Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn lịch sử phát triển số nguyên tố
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NINH VĂN QUÝ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu tại THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.TSKH. Hà Huy Khoái . Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang, Trường Trung học phổ thông Bố Hạ, đặc biệt là tổ Toán Tin đã giúp đỡ tôi về tinh thần và vật chất trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011 Tác giả 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số nguyên tố là một trong những khái niệm xưa nhất của toán học, và với mỗi học sinh, khái niệm số nguyên tố cũng là một trong những khái niệm được biết đến đầu tiên.Tưởng như chúng ta đã biết tất cả những điều cần biết về số nguyên tố. vậy mà thực tế con người còn biết quá ít về các số nguyên tố, và việc nghiên cứu các số nguyên tố khó đến nỗi dường như câu hỏi nào đặt ra cho các số nguyên tố cũng sẽ là câu hỏi vĩnh cửu của toán học. Mặc dù vậy, sau hàng thế kỷ chỉ được biết đến như là vấn đề của toán học lý thuyết, trong khoảng 30 năm trở lại đây, số nguyên tố tham gia vào những ứng dụng thiết thực nhất của xã hội hiện đại: vấn đề bảo mật thông tin. Và cũng chính khi đó, người ta mới chợt nhận ra rằng, con người chưa biết gì về các số nguyên tố! Luận văn gồm hai chương. Chương 1, chúng tôi trình bày các giai đoạn phát triển của số nguyên tố. Những định lý quan trọng liên quan đến số nguyên tố. Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày 1 số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội hiện đại. Nhận thức được lí thuyết số nguyên tố là nền tảng của số học, chúng ta đã được học về số nguyên tố từ rất sớm, ngay từ bậc học phổ thông cơ sở, nhưng rất ít tài liệu viết về số nguyên tố. Bản luận văn này sẽ cung cấp thêm một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố và quá trình tìm ra các số nguyên tố lớn. Chúng tôi hy vọng luận văn này sẽ đáp ứng được phần nào lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tố của các bạn đồng nghiệp, của các em học sinh. Sau một thời gian nghiên cứu luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô, 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011 Tác giả 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 8 1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) . 8 1.2.2. Sàng Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17) . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17) . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1. Định lý 2(Fermat bé) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2. Định lý 3(Wilson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3. Định lý 4(Định lý cơ bản của số học) . . . . . . . 13 1.4.4. Định lý 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.5. Sự phân bố các số nguyên tố: . . . . . . . . . . . 14 1.4.6. Số nguyên tố Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.7. Số nguyên tố Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.8. Một số số nguyên tố lớn được biết đến . . . . . . 21 1.4.9. Một số vấn đề chưa được giải quyết . . . . . . . . 23 1.4.10. Số giả nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.11. Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố . . . 26 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2. Một số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội hiện đại 28 2.1. Lý thuyết mật mã (Mã hóa thông tin) . . . . . . . . . . 28 2.1.1. Hệ mã mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Các hệ mật mã khóa công khai . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 1.1. Định nghĩa Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. 1.2. Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) Số nguyên tố và các tính chất của nó lần đầu tiên được nghiên cứu rộng rãi bởi các nhà toán học Hylạp cổ đại. Các nhà toán học của trường học của Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) đã quan tâm đến các tính chất của số nguyên tố. Họ đã quan tâm đến sự hoàn hảo và thân thiện con số. Cho đến thời gian xuất hiện cuốn "Nguyên lý" của Euclid (Khoảng 300TCN), một số kết quả quan trọng về số nguyên tố đã được chứng minh. Trong sách Nguyên lý IX đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố. Đây là một trong những bằng chứng được biết từ rất sớm trong đó sử dụng phương pháp phản chứng. 1.2.1. Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. Chứng minh:(Định lý 1) Giả tập hợp các số nguyên tố là hữu hạn. Gọi p là số nguyên tố lớn nhất. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét k là tích của tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1: k = 2 · 3 ·5 · · ··p + 1 Số k không có ước nguyên tố bởi vì khi chia cho số nguyên tố tùy ý ta được phần dư bằng 1. Trong khi đó dễ thấy rằng ước số bé nhất m > 1 của số tự nhiên k là số nguyên tố. Mâu thuẫn này chứng minh định lí. Euclid cũng đưa ra một bằng chứng của Định lý cơ bản của số học là mỗi số nguyên có thể viết thành tích của các số nguyên tố. Euclid cũng cho thấy nếu 2 n −1 là số nguyên tố thì 2 n−1 ·(2 n −1) là một số hoàn hảo. Nhà toán học Euler(Năm 1747) đã chỉ ra rằng tất cả các số hoàn hảo đều có dạng trên. 1.2.2. Sàng Eratosthenes Trong khoảng 200 TCN. Eratosthenes (Hylạp) đã nghĩ ra một thuật toán để tính các số nguyên tố, được gọi là sàng Eratosthenes: Trước tiên, ta viết dãy các số tự nhiên từ 1 đến n . Trong dãy đó gạch đi số 1, vì nó không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố đầu tiên của dãy là 2. Tiếp theo đó ta gạch khỏi dãy tất cả những số chia hết cho 2. Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3: Đó chính là số nguyên tố. Ta lại gạch đi khỏi dãy còn lại những số nào chia hết cho 3. Tiếp tục như thế, ta lại gạch khỏi dãy những số chia hết cho mọi số nguyên tố bé hơn √ n. Các số còn lại của dãy là tất cả các số nguyên tố không vượt quá n. Sàng Eratosthenes, mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tố không vượt quá một số cho trước, rất ít được sử dụng để xác định xem một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không. Nguyên nhân là vì thuật toán có độ phức tạp quá lớn. 1.3. Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17) Sau những kết quả đạt được về việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên tố của các nhà toán học Hylạp (Trước công nguyên). Thì sau đó một khoảng cách dài trong lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt được thành tựu nào đáng kể, thường được gọi là thời kỳ đen tối. 1.4. Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17) Những phát triển quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Fermat vào đầu thế kỷ 17. Ông chứng minh một sự suy đoán của Albert Giard rằng mỗi số nguyên tố có dạng 4n − 1 có thể được viết theo một cách duy nhất dưới dạng tổng bình phương. Ông nghĩ ra một phương pháp mới để tìm thừa số của những số lớn và khai triển số 2027651281 = 44021.46061 Ông lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18/10/1640 cho bạn ông là Frénicle de Bessy. Như thường lệ Fermat không chứng minh. Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào 1736 trong một bài báo, nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683. Điều mà ngày nay được biết đến như là Định lý Fermat bé (để phân biệt với định lý cuối cùng của Ông). 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... vô hạn số nguyên tố Fermat? 6 Có nhiều vô hạn bộ ba số nguyên tố liên tiếp trong cấp số cộng? 8 n2 − n + 41 là số nguyên tố với 0 ≤ n ≤ 40 Có vô hạn số nguyên tố có dạng này? 9 Có vô hạn số nguyên tố có dạng n + 1 ? (ở đây n là tích của tất cả các số nguyên tố ≤ n) 10 Có vô hạn số nguyên tố có dạng n − 1? 11 Có vô hạn số nguyên tố có dạng n! + 1? 12 Có vô hạn số nguyên tố có dạng n! − 1? 