Đang tải... (xem toàn văn)
Đa thức đối xứng và các hệ phương trình và bất đẳng thức liên quan
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC Næng Hữỡng Na A THC ẩI XNG V CC H PHìèNG TRNH V BT NG THÙC LIN QUAN LUN VN THC Sò TON HC Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.01.13 Ngữới hữợng dăn khoa hồc GS TSKH NGUYN VN MU THI NGUYN - NM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mưc lưc Mưc lửc M Ưu a thực Ôi số v cĂc a thùc èi xùng cì b£n 1.1 Tẵnh chĐt cừa a thực Ôi số 1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa a thùc èi xùng cì b£n 1.2.1 10 1.2.2 a thùc èi xùng ba bi¸n 12 1.2.3 1.3 a thùc èi xùng nhi·u bi¸n a thùc èi xùng hai bi¸n 14 Mởt số dÔng biu diạn cừa a thực èi xùng 18 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng v hằ dÔng ối xựng 2.1 Hằ phữỡng trẳnh cừa a thực ối xùng n ©n (n > 3, n ∈ N) 20 20 2.1.1 Hằ phữỡng trẳnh 20 2.1.2 Hằ phữỡng trẳnh ba ©n 24 2.1.3 H» phữỡng trẳnh hai ân 28 2.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng vỏng quanh 30 2.3 Mởt số hằ bĐt phữỡng trẳnh ối xựng cì b£n 35 BĐt ng thực liản quan án a thực ối xựng 3.1 37 BĐt ng thực cừa cĂc dÔng a thùc bªc hai 37 3.1.1 Tẵnh chĐt 37 3.1.2 B i tªp ¡p dưng 38 3.2 B§t ¯ng thùc cừa cĂc dÔng a thực bêc cao 42 3.3 B§t ¯ng thùc cừa cĂc dÔng phƠn thực 52 56 57 Kát luên Ti liằu tham khÊo Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mð ¦u Lỵ chồn à ti 1.1 Cỡ s lẵ luên: ToĂn hồc l mổn th thao cừa trẵ tuằ, l mỉn khoa håc gióp håc sinh ph¡t triºn n«ng lỹc tữ duy, khÊ nông dỹ oĂn phƠn tẵch tờng hủp, phĂt hiằn, tiáp thu, ghi nhợ trẳnh by mët v§n · mët c¡ch khoa håc, lỉ gic, ch°t ch 1.2 Cỡ s thỹc tá: Trong chữỡng trẳnh toĂn håc ð trung håc phê thỉng th¼ a thùc câ vai trỏ v v trẵ rĐt quan trồng vẳ nõ khổng nhỳng l mởt ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số m cỏn l mởt cổng cử ưc lỹc cừa giÊi tẵch Lỵ thuyát xĐp x, Lỵ thuyát nởi suy, Lỵ thuyát biu diạn Trong c¡c ký thi håc sinh giäi to¡n quèc gia, olympic toĂn khu vỹc v quốc tá thẳ cĂc bi toĂn và a thực cụng ữủc xem nhữ nhỳng dÔng bi toĂn khõ bêc trung hồc phờ thổng Trong lắnh vỹc phực tÔp cừa Ôi số ối vợi hồc sinh phờ thổng thữớng l giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh bêc cao, phƠn tẵch cĂc a thực nhiÃu bián bêc cao thnh nhƠn tỷ, chựng minh cĂc ng thực bĐt ng thực chựa nhiÃu bián số Mởt trữớng hđp quan trång v th÷íng g°p c¡c b i to¡n cừa cĂc lắnh vỹc nõi trản l cĂc bián sè cõa a thùc câ vai trá v tr½ nh÷ Chóng ta gåi a thùc tr÷íng hđp a thực ối xựng v cĂc hằ phữỡng trẳnh ối xựng v bĐt ng thực liản quan " trẳnh by mởt số vĐn à liản ny l a thực ối xựng Luên vôn " quan án nhiÃu bi toĂn khõ câ chùa y¸u tè èi xùng n¸u bi¸t ¡p dưng lỵ thuyát và a thực ối xựng s lm cho bi toĂn tr nản ỡn giÊn hỡn Luên vôn nhơm giợi thiằu cỡ s lỵ thuyát cừa cĂc a thực ối xựng v ựng dửng cừa nõ Ôi số sỡ cĐp CĂc vĐn à cừa lỵ thuyát ữủc trẳnh by mởt cĂch ỡn giÊn theo hữợng quy nÔp, tứ trữớng hủp hai bián, ba bián, án nhiÃu bián CĂc vẵ dử Ăp dửng cụng ữủc trẳnh by tứ ỡn giÊn án phực tÔp CĂc bi toĂn ữủc trẳnh by luên vôn chừ yáu l cĂc bi toĂn khõ, nhiÃu bi toĂn ữủc trẵch tứ cĂc à thi håc sinh giäi qc Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ gia, Olympic to¡n qc t¸, IMO à ti quan tƠm