghê gớm của số phân bố. n = 4 5 6 7 8 9 10 11 = 2 13 80 579 4 738 43 387 439 792 4 890 741 1.1.3 Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ Cho bàn cờ vua với kích thước 8 x 8 = 64 ô. Tìm đường đi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần, và quay về ô xuất phát. Người ta chứng minh tổng quát được rằng: Trên bàn cờ vuông có số cạnh chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 bao giờ cũng tồn tại đường đi. Đường đi của Euler (1759) có tính chất: hiệu các ô đối xứng qua tâm bàn cờ bằng 32. 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 1 26 15 20 7 32 13 22 16 19 8 25 14 21 6 31 27 2 17 10 29 4 23 12 18 9 28 3 24 11 30 5 Đường đi của Beverle (1848) có tính chất: tổng các ô trên cột và hàng bằng 260. 1 30 47 52 5 28 43 54 48 51 2 29 44 53 6 27 31 46 49 4 25 8 55 42 50 3 32 45 56 41 26 7 Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 33 62 15 20 9 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11 1.1.4 Hình vuông la tinh Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, …, n – 1, n thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng Hình vuông la tinh chuẩn cấp n là hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu và cột đầu là 1, 2, …, n. Bảng sau đây là hình vuông la tinh chuẩn cấp 7 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 7 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6 Coonh thức tính số hình vuông la tinh đến nay vẫn còn bỏ ngỏ. Tuy nhiên, ta có thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn. Dưới đây là một số giá trị n = 1 2 3 4 5 6 7 = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080 ( là số hinh vuông la tinh chuẩn cấp n). 1.1.5 Hình lục giác thần bí Năm 1910 Cifford Adams đưa ra bài toán hình lục giác thần bí sau: Trên 19 ô lục giác hãy điền các số từ 1 đến 19 sao cho tổng theo sáu hướng của lục giác bằng nhau (= 38). Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng ông cũng tìm ra lời giải. Nhưng do sơ ý đánh mất bản thảo ông đã tốn thêm 5 năm nữa để khôi phục lời giải. Năm 1962 Adams công bố lời giải. Đây cũng là lời giải duy nhất. Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 2 1 7 4 5 8 6 11 18 17 3 19 16 12 10 13 15 14 9 1.2 Bài toán tổ hợp Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Có thể nói một cách tổng quát rằng lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố,sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Mỗi cách phân bố sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp. 1.2.1 Cấu hình tổ hợp Cho các tập hợp . Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của , được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của thỏa mãn các điều kiện gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập . Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một cấu hình tổ hợp. Ở đây ta có thể định nghĩa A là tập hợp các quân cờ trắng B là tập hợp các quân cờ đen S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua Ví dụ:Bài toán tháp Hà Nội A là tập hợp n đĩa S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa các điều kiện và . Ví dụ: Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ A là tập hợp các ô trên bàn cờ, có thể biểu diễn như sau S là sơ đồ sắp xếp tất cả các ô của A thành một vòng khép kín R là điều kiện từ mỗi ô trên vòng có thể đi đén các ô kề theo quy tắc đi của quân ngựa. 1.2.2 Các dạng bài toán tổ hợp Bài toán tồn tại Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó. Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ: Cho n nguyên dương A là tập hợp n x n điểm S là tập hợp 2n điểm trong A R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng Với cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bài toán chưa có lời giải với . Bài toán đếm Nội dung bà toán đếm là trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đàn xét?”. Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán. Ví dụ: Đếm số tập con của một tập hợp. Hoặc đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 10 Bài toán liệt kê các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không. Ví dụ: Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử. Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện). Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Ví dụ: (Bài toán ba lô). Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng không quá b để mang đồ vật. Có n đồ vật 1, 2,…,n. Đồ vật thứ j có trọng lượng và giá trị sử dụng là j = 1, 2, …n. Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào để tổng giá trị sử dụng là lớn nhất? Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương II Bài toán nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý chuồng và thỏ) Nguyên lý Dirichlet khẳng định một sự kiên “hiển nhiên” rằng n+1 con thỏ không thể xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ ở riêng một chuồng . Một cách tổng quát, nguyên lý này khẳng đinh rằng: Nếu có m đối tượng xếp vào n hộp và thì tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đối tượng. Chứng minh: Nguyên lý này rất dễ kiểm tra: Nếu không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng, thì số đối tượng không lớn hợn n, mâu thuẫn với giả thuyết số đối tượng m lớn hơn số hộp n. Tuy rằng với nguyên lý này người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi. Ngày nay chúng ta đã có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này trong các ứng dụng không tầm thường như các định lý kiểu Ramsey, phương pháp xác suất… Mặc dù nguyên lý Dirichlet được phát biểu rất đơn giản nhưng cái khó của nó là phải xác định được xem thỏ là gì, chuồng là gì. Ví dụ minh họa: Một lớp có 30 học sinh. Chứng tỏ trong lớp tìm thấy ít nhất 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. Lời giải: Bảng chữ cái tiếng Việt có 29 chữ cái (lồng). Lớp có 30 học sinh (thỏ). Số học sinh nhiều hơn số chữ cái nên có ít nhất 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau. 2.1.2 Nguyên lý Dirichlet 2 Nếu nhốt n con thỏ vào cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất con thỏ, ở đây kí hiệu để chỉ phần nguyên của số . Chứng minh: Giả sử mọi chuồng thỏ đều không có đến con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng con. [...]