Đang tải... (xem toàn văn)
Về các bài toán số học tổ hợp
ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hồng Huế VỀ CÁC BÀI TỐN SỐ HỌC - TỔ HỢP Chun Ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ:60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Hà Huy Khối Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Cơng trình được hồn thành tại Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Hà Huy Khối Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu tại Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Tỷ số vàng 4 1.1. Sơ lược về tỷ số vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Các bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Các dãy nhị phân 14 2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Các bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 3. Tính chia hết 18 3.1. Bài tốn 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2. Bài tốn 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Bài tốn 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4. Bài tốn 3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5. Bài tốn 3.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6. Bài tốn 3.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 4. Trò chơi 25 4.1. Sơ lược về Lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1. Khái niêm về Lý thuyết trò chơi . . . . . . . 25 4.1.2. Biểu diễn trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. Các bài tốn về số học - tổ hợp có liên quan đến trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Mở đầu Các bài tốn số học tổ hợp từ lâu đóng một vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy tốn học và kỹ năng giải tốn. Bài tốn số học tổ hợp có một số đặc điểm quan trọng mang tính khác biệt sau: + Có thể giảng dạy tại các bậc, lớp khác nhau. + Khơng có khn mẫu nhất định cho việc giải (Khơng giống như việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân ). Do vậy đòi hỏi sự sáng tạo từ phía học sinh. + Thường phải phát biểu bằng lời văn, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng đọc hiểu và rút tích thơng tin, biết cách biểu đạt bằng ngơn ngữ tốn học. Bài tốn số học tổ hợp thường mang tính thực tế và thẩm mỹ cao khiến học sinh u thích, ghi nhớ. Tuy nhiên khi nói "các bài tốn thuộc loại Số học - Tổ hợp" thì thực ra khơng có một " định nghĩa" nào cho loại bài tốn đó. Vì thế ở đây chỉ giới hạn ở việc đưa ra một số ví dụ về loại bài tốn thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Cuốn luận văn này được trình bày gồm bốn chương: Chương 1: Tỷ số vàng Chương 2: Các dãy nhị phân Chương3: Tính chia hết Chương4: Trò chơi Trong khi trình bày lời giải, chúng tơi cố gắng mơ tả q trình hình thành nên lời giải đó hơn là đưa ra một lời giải ngắn gọn. Luận văn này được hồn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 của GS.TSKH Hà Huy Khối - Viện Tốn Học Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy. Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy Cơ trong Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học. Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Tốn K5c Trường Đại Học Khoa Học đã động viên giúp đỡ tơi trong q trình học tập và làm luận văn này. Tơi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám Hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Lý Thường Kiệt - Thành phố Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tơi học tập và hồn thành kế hoạch học tập. Thái Ngun, ngày tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Huế Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Tỷ số vàng 1.1. Sơ lược về tỷ số vàng Tỷ số vàng φ là tỷ số mà khi chia đoạn thẳng thành hai phần a và b sao cho tỷ số giữa cả hai