án nhiÃu ối tữủng, õ hon ton phũ hủp vợi thỹc tá m bÊn thƠn ang cổng tĂc Mửc ẵch nghiản cựu a thực ối xựng v cĂc hằ phữỡng trẳnh ối xựng v bĐt ng thực liản quan " nhơm th hiằn ró vai trỏ quan trồng cừa Ôi số Luên vôn " toĂn hồc Luên vôn ny l chuyản à têng quan v· a thùc èi xùng thæng qua c¡c nh nghắa, nh lỵ, cĂc vẵ dử v bi têp Ăp dửng ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu Tham kh£o v nghi¶n cùu tø c¡c t i li»u, gi¡o trẳnh cừa GS-TSKH Nguyạn Vôn Mêu v cĂc sĂch chuyản à và a thực, phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh v c¡c b i b¡o to¡n håc vi¸t v· a thùc èi xựng, nhơm hằ thống cĂc dÔng toĂn và a thực ối xựng Nghiản cựu trỹc tiáp tứ cĂc ti ti liằu cừa giĂo viản hữợng dăn, cừa cĂc ỗng nghiằp cụng nhữ cĂc bÔn hồc viản cao hồc lợp ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa à ti TÔo ữủc mởt à ti phũ hủp cho viằc giÊng dÔy, bỗi dữùng hồc sinh trung hồc phờ thổng, à ti õng gõp thiát thỹc cho viằc dÔy v hồc a thực ối xựng, phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh v bĐt ng thực trữớng phờ thổng, em lÔi niÃm am mả sĂng tÔo tứ nhỳng bi toĂn cỡ bÊn nhĐt CĐu trúc cừa luên vôn Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo v chữỡng: Chữỡng 1: a thực Ôi số v c¡c a thùc èi xùng cì b£n Ch÷ìng 2: H» phữỡng trẳnh ối xựng v hằ dÔng ối xựng Chữỡng 3: BĐt ng thực liản quan án a thực ối xựng Dũ  rĐt cố gưng, chưc chưn nởi dung ữủc trẳnh by luên vôn khổng trĂnh khọi thiáu sõt, em rĐt mong ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn em tiáp tửc hon thiằn luên vôn luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa GS TSKH NGUYN VN MU Em xin ÷đc tä láng c£m ìn chƠn thnh nhĐt tợi ThƯy và sỹ giúp ù nhiằt tẳnh tứ xƠy dỹng à cữỡng, viát v hon thnh luên vôn Tiáp theo em xin chƠn thnh cÊm ìn c¡c th¦y cỉ gi¡o ph£n bi»n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ¢ åc v gâp ỵ em hon thiằn luên vôn cừa mẳnh, em xin ữủc cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt án khoa ToĂn - Tin cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản, nỡi em  nhên ữủc mởt hồc vĐn sau Ôi hồc côn bÊn.Xin cÊm ỡn gia ẳnh, ỗng nghi»p ¢ c£m thỉng chia s´, õng hë v gióp ï thíi gian em håc cao håc v vi¸t luên vôn Lới cuối em xin chúc sực khọe cĂc thƯy cổ giĂo v ỗng nghiằp Em xin chƠn thnh c£m ìn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chữỡng a thực Ôi số v cĂc a thực ối xựng cỡ bÊn 1.1 Tẵnh chĐt cừa a thực Ôi số nh nghắa 1.1 (xem [1]-[4]) Mởt a thực bêc n cừa ân x l biu thực cõ dÔng: Pn (x) = an xn + an1 xn1 + · · · + a1 x + a0 , â, c¡c h» sè an , an−1 , , a0 l nhúng sè thüc (ho°c sè phùc) v an = 0, n ∈ N Ta k½ hi»u: i) Bªc cõa a thùc Pn (x) l degPn Do vêy an l hằ số cao nhĐt (chẵnh) cõa iii) a0 l h» sè tü cõa a thực, n iv) an x l hÔng tỷ cao nhĐt ii) ành ngh¾a 1.2 (xem [1]-[3]) deg Pn (x) = n a thùc, Cho a thùc Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , vỵi an = α ∈ C ÷đc gåi l nghi»m cõa a thùc Pn (x) n¸u Pn (α) = N¸u k k+1 tỗn tÔi k N, k > cho Pn (x).