... 11) Từ điều kiện Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Ta chia đoạn [1, 1000] ra 10 phần bằng nhau Có tất cả 11 số Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 trong số 11 số đó nằm trong cùng một đoạn nhỏ Giả sử hai số đó là Suy ra , (i # j) và ≤ Hay Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Kết luận Trên đây là bài tiểu luận nêu lên các ứng dụng tiêu biểu của Nguyên lý Dirichlet trong... số mới Kết hợp với các phương pháp chứng minh phản chứng để giải toán Phải biến đổi để xuất hiện khái niệm “thỏ và lồng” trong bài toán và khái niệm nhốt thỏ vào lồng Trong một bài toán có thể phải sử dụng nguyên lý Dirichlet 2 hay 3 lần mới giải được Phải sử dụng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt cho dễ hiểu Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương 3 Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet. .. giải: Số cây thông là thỏ, số lá là lồng Lồng 1 ứng với cây chỉ có 1 lá Lồng 2 ứng với cây có 2 lá …… Mà số thỏ > số lồng Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất một lồng nhốt không dưới 2 con thỏ hay có ít nhất 2 cây thông có cùng số lá Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 3.2 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực số học Bài toán 2.1 Chứng minh rằng trong n+1 số thuộc {1,2,…,2n}... , ở đây được lấy theo modun 12, kí hiệu S là tập hợp tất cả các quả bóng, Khi đó mỗi quả bóng chứa đúng trong ba tập mở rông, ta có: Ta có: Tồn tại tập có ít nhất 20 quả bóng 2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu Theo nguyên lý Dirichlet Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 2.2.1 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử Cho tập hữu hạn ≥ và là các tập con của S sao cho Khi đó, tồn tại... tiên: Bây giờ ta xét các tổng: Nếu một tổng nào đó trong số các tổng trên chia hết cho k, thì bài toán được giải Ngược lại, các số 1, 2, 3, , k−1 (có số lượng k) khi chia cho k được các số dư: Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Từ nguyên lí Dirichlet suy ra có một cặp chỉ số i và j, 1 ≤i < j ≤k, mà các tổng Si và Sj cho cùng một số dư khi chia cho k Khi đó tổng các phần tử liên tiếp:.. .Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Suy ra tổng số con thỏ không vượt quá thỏ) Vậy giả sử sai Nên nguyên lý được chứng minh Ví dụ minh họa: con.(Vô lý vì có n con Một trạm y tế có 150 bệnh nhân thì trong đó có ít nhất có 6 người có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau 2.1.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Giả sử tập hữu hạn S có các tập... số hạng: không vượt quá 2n Xét tập hợp 2n số tự nhiên sau {1, 2, , 2n} Chia tập hợp này thành n cặp: (1, n + 1), (2, n + 2), , (n, 2n) Do tập hợp trên chứa không ít hơn n + 1 phần tử của dãy đã cho (vì thuộc tập hợp đó) Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số hạng khác nhau của dãy thuộc vào một cặp (giả sử ) Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Nhưng hiệu số của mỗi cặp đều... hiệu của chúng chia hết cho 100, còn nếu số dư của chúng khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 100 Bài toán 2.7 Chứng minh rằng từ tập hợp tùy ý gồm n số tự nhiên luôn tách ra được một tập hợp con (khác rỗng) chứa các số mà tổng của chúng chia hết cho n Lời giải: Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Giả sử với một tập hợp nào đó chứa các số mà không thoả mãn bài toán.Khi đó không có số... giác và quay về trường hợp a Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Bài toán 3.3 Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính bằng Lời giải: Chia hình vuông đơn vị thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là 0.2 Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông nhỏ, nên theo nguyên lí Dirichlet. .. (vì ngược lại thì cả ngăn 0 và 4 đều không trống,dẫn đến vô lí).Như vậy,mỗi người trong số 5 người được đặt vào các chuồng mang số 0,1,2,3 với số lượng 4 chuồng.Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng b Nếu mọi người ai cũng có người quen,mỗi người sẽ được đặt vào các chuồng mang số 1,2,3,4 . nào để tổng giá trị sử dụng là lớn nhất? Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương II Bài toán nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý chuồng. Theo nguyên lý Dirichlet mở rông, ta có: . Ta có: Tồn tại tập có ít nhất 20 quả bóng. 2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu. Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng 2.2.1 Nguyên lý Dirichlet. sử dụng nguyên lý Dirichlet 2 hay 3 lần mới giải được. Phải sử dụng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt cho dễ hiểu. Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Chương 3 Ứng dụng của nguyên