đoạn thẳng (a + b) và đoạn lớn a bằng tỷ số giữa đoạn lớn a và đoạn nhỏ b. Tức là: a + b a = a b Ta qui độ dài a + b về đơn vị 1. Gọi độ dài đoạn lớn là x, đoạn bé là 1 − x. Ta được: φ = 1 x = x 1 − x ⇔ x 2 + x −1 = 0 ⇔ x = −1 + √ 5 2 φ = 1 x = 1 −1 + √ 5 2 = 1 + √ 5 2 ≈ 1, 6180339887 * Hình chữ nhật vàng: Là hình chữ nhật có tỷ số giữa chiều dài và chiều rộng bằng φ. * Đường xoắn ốc lơgarít tiếp xúc trong với các cạnh của một chuỗi các hình chữ nhật vàng được gọi là Đường xoắn ốc vàng Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 - Tỷ lệ vàng được áp dụng trong nghệ thuật mang đến cho con người một cảm giác đẹp hài hòa và dễ chịu một cách khó giải thích. Do đó, nó nó được giảng trong các mơn học như nghệ thuật, kiến trúc, mỹ thuật, trang trí, hội họa, điêu khắc, nhiếp ảnh vv như là một quy luật tương hợp kỳ lạ với óc thẩm mỹ của con người. Trong tự nhiên: hình ảnh các đường xoắn ốc vàng được sắp xếp ở nhị hoa của hoa hướng dương tạo cảm giác rất đẹp mắt. Trong kiến trúc Tỷ lệ vàng đã được áp dụng trong các kích thước kiến trúc của các cơng trình nổi tiếng như đền Parthenon Hi lạp, các kim tự tháp Giza. “Hình chữ nhật vàng” trong thiết kế đền thờ Parthenon tại Hy Lạp: Tại Toronto, Canada là tòa tháp cao nhất thế giới, cũng được thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tỉ số giữa tổng chiều cao tháp so với độ cao của đài quan sát là: 553, 33m : 342m = 1, 618 = φ Trong nghệ thuật: Với thiếu nữ bên hoa huệ của Tơ Ngọc Vân, ta có thể vạch một đường Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 cong tự nhiên theo cơ thể cơ gái và qua các điểm: một ở nhụy bơng hoa bên phải, một ở đài nụ cong xuống, một ở đầu ngón tay phải và điểm cuối cùng ở trung tâm bố cục có ý nghĩa nhất bức tranh: nhụy bơng hoa ở giữa. Đó là đường xoắn ốc vàng. Chính bố cục xoắn ốc vàng tạo nên hiệu quả thẩm mỹ của tác phẩm Mona Lisa. Tỷ số vàng cũng đã được áp dụng thành cơng trong nhiều tác phẩm hội họa. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 Xuất hiện trong nhiếp ảnh, tỷ số vàng- hằng số chi phối hầu như mọi thiết kế của tự nhiên nói chung và các sinh thể nói riêng, tạo ra vẻ đẹp hài hòa. Tỷ lệ vàng là một khuỗn mẫu đã đi vào sách vở và vẫn được giảng dạy cho đến ngày nay, do đó việc người ta áp dụng nó trong nhiếp ảnh là mơt điều dễ hiểu. Và trong hình học thật ngạc nhiên "tỷ số vàng" cũng xuất hiện .Ví dụ là tỷ số giữa cạnh của 1 ngũ giác đều với đường chéo của ngũ giác đều đó. Nếu chúng ta vẽ vào đó tất cả các đường chéo của ngũ giác thì mỗi đường chéo cắt đường chéo cắt đường chéo khác theo "tỷ số vàng"như hình vẽ. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... an = n ; bn = n 2 2 Bài sau đây có thể xem là "tổng hợp" của những bài tốn trên, và là một bài tập khó: Bài tốn 1.2.4 Lập dãy số theo cách sau: lấy x1 = 1, với i ≥ 2 số xi nhận được từ xi−1 bằng cách đổi ( trong cách viết số xi−1 ) số 1 thành số 01, số 0 thành số 1 Làm như vậy, ta được dãy số 1,01,101,01101, Trong dãy này, gọi an là vị trí của chữ số 1 thứ n, bn là vị trí của chữ số 0 thứ n (như vậy... vậy số bộ số thỏa mãn u cầu của bài tốn bằng số cách chọn 2 số 2 phân biệt trong 99 số từ 3 đến 101 Vậy có C99 bộ số thỏa mãn u cầu bài tốn Bài tốn 2.2.4 Có bao nhiêu cách phát 5 viên bi đen, 7 viên bi đỏ cho 3 học sinh Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 Lời giải: Ta phát 5 viên bi đen cho 3 học sinh Gọi C1 là số viên bi đen phát cho học sinh thứ 1, C2 là số viên phát cho học. .. tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 Kết luận Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau 1 Giới thiệu khái niệm tỷ số vàng, khái niệm lý thuyết trò chơi và các bài tốn số học tổ hợp có liên quan đến tỷ số vàng, phép chia hết, dãy nhị phân và trò chơi 2 Trình bày các ứng dụng của tỷ số vàng và ứng dụng của lý thuyết trò chơi 3 Ngồi ra, luận văn còn đưa ra hệ thống bài tập về số học tổ hợp. .. đó có số 1, đồng thời ở 2s vị trí đầu, số số 0 và số số 1 là như nhau Ta gọi một hàng như vậy là " hàng xấu" Nếu ta đổi số 0 thành số 1, số 1 thành số 0 ở 2s+2 vị trí đầu, một hàng như trên sẽ tương ứng với một hàng gồm k+1 chứ số 0, m chữ số 1, nhưng với số 1 đứng đầu tiên Lại bỏ đi số 1 đầu tiên này, ta được một hàng gồm k+1 chữ số 0, m-1 chữ số 1 Như vậy, mỗi hàng xấu gồm k chữ số 0, m chữ số 1sẽ... nhiều bài tốn tổ hợp, đặc biệt là các bài tốn "đếm", chúng ta thường bắt gặp các tình huống mà tại đó có hai khả năng xảy ra, chẳng hạn như: có thể tơ bởi hai màu; học sinh nam hay học sinh nữ; số chẵn hay số lẻ Nhìn chung về thực chất, những bài tốn kiểu như vậy ln ln có thể đưa về cùng một dạng phát biểu, trong đó thơng thường nhất là các dãy nhị phân ( dãy gồm hai chữ số 0 và 1) Để hiểu rõ hơn về điều... hàng gồm k+1 chữ số 0, m-1 chữ số 1 theo cách trên đây Dễ thấy rằng, tương ứng trên là một -một Thật vậy, xét một hàng tùy ý gồm k+1 ch số 0, m chữ số 1 Do điều kiện k ≥ m nên trong hàng này phải tồn tại vị trí (2s+2) mà từ đó trở lên, số số 0 bằng số số 1 Ta đổi số 0 thành số 1 và ngược lại ở các vị trí từ đó trở lên, để được hàng gồm k+1 chữ số 0, m chữ số 1, với số 0 đứng đầu Bỏ số 0 đầu tiên này,... định mối liên hệ giữa an , bn Gọi kn là số chữ số 0 đứng trước chữ số 1thứ n Theo định nghĩa hai dãy đang xét ta có: an = n + kn Theo bài ra, chữ số 0 thứ n được "sinh ra" từ chữ số 1 thứ n Mặt khác, chữ số 1"biến thành" hai chữ số 01, chữ số 0"biến thành" một chữ số 1 Trước chữ số 1thứ n có kn chữ số 0 và"biến thành" kn chữ số; còn n chữ số 1 "biến thành" 2n chữ số Từ đó suy ra: bn = kn + 2n Từ hai cơng... trong các ví dụ khi k=2,3, các tập hợp : Ai phải chứa những số nào đó trong những số tự nhiên đầu tiên Xét 10 số nhỏ nhất mà mỗi tập hợp Ai đều phải biểu diễn được: 15,16, ,24 Mỗi số trong 10 số này đều là tổng của hai số nào đó thuộc tập hợp B = {1, 2, 3, , 23} Như vậy, mỗi tập hợp Ai cần chứa ít nhất 5 số thuộc B Do 4 tập Ai rời nhau mà B chỉ có 23 phần tử nên phải tồn tại tập Aj nào đó chứa đúng 5 số. .. đếm xem trong N-1 số ngun dương nhỏ hơn N, có bao nhiêu số thuộc một trong hai dãy nói trên Lời giải: Xét mọi số ngun dương n thỏa mãn [nγ] < N , tức là n < Như vậy, các số n thỏa mãn là n = 1, 2, N γ N Tương tự như vậy, các γ N δ Như vậy, trong số các số ngun dương nhỏ hơn N, số các số thuộc một N N trong hai dãy an , bn là + γ δ số m sao cho [mδ] < N là m = 1, 2, , Do γ, δ là các số vơ tỷ nên Từ... ứng trên suy ra rằng, số các hàng xấu gồm k chữ số 0, m chữ số 1 bằng số các hàng (tùy ý) với k+1 chữ số 0, m-1 chữ số 1, tức là bằng Ck+1 m+k Như vậy, số cách xếp hàng sao cho khơng học sinh nào phải chờ lấy tiền trả lại là: Ck − Ck+1 m+k m+k Bài tốn 2.2.2 Có 2k học sinh chiều cao khác nhau đơi một Người ta muốn xếp họ thành hai hàng ngang, sao cho trong mỗi hàng, chiều cao của học sinh giảm dần và . ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hồng Huế VỀ CÁC BÀI TỐN SỐ HỌC - TỔ HỢP Chun Ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ:60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: . trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Mở đầu Các bài tốn số học tổ hợp từ lâu đóng một vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy tốn học và kỹ năng giải tốn. Bài tốn số học tổ hợp có. bằng ngơn ngữ tốn học. Bài tốn số học tổ hợp thường mang tính thực tế và thẩm mỹ cao khiến học sinh u thích, ghi nhớ. Tuy nhiên khi nói " ;các bài tốn thuộc loại Số học - Tổ hợp& quot; thì thực