(x − α) v Pn (x) (x − ) thẳ ữủc gồi l nghiằm k cõa a thùc Pn (x) °c bi»t k = thẳ ữủc gồi l nghiằm ỡn, k = thẳ ữủc gồi l Khi õ, nghiằm kp nh lỵ 1.1 trữớng (xem [1]-[3], nh lỵ Gauss) Mồi a thực bêc n trản C Ãu cõ úng n nghiằm náu mội nghiằm ữủc tẵnh mởt số lƯn bơng cừa nõ Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bê · 1.1 Pn (z) = CĂc nghiằm phực thỹc sỹ cừa phữỡng trẳnh a thực thỹc xuĐt hiằn theo tứng cp nghiằm liản hủp Thêt vêy, náu aC l nghiằm cừa phữỡng trẳnh Pn (z) = th¼ Pn (a) = Khi õ, ta cõ: nh lỵ 1.2 = Pn (a) = Pn (a) (xem [1]-[3]) Måi a thùc vỵi hằ số thỹc Ãu cõ th biu diạn dữợi dÔng: Pn (x) = a0 (x − α1 )n1 (x − αr )nr (x2 + p1 x + q1 )m1 (x2 + ps x + qs )ms , s â, r s mi = n, p2 − 4qi < 0, i = 1, s i ni +2 i=1 i=1 v α0 , α1 , , αr ; p1 , q1 , ps , qs ∈ R Tø ành lỵ 1.2 ta cõ kát quÊ quan trồng sau Ơy H» qu£ 1.1 n v k Gi£ sû Pn (x) tẵnh chđn l nh lỵ 1.3 l a thực bªc n (xem [1]-[4]) Méi a thùc bªc câ n k nghi»m thüc, ·u câ khæng qu¡ k≤n n thẳ nghiằm thỹc 1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa a thực èi xùng cì b£n a thùc èi xùng l cỉng cử hỳu hiằu giÊi cĂc phữỡng trẳnh Ôi số bêc cao, c biằt l phữỡng trẳnh hằ số ối xựng v phữỡng trẳnh hỗi quy nh nghắa 1.3 (xem [3]) a thùc f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an (a0 = 0) ÷đc gåi l a thùc èi xùng, n¸u c¡c h» sè c¡ch ·u hai Ưu bơng nhau, nghắa l: a0 = an , a1 = an−1 , a2 = an−2 , Vẵ dử 1.1 CĂc a thực sau Ơy l a thùc h» sè èi xùng: z − 3z + 2z + 2z − 3z + 1, 2z + z − 6z + 4z + 3z + 4z − 6z + z + Số hóa trung tâm học lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ nh lỵ 1.4 f (z) a thực z znf nh nghắa 1.4 bêc (xem [3]) n l a thùc èi xùng v ch¿ = f (z), vợi z = Phữỡng trẳnh P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x2 + a1 x + a0 = 0, an = (1) ÷đc gåi l phữỡng trẳnh ối xựng, náu hằ số cừa nhỳng số hÔng cĂch Ãu Ưu v cuối bơng nhau, tực l - N¸u - N¸u an = a0 ; an−1 = a1 ; an−2 = a2 ; n = 2k + 1, ta gåi (1) l ph÷ìng trẳnh ối xựng bêc l n = 2k ta gồi (1) l phữỡng trẳnh ối xựng bêc chđn Ta cõ cĂc kát quÊ sau Ơy Mằnh à 1.1 x = (xem [3]) Mồi phữỡng trẳnh ối xựng bêc l Ãu nhên lm mởt nghiằm Chú ỵ 1.1 (xem [3]) trẳnh ối xựng bƠc l Tứ nh lỵ Bezout suy n¸u (deg P (x) = 2k + 1) P (x) = l phữỡng thẳ P (x) = ⇔ (x − 1)Q (x) = 0, ð Ơy deg Q (x) = 2k, Mằnh à 1.2 bơng c¡ch °t V½ dư 1.2 Líi gi£i Q(x) v (xem [3]) y =x+ x l a thùc èi xựng bêc chđn Vợi phữỡng trẳnh ối xựng bêc chđn bơng , phữỡng trẳnh quy và phữỡng trẳnh bêc GiÊi phữỡng trẳnh 2k , k x4 + 2x3 6x2 + 2x + = Xt phữỡng trẳnh x4 + 2x3 − 6x2 + 2x + = Ơy l phữỡng trẳnh ối xựng bêc chđn Ró rng (1) x=0 khỉng ph£i l nghi»m cõa (1) n¶n + 2(x + ) − = x2 x 1 ⇔ x+ −2+2 x+ − = x x ⇔ x+ +2 x+ − = (2) x x (1) ⇔ x2 + Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ °t y =x+ , x â (2) ⇔ y + 2y − = x+ =2 y=2 x ⇔ y = −4 ⇔ x + = −4 x ⇔ x2 − 2x + = ⇔ x2 + 4x + = Vêy phữỡng trẳnh (1) cõ ba nghi»m V½ dư 1.3 x = 1; x = −2 + √ x=1 √ x = −2 ± 3; x = GiÊi phữỡng trẳnh x5 − 4x4 + 3x3 + 3x2 − 4x + = (1) Lới giÊi Ơy l phữỡng trẳnh ối xựng bêc l, nản (1) chưc chưn cõ mởt nghiằm bơng -1 Theo lữủc ỗ Hoocne, ta thĐy x = −1 x4 − 5x3 + 8x2 − 5x + = (x + 1) (x4 − 5x3 + 8x2 5x + 1) = Xt phữỡng trẳnh x4 − 5x3 + 8x2 − 5x + = Do x=0 khỉng ph£i l nghi»m cõa (2) n¶n 1 (2) ⇔ x + −5 x + +8 = ⇔ x + x x x 2 °t y =x+ , x b N¸u −5 x + +6 = (3) x v tø (3) ta câ: y = y = y − 5y + = ⇔ a N¸u (2) = ⇔ x2 − 2x + = ⇔ x = x √ 3± x + = ⇔ x2 − 3x + = ⇔ x = x x+ Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l √ 3+ 3− x = 1; x = −1; x = ;x = 2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ V½ dư 1.4 Cho phữỡng trẳnh ối xựng bêc chđn sau Ơy: x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + = (1) Chựng minh phữỡng trẳnh  cho vổ nghiằm Lới giÊi Xt phữỡng trẳnh x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + = Do x=0 khæng ph£i l nghi»m cõa (1), ta câ (1) ⇔ x2 + °t x2 +2 x+ x + = (2) x y =x+ Ta câ: |y| = x + 1 = |x| + ≥ 2, x Khi â (2) ⇔ y + 2y + = (3) Do ∆ = − = −1 < Vªy (3) vỉ nghi»m K²o theo (1) vỉ nghi»m Suy pcm Nhªn x²t 1.1 Ta câ c¡ch l m kh¡c nh÷ sau: (1) ⇔ x2 x2 + 2x + + x2 + 2x + + 2x2 = ⇔ x2 + (x + 1)2 + 2x2 = x + = (4) ⇔ x = (5) V¼ (4),(5) vỉ nghi»m Suy pcm V½ dư 1.5 Gi£ sû a, b l cĂc số cho phữỡng trẳnh ối xỳng bêc chđn x + ax + bx2 + ax + = câ nghi»m, t¼m gi¡ trà b² nhĐt cừa a2 + b2 Lới giÊi Xt phữỡng tr¼nh x4 + ax3 + bx2 + ax + = 0.(1) (1) l phữỡng trẳnh ối xựng bêc chđn Theo giÊ thiát (1) cõ nghiằm, nản gồi x0 = 0, l mët nghi»m cõa (1) Rã r ng tø (1) ta câ x2 + x2 + a x0 + ⇔ x0 + x0 x0 + a x0 + Số hóa trung tâm học lieäu +b=0 x0 + b − = (2) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 a3 b3 c3 a2 c b2 a c2 b ⇔a +b +c + + + + + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a b c a a3 b3 c3 a2 c b2 a c2 b ⇔ + + + + + ≥ a2 + b2 + c2 (3) b c a b c a 2 p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM: a2 c b2 a c2 b + bc ≥ 2ac; + ac ≥ 2ba; + ba ≥ 2bc, b c a ta ÷đc a2 c b2 a c2 b + + ≥ ab + bc + ca b c a Suy a3 b3 c3 a2 c b2 a c2 b a3 b3 c3 + + + + + ≥ + + + ab + bc + ca b c a b c a b c a (3) p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM: 3 a3 b c + ab ≥ 2a , + bc ≥ 2b , + ca ≥ 2c2 , b c a suy a3 b c + + + ab + bc + ca ≥ a2 + b2 + c2 b c a (4) Tø (3) v (4) suy a3 b3 c3 a2 c b2 a c2 b + + + + + ≥ a2 + b2 + c2 , b c a b c a ( pcm) B i to¡n 3.7 (Balkan 2010) Cho a, b, c l c¡c sè thỹc dữỡng thọa mÂn a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Chùng minh r¬ng : √ a3 b3 c3 √ +√ +√ ≥ b4 + b2 c2 + c4 c4 + c2 a2 + a4 a4 + a2 b2 + b4 Líi gi£i Tø gi£ thi¸t suy a4 + b4 + c4 ≥ 1, a3 + b3 + c3 n¶n ta qui b i toĂn và viằc chựng minh bĐt ng thực ỗng bêc l : √ √ a4 + b4 + c4 a3 b3 c3 +√ +√ ≥ 3 a + b3 + c3 b4 + b2 c2 + c4 c4 + c2 a2 + a4 a4 + a2 b2 + b4 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 Sû dửng kắ thuêt ghp ối xựng, ta s ch r¬ng: √ a3 3a √ ≥ a + b3 + c3 b4 + b2 c2 + c4 ⇔ 3a2 b4 + b2 c2 + c4 ≤ a3 + b3 + c3 (1) p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM ta câ 3a2 b4 = 3.ab.ab.b2 ≤ a3 b3 + a3 b3 + b6 3a2 c4 = 3.ac.ac.c2 ≤ a3 c3 + a3 c3 + c6 3a2 b2 c2 = 3.a2 bc.bc ≤ a6 + b3 c3 + b3 c3 Cởng cĂc bĐt ng thực trản vá theo vá ta thu ữủc bĐt ng thực (1) Do â √ a3 3a √ ≥ a + b3 + c3 b4 + b2 c2 + c4 D§u b¬ng x£y v ch¿ a = b = c = Mởt số kắ thuêt chựng minh bĐt ng thực ỗng bêc Bi toĂn 3.8 a, b, c > (Iran-2010) Cho Chùng minh r¬ng 1 1 1 1 + 2+ 2+ ≥ + + + a2 b c 25 a b c a + b + c (a + b + c)2 Líi gi£i Khi ta thay Nhên xt: BĐt ng thực trản l bĐt ng thực thuƯn nhĐt (a; b; c) bi (ta; tb; tc) thẳ b§t ¯ng thùc khỉng thay êi Do â khỉng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a + b + c = (a, b, c > 0) B§t ¯ng thực cƯn chựng minh viát lÔi: 1 1 + + +1≥ + + +1 a2 b c 25 a b c °t (1) (2) 1 = x; = y; = z (x; y; z > 0) a b c 