23 Số hóa... rõ ràng hơn về hàm dê-ta 1.4.6 Số nguyên tố Mersenne Định nghĩa: Giả sử m là một số nguyên dương, khi đó Mm = 2m − 1 được gọi là số Mersenne thứ m Nếu p là số nguyên tố và Mp cũng là số nguyên tố, thì Mp được gọi là số nguyên tố Mersenne Ví dụ: M2 , M3 , M5 , M7 là các số nguyên tố Mersenne, trong khi M11 là hợp số Có nhiều định lý khác nhau dùng để xác định số nguyên tố Mersenne Chẳng hạn nhờ định... 1.4.5 Sự phân bố các số nguyên tố: Thoạt nhìn, các số nguyên tố dường như được phân phối giữa các số nguyên một cách khá lộn xộn Ví dụ trong số 100 số đứng liền trước 10000000 có chín số nguyên tố, trong khi 100 số sau chỉ có hai số nguyên 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tố Legendre và Gauss đã tính toán đến mật độ của các số nguyên tố Gauss nói với một... mở (một số trong số đó có niên đại hàng trăm năm) liên quan đến số nguyên tố 1.4.9 Một số vấn đề chưa được giải quyết 1 Có vô hạn số nguyên tố sinh đôi? 2 Phỏng đoán của Goldbach (phát biểu trong một bức thư của Goldbach gửi Euler vào năm 1742) rằng mỗi số nguyên lớn hơn 2 có thể được viết như là tổng của hai số nguyên tố? 3 Có vô hạn số nguyên tố dạng n2 + 1 ? 4 Luôn luôn có một số nguyên tố giữa... 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 232 + 1, và ông phát biểu (nhưng đã không thể chứng minh) điều mà ngày nay gọi là luật thuận nghịch bình phương 1.4.8 Một số số nguyên tố lớn được biết đến Các số nguyên tố sinh đôi Số nguyên tố sinh đôi là số nguyên tố có dạng p và p + 2 chúng khác nhau 2 đơn vị Ngày 28.9.2002 Daniel Papp phát hiện ra một số nguyên tố. .. Bình luận Twin(p) Twin(p+2) Twin(p) Twin(p+2) Twin(p) Twin(p+2) Twin(p) Twin(p+2) Twin(p) Twin(p+2) Các số nguyên tố Sophie Germain Một số nguyên tố Sophie Germain là một nguyên tố lẻ p mà 2p + 1 cũng là một số nguyên tố Ngày 18.1.2003, David Underbakko đã phát hiện ra một nguyên tố Sophie Germain có 34547 chữ số (2540041185.2114729 − 1) Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain đã được tìm thấy 21 Số. .. xung thêm một số vấn đề cho phong phú hơn Luận văn đã đạt được các kết quả sau: - Trình bày được các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố và các định lý quan trọng liên quan đến số nguyên tố, danh sách các số nguyên tố lớn được biết đến và một số vấn đề chưa được giải quyết - Trình bày được một số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội hiện đại : Đó là bảo mật thông tin 35 Số hóa bởi Trung... cần thử với hai số 53 và 79 : Ta thấy M13 là số nguyên tố Có nhiều thuật toán đặc biệt để kiểm tra nguyên tố các số Mersenne nhờ đó, người ta phát hiện được những số nguyên tố rất lớn Mỗi lần có một số nguyên tố Mersenne ta lại được một số hoàn hảo, số nguyên tố Mersenne tìm được gần đây nhất (năm 2009) là số Mersenne thứ 47 là M42643801 gồm 12837064 chữ số Được tìm thấy bởi Old Magnar Strindmo từ Melhus,... số nguyên tố bé hơn 1010 , nhưng chỉ có 14884 số giả nguyên tố cơ sở 2 trong khoảng đó Định lý: Có vô số số giả nguyên tố cơ sở 2 Chứng minh: Giả sử n là 1 số giả nguyên tố cơ sở 2, ta sẽ chứng tỏ rằng m = 2n − 1 cũng là 1 số giả nguyên tố cơ sở 2 Theo giả thuyết n là hợp số, chẳng hạn n = d.t , với (1 < d, t < n), và 2n−1 ≡ 1 (mod n) Dễ thấy rằng m là hợp số, vì (2d − 1)(2n − 1) = m Do n là giả nguyên. .. trong tính số nguyên tố Đến cuối đời, ông ước tính rằng ông đã tính tất cả các số nguyên tố lên đến khoảng 3000000 Cả Legendre và Gauss kết luận rằng, đối với n đủ lớn, mật độ các số nguyên tố nhỏ hơn n là 1/log(n) Legendre đã cho một ước tính cho π(n) số nguyên tố ≤ n của π(n) = n/(log(n) − 1, 08366) Mệnh đề nói rằng mật độ của các số nguyên tố là 1/log(n) được gọi là định lí số nguyên tố Người ta . đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 1.1. Định nghĩa Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên. liệu viết về số nguyên tố. Bản luận văn này sẽ cung cấp thêm một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố và quá trình tìm ra các số nguyên tố lớn. Chúng tôi hy vọng luận văn này sẽ. số nguyên liên tiếp k + 1, k + 2, , k + n, với k nhỏ thì có nhiều số nguyên tố, nhưng với k khá lớn thì lại hiếm số nguyên tố. Đến số hàng tỉ thì cứ khoảng 20 số nguyên mới có một số nguyên tố. Khám