1 ⇒x+y+z = + + ≥ = a b c a+b+c Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 B§t ¯ng thùc (2): x2 + y + z + ≥ Do (x + y + z + 1)2 25 x2 + y + z ≥ (x + y + z)2 nản bĐt ng thực trản ữủc chựng minh náu ta chựng minh ữủc (x + y + z)2 + ≥ (x + y + z + 1)2 25 °t t=x+y+z th¼ t ≥ Ta c¦n chùng minh t + ≥ (t + 1)2 ⇔ 4t2 − 42t + 54 ≥ ⇔ (t − 9) t − 25 i·u n y ho n to n óng ∀t ≥ Do â b i to¡n ¢ gi£i xong ¯ng thùc x£y v ch¿ B i to¡n 3.9 Cho a, b, c ≥ a = b = c l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng: (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a + b + c) ≥ abc 3 (1) Líi gi£i (a; b; c) bði (ta; tb; tc) th¼ b§t ¯ng thùc (1) khỉng thay m§t têng qu¡t gi£ sû a + b + c = C¡ch Khi thay êi, n¶n khỉng (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (1) ⇔ ≥4 abc ⇔ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥√ 64abc ⇔ (a + b) (b + c) (c + a) abc Vẳ a+b+c=3 (2) nản (a + b) (b + c) (c + a) = (3 − c) (3 − a) (3 − b) = 27 − (a + b + c) + (ab + bc + ca) − abc = 27 − 9.3 + (ab + bc + ca) − abc = (ab + bc + ca) − abc Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 p dưng b§t ¯ng thùc quen thuëc: (x + y + z)2 ≥ (xy + yz + zx) , ∀x, y, z ∈ R Ta câ √ (ab + bc + ca) ≥ 3abc (a + b + c) = 9abc ⇒ ab + bc + ca ≥ abc Do â √ √ √ √ (a + b) (b + c) (c + a) ≥ abc − abc = abc + abc − abc Theo b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ √ √ 3 = a + b + c ≥ abc ⇒ ≥ abc ⇒ − abc ≥ Suy ra: √ (a + b) (b + c) (c + a) abc BĐt ng thực (2) ữủc chựng minh v ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = Vêy bĐt ng thùc (1) ÷đc chùng minh, ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c C¡ch Chuân hõa a+b+c= BĐt ng thực (1) trð th nh : (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥ ⇔ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥ abc abc (2) Bi¸n êi v ¡p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM ta ÷đc : (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 = [(a + b + c) (ab + bc + ca) − abc]2 = (a + b + c) (ab + bc + ca) + (a + b + c) (ab + bc + ca) − abc 9 √ 3 ≥ (ab + bc + ca) + abc.3 (abc) − abc = (ab + bc + ca) 9 = (ab + bc + ca)2 4 ≥ 3abc (a + b + c) = 3abc = abc.( pcm) 9 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47 B i to¡n 3.10 (Nhªt b£n 1997) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh bĐt ¯ng thùc (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 + + ≥ (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 Líi gi£i Nhên xt rơng bi toĂn ny cõ sĂch "Tuyn têp cĂc bi toĂn tứ nhỳng cuởc thi tÔi Trung Quốc", ữủc giÊi khĂ phực tÔp bơng cĂch sỷ dửng bĐt ng thực Schur é Ơy ta ữa lới giÊi nhớ viằc sỷ dửng tẵnh ỗng bêc cừa c¡c biºu thùc tham gia b§t ¯ng thùc C¡ch 1: °t 2x = b + c − a 2y = c + a − b 2z = a + b − c a = y + z ⇔ b=z+x c=x+y b§t ¯ng thùc 4x2 4y ⇔ + (2x + y + z)2 + (y + z)2 (2y + z + x)2 + (z + x)2 4z + 2 ≥ (2z + x + y) + (x + y) 2 x y ⇔ + 2x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz 2y + x2 + z + 2xy + 2yz + 2zx z2 + ≥ 2z + x2 + y + 2xy + 2yz + 2zx 10 Do 2xy ≤ x2 + y , 2yz ≤ y + z , 2zx ≤ x2 + z n¶n x2 y2 z2 VT ≥ + + 4x + 3y + 3z 4y + 3z + 3x2 4z + 3x2 + 3y °t x1 = x2 , y1 = y , z1 = z , x1 , y1 , z1 > x1 y1 z1 VT ≥ + + 4x1 + 3y1 + 3z1 4y1 + 3z1 + 3x1 4z1 + 3x1 + 3y1 C¡c ph¥n thực vá phÊi cõ tỷ số v mău số ỗng bêc, khổng mĐt tờng quĂt, giÊ sỷ x1 + y1 + z1 = VT ≥ x1 y1 z1 + + x1 + y1 + z1 + Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 48 °t f (t) = ⇒ f (t) t −6 , t > 0, f (t) = , f (t) = < t+3 (t + 3)2 (t + 3)3 (0, +∞) p dưng b§t ¯ng thùc x1 + y1 + z1 f (x1 ) + f (y1 ) + f (z1 ) ≥ 3.f = 3f 3 ⇒ V T ≥ 3 = ( pcm) 10 +3 l hm lỗi trản hm lỗi ta cõ: CĂch BĐt ng thực (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 12 ⇔ −1+ −1+ −1≥− (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 (b + c) a (c + a) b (a + b) c ⇔ + + ≤ (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 C¡c ph¥n thùc vá trĂi cõ tỷ số v mău số ỗng bêc, khổng mĐt tờng quĂt, giÊ sỷ a + b + c = BĐt ng thực viát lÔi thnh (1 − a) a (1 − b) b (1 − c) c + + ≤ 2 − 2a + 2a − 2b + 2b − 2c + 2c p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM: (a + 1)2 2a (1 − a) ≤ , suy ra: (a + 1)2 (1 − a) (3 + a) − 2a + 2a ≥ − = 4 Do â (1 − a) a (1 − a) a 4a ≤ = (1 − a) (3 + a) − 2a + 2a2 3+a T÷ìng tü, (1 − b) b 4b (1 − c) c 4c ≤ , ≤ − 2b + 2b2 + b − 2c + 2c2 3+c º chùng minh b§t ¯ng thùc · b i ta c¦n chùng minh 4a 4b 4c 1 + + ≤ ⇔ + + ≥ 3+a 3+b 3+c 3+a 3+b 3+c 10 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 49 p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM: 1 + + 3+a 3+b 3+c (3 + a + + b + + c) ≥ Suy ra: 1 + + 3+a 3+b 3+c 1 + + ≥ , pcm 3+a 3+b 3+c 10 10 Do â B i to¡n 3.11 (Moldova 1999) Cho a, b, c > ≥ Chùng minh r¬ng: ab bc ca a b c + + ≥ + + c(c + a) a(a + b) b(b + c) a + c b + a c + b Lới giÊi CĂc vá cừa bĐt ng thực l cĂc biu thực bêc (bêc khổng) Khổng mĐt têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû r¬ng abc = Khi õ bĐt ng thực cƯn chựng minh tr th nh (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) (a + b)(a + c) + + c2 a2 b2 (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) (a + b)(a + c) ≥ + + bc ca2 ab 1 b2 c2 a ⇔ (ab + bc + ca) + + + + + c a b c a b 1 b c a ≥ (ab + bc + ca) + + + + + bc ca ab c a b Do 1 1 1 + 2+ 2≥ + + a2 b c bc ca ab v b c a2 b c a + 2+ ≥ + + c2 a b c a b nản ta cõ pcm DĐu bơng xÊy v ch¿ B i to¡n 3.12 a = b = c (VMO - 2004, B£ng A) X²t cĂc số thỹc dữỡng mÂn iÃu kiằn (x + y + z)3 = 32xyz HÂy tẳm giĂ tr nhọ nhĐt v giĂ tr lợn nhĐt cừa biu thực: x4 + y + z P = (x + y + z)4 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ x, y, z thäa 50 Líi gi£i α C¡ch Nhên xt rơng vợi l mởt số thỹc dữỡng tũy ỵ, ta luổn cõ: P (x, y, z) = P (αx, αy, αz) v n¸u x, y, z thäa mÂn iÃu kiằn cừa à bi thẳ x, y, z cụng thọa mÂn cĂc iÃu kiằn õ Vẳ thá khổng m§t têng qu¡t, câ thº gi£ sû â x + y + z = 4, xyz = B i toĂn tr thnh: Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt v giĂ tr lợn nhĐt cừa biu thực x4 + y + z ) 256 x, y, z > thay êi cho x + y + z = 4, vxyz = 4 °t Q = x + y + z v t = xy + yz + zx P = Ta câ Q = (x2 + y + z )2 − 2(x2 y + y z + z x2 ) ⇔ Q = 42 − 2t − t2 − 2xyz(x + y + z) ⇔ Q = 2t2 − 64t + 44 + 32 = 2(t2 − 32t + 144) Tø gi£ thi¸t ta câ: y + z = − x, yz = Do â x (2) t = x(4 − x) + x (3) p dưng b§t ¯ng thùc AM - GM: √ y + z ≥ yz ⇔ x3 − 8x2 + 16x − ≥ x ⇔ (x − 2) x2 − 6x + ≥ √ ⇔ − ≤ x ≤ 2, x ∈ (0; 4) ⇒ (4 − x)2 ≥ X²t h m sè Ta câ t = x(4 x) + (1) x trản oÔn 5; −2(x − 1) x2 − x − t (x) = , x2 v 1± t (x) = ⇔ x = ∨ x = Soá hóa trung tâm học liệu √ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 51 Suy √ 5−1 5≤t≤ 2 V¼ h m sè f (t) = t − 32t + 144 nghch bián trản 51 51 5; ⊂ (0; 16) n¶n tr¶n 5; ta câ: 2 f (t) = f √ 5−1 kho£ng (0; 16) v √ 383 − 165 = , max f (t) = f (5) = v √ Q = 383 − 165 5, max Q = 18 √ √ 383 − 165 Vªy P = , Ôt ữủc chng hÔn x = − 256 √ 1+ y=z= max P = , Ôt ữủc chng hÔn x = 2, y = z = 128 K¸t hủp vợi (1) ta ữủc: CĂch Khổng mĐt tờng qu¡t, ta gi£ sû suy xyz = 32 °t x+y+z = t = ab + bc + ca = xy + yz + zx v v tø gi£ thi¸t Khi â x4 + y + z = (1 − 2t)2 − t2 − 2xyz = 2(1 t)2 Thá nản tẳm giĂ tr lợn nhĐt, nhọ nhĐt cừa nhĐt, nhä nh§t cõa P, t t = xy + yz + zx = y(1 − y) + Do ta c¦n tẳm giĂ tr lợn x + z = y, xz = , (x + z)2 ≥ 4xz 32y (1 − y)2 ≥ 32y n¶n 8y GiÊi bĐt phữỡng trẳnh bêc ba n y cho ta nghi»m ≥y≥ , ta ch¿ √ 3− c¦n chùng minh t(y) nghàch bián trản khoÊng ; v õ ta Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 52 câ: √ 3− t ≥ t(y) ≥ t Tø õ tẳm ữủc giĂ tr lợn nhĐt, nhọ nhĐt cừa P 3.3 B§t ¯ng thùc cõa c¡c dÔng phƠn thực Vẵ dử 3.1 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iÃu kiằn abc = Chùng minh r¬ng 1 + + ≥ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) Líi gi£i V¼ x y a = ,b = , y z a, b, c l c¡c số thỹc dữỡng cõ abc = nản ta cõ thº °t z v c = , vỵi x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng Khi õ, bĐt ng y thùc c¦n chùng minh trð th nh 1 +y z + z x ≥ x y +1 +1 +1 y z z x x y yz zx xy ⇔ + + ≥ x(y + z) y(z + x) z(x + y) yz zx xy ⇔ + + ≥ xy + zx yz + xy zx + yz hay vỵi u v w + + ≥ , v+w w+u u+v u = yz, v = zx, w = xy l c¡c số thỹc dữỡng Ơy chẵnh l bĐt ng thực Nesbit cho ba sè d÷ìng Do â, ta câ i·u ph£i chựng minh Chú ỵ 3.1 ối vợi mởt số bi toĂn lÔi gp cĂc biu thực Vẵ dử 3.2 Cho a b c , , , b c a a b c â a, b, c l c¡c sè thüc kh¡c Khi â, ta °t x = ,y = ,z = b c a a b c ữa bi toĂn và cĂc bián mợi thọa m¢n i·u ki»n xyz = = b c a a, b, c l c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng b c a + + ≤ a + 2b b + 2c c + 2a Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53 Líi gi£i BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi a +2 b °t a b c x = ,y = ,z = b c a th¼ + + c ≤1 b +2 +2 a c x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng cõ tẵch (3.5) xyz = Khi õ, bĐt ng thực (3.5) ữủc viát lÔi dữợi dÔng 1 + + x+2 y+2 z+2 hay (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2) ⇔ (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 ≤ xyz + 4(x + y + z) +2(xy + yz + zx) + ⇔ ≤ xyz + xy + yz + zx ⇔ ≤ xy + yz + zx (v¼ xyz = 1) p dửng bĐt ng thực AM-GM cho ba số dữỡng, ta câ xy + yz + zx ≥ (xyz)2 = 3 Tø â, suy b§t ¯ng thùc (3.5) óng v ta câ i·u ph£i chùng minh V½ dư 3.3 Cho a, b, c l c¡c sè thüc d÷ìng Chùng minh r¬ng ab bc ca a b c + + ≥ + + c(c + a) a(a + b) b(b + c) c + a a + b b + c Lới giÊi BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi b a c b a c a b c + + ≥ + + c c+a a a+b b b+c c+a a+b b+c hay b c a 1 1 c + a + ≥ c +a + c +1 a +1 b b +1 +1 b +1 +1 a b a b c c °t x= a b c ,y = ,z = b c a th¼ Số hóa trung tâm học liệu x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng cõ tẵch http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (3.6) xyz = 54 Khi â y z x 1 + + ≥ + + z+1 x+1 y+1 z+1 x+1 y+1 ⇔ y(x + 1)(y + 1) + z(y + 1)(z + 1) + x(z + 1)(x + 1) ≥ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1)(x + 1) 2 ⇔ (xy + yz + zx2 ) + (x2 + y + z ) + (xy + yz + zx) + (x + y + z) ≥ (xy + yz + zx) + 2(x + y + z) + 2 2 ⇔ (xy + yz + zx ) + (x + y + z ) ≥ (x + y + z) + ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + (x + y + z − 3) +(xy + yz + zx2 − 3) ≥ (3.6) ⇔ p dưng b§t ¯ng thùc AM-GM cho ba sè d÷ìng, ta câ √ x + y + z ≥ 3 xyz = v xy + yz + zx2 ≥ 3 (xyz)3 = Tø â suy b§t ¯ng thùc (3.6) óng Do õ, ta cõ bĐt ng thực cƯn chựng minh Mët sè b i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc chùa ba bián dÔng ối xựng Ta cõ th sỷ dửng ph²p êi bi¸n: x = a + b + c; y = ab + bc + ca; z = abc C¡c ¯ng thùc th÷íng sû dưng xy − z = (a + b)(b + c)(c + a) x2 + y = (a + b)(b + c) + (b + c)(c + a) + (c + a)(a + b) x2 − 2y = a2 + b2 + c2 x3 − 3xy + 3z = a3 + b3 + c3 (3.7) (3.8) CĂc bĐt ng thực thữớng sỷ dửng x2 3y x3 ≥ 27z y ≥ 3xz xy ≥ 9z x3 − 4xy + 9z ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (3.9) (3.10) 55 V½ dư 3.4 Cho a, b, c l c¡c sè thüc dữỡng thọa mÂn iÃu kiằn ab+bc+ca = Chựng minh rơng 1 a+b+c + + ≥ + a+b b+c c+a a+b+c Líi gi£i B§t ¯ng thùc cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi (a + b)(b + c) + (b + c)(c + a) + (c + a)(a + b) a + b + c ≥ + (a + b)(b + c)(c + a) a+b+c (3.11) °t x = a + b + c, y = ab + bc + ca, z = abc Tø (3.7) v (3.9), ta câ (3.11) trð th nh x2 + y x ≥ + ⇔ (x2 + 3)6x − (x2 + 18)(3x − z) ≥ xy − z x ⇔ 3x3 − 36x + x2 z + 18z ≥ ⇔ 3(x3 − 12x + 9z) + x2 z − 9z ≥ ⇔ 3(x3 − 12x + 9z) + z(x2 − 9) ≥ Do y=3 nản tứ (3.11), suy x 9, kát hủp vợi (3.9), ta cõ bĐt ng thực trản úng, suy b i to¡n ÷đc chùng minh ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 56 Kát luên Luên vôn " a thực ối xựng v cĂc hằ phữỡng trẳnh ối xựng v bĐt ng thực liản quan"  trẳnh by nhỳng kát quÊ sau: - Giợi thiằu cỡ s lỵ thuyát cừa cĂc Ôi số v c¡c a thùc èi xùng cì b£n v mët số ựng dửng cừa nõ Ôi số sỡ cĐp - CĂc vĐn à cừa lỵ thuyát ữủc trẳnh by mởt cĂch ỡn giÊn theo cĂc trữớng hủp hai bián, ba bián án nhiÃu bián - Trẳnh by cĂc bi toĂn loÔi khõ, nhiÃu bi toĂn ữủc trẵch tứ c¡c · thi håc sinh giäi quèc gia, Olympic to¡n qc t¸, IMO Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57 T i li»u tham kh£o [1] Nguy¹n Vôn Mêu, a thực Ôi số v phƠn thực hỳu t, NXB GiĂo dửc, 2004 [2] Nguyạn Vôn Mêu, BĐt ¯ng thùc - ành l½ v ¡p dưng, NXB Gi¡o dửc, 2006 [3] Nguyạn Vôn Mêu, Nguyạn Vôn Ngồc, Chuyản · chån låc: a thùc èi xùng v ¡p döng, NXB GiĂo dửc, 2008 [4] Phan Huy KhÊi, Phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh Ôi số, NXB Khoa hồc tỹ nhi¶n v cỉng ngh», 2009 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... 28 2.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xùng váng quanh 30 2.3 Mët sè h» b§t phữỡng trẳnh ối xựng cỡ bÊn 35 BĐt ng thực liản quan án a thực ối xựng 3.1 37 BĐt ng thực cừa... èi xùng v c¡c hằ phữỡng trẳnh ối xựng v bĐt ng thực liản quan " trẳnh by mởt số vĐn à liản ny l a thực ối xựng Luên vôn " quan án nhi·u b i to¡n khâ câ chùa y¸u tè èi xùng náu biát Ăp... à ti quan tƠm án nhiÃu ối tữủng, õ hon ton phũ hủp vợi thỹc tá m bÊn thƠn ang cổng tĂc Mửc ẵch nghiản cựu a thực ối xựng v cĂc hằ phữỡng trẳnh ối xựng v bĐt ng thực liản quan " nh¬m