Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng phép vị tự để giải một số bài toàn trong hình học phẳng
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————- ĐẶNG THANH CẦU SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————- Đặng Thanh Cầu SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Minh THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Tâm vị tự của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . 4 1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ 13 2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . . . . . 13 2.2. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Bài toán tính đại lượng hình học . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. TÍCH CỦA PHÉP VỊ TỰ VỚI MỘT PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN 51 3.1. Phép vị tự-quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Phép vị tự-đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3. Tích của hai phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2. Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mở đầu Phép vị tự chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nói chung và các phép biến hình nói riêng. Việc sử dụng nó để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép vị tự thì việc tìm một lời giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép vị tự sẽ giúp cho bài giải trở nên súc tích và đẹp đẽ hơn. Phép vị tự là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép vị tự để giải thì nó là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy. Ngoài ra, phép vị tự còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Kiến thức cơ bản. Chương này trình bày định nghĩa về phép vị tự và các tính chất cơ bản của nó. Ngoài ra, trong chương còn đề cập đến vấn đề tìm tâm vị tự của hai đường tròn để hỗ trợ cho việc vẽ hình và giải toán. Chương 2. Một số bài toán sử dụng phép vị tự. Chương này trình bày một số bài toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải. Về cơ bản, các bài toán này được chia làm bốn thể loại thường gặp, đồng thời tác giả cũng đưa ra một số định hướng khi tìm lời giải cho các dạng toán này. Chương 3. Tích của phép vị tự với một phép biến hình. Chương này trình bày lý thuyết cơ bản và một số bài toán sử dụng phép biến hình là tích của phép vị tự và một phép biến hình để giải. 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Minh, Trường ĐHKT và QTKD - ĐHTN. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều từ thầy, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của thầy. Tác giả xin cảm ơn tới các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A, trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Tuy nhiên, do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng độc giả quan tâm tới luận văn này. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Đặng Thanh Cầu 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k = 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho −−→ OM = k −−→ OM được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k. Phép biến hình này được ký hiệu là V k O . Điểm O được gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỷ số vị tự. Nếu k > 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự dương hay thuận, nếu k < 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự âm hay nghịch (Hình 1.1). 1.1.1. Các trường hợp đặc biệt Hình 1.1 Nếu tỷ số vị tự k = 1 thì −−→ OM = −−→ OM tức là M ≡ M, lúc ấy phép vị tự là phép đồng nhất. Nếu tỷ số vị tự k = −1 thì −−→ OM = − −−→ OM, tức là O là trung điểm của MM hay phép vị tự là phép đối xứng tâm O. 1.1.2. Tâm vị tự của hai đường tròn. Với phép vị tự V k O biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) thì ta có R = |k|R hay k = R R hoặc k = − R R . Khi đó −→ OI = k. −→ OI và ta xét các trường hợp sau: 1. Nếu I ≡ I và R = R thì chỉ có một điểm O duy nhất, do đó k = − R R = −1, khi đó O là trung điểm đoạn II . Như vậy phép vị tự với k = −1 chính là phép đối xứng tâm qua điểm O nói trên (Hình1.2). 2. Nếu I ≡ I và R = R , khi đó phép vị tự tâm I tỷ số R R và phép vị tự tâm I tỷ số − R R đều biến đường tròn (I, R) thành (I , R ). 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Hai đường tròn này có chung tâm I (Hình1.3). Ta có −−→ IM = R R −−→ IM và −−→ IM = − R R −−→ IM. Hình 1.2 Hình 1.3 3. Nếu I ≡ I , R = R và hai đường tròn nằm ngoài nhau, khi đó gọi O 1 là điểm sao cho −−→ O 1 I = R R −−→ O 1 I ta được phép vị tự tâm O 1 biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) với tỷ số k = R R (Hình 1.4). Người Hình 1.4 ta gọi đó là phép vị tự thuận vì k = R R > 0. Gọi O 2 là điểm sao cho −−→ O 2 I = − R R −−→ O 2 I ta được phép vị tự tâm O 2 biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) với tỷ số k = − R R . Vì k = − R R < 0 nên người ta gọi phép vị tự ứng với k < 0 là phép vị tự nghịch. Như vậy ta có hai phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ). Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến chung ngoài là T T thì vì −−→ I T = 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 R R −→ IT nên T và T cũng là hai điểm tương ứng trong phép vị tự thuận tâm O 1 , tỷ số k = R R do đó 3 điểm O, T, T thẳng hàng (hay TT đi qua O 1 ) (Hình1.5). Nếu hai đường tròn trên có tiếp tuyến là TT chung trong thì lập luận tương tự ta cũng có 3 điểm T, T , O 2 thẳng hàng (Hình1.6). Hình 1.5 Hình 1.6 Đặc biệt: - Nếu hai đường tròn (I, R) và (I , R ) tiếp xúc ngoài tại T thì T là tâm vị tự nghịch của hai đường tròn. Tâm vị tự thuận O 1 là giao điểm của đường nối tâm II vơi tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (Hình1.7). Hình 1.7 Hình 1.8 - Nếu hai đường tròn (I, R) và đường tròn (I , R ) tiếp xúc trong tại T thì tâm vị tự thuận của hai đường tròn là T , tâm vị tự nghịch là giao điểm của hai điểm mút của hai bán kính song song ngược chiều nhau với đường nối tâm II (Hình1.8). Trong trường hợp tổng quát muốn tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I, R) và đường tròn (I , R ) (I ≡ I , và R = R ) ta làm theo các bước sau: 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 - Vẽ qua I một đường thẳng bất kỳ cắt đường tròn (I) tại M và M 1 . - Qua I vẽ đường thẳng song song với MM 1 cắt đường tròn (I , R ) tại M và M 1 , chú ý lấy −−→ I M cùng chiều với −−→ IM. - Đường thẳng MM cắt đường nối tâm II tại tâm vị tự thuận là O 1 . - Đường thẳng M 1 M cắt đường nối tâm II tại tâm vị tự nghịch là O 2 . Hình 1.9 Việc xác định tâm vị của hai đường tròn là quan trọng và cần thiết. Đặc biệt là với một số bài toán dựng hình và chứng minh được trình bày ở chương sau. 1.2. Các tính chất. Bốn tính chất đầu không khó khăn với người đọc nên ta sẽ không trình bày chứng minh ở đây. Tính chất 1.2.1. Phép vị tự V k O với k = 1 có một điểm bất động duy nhất đó là điểm O. Tính chất 1.2.2. Nếu V k O biến điểm M thành M thì ba điểm M, O và M thẳng hàng. Tính chất 1.2.3. Nếu phép vị tự V k O biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm A , B thì −−→ A B = k. −→ AB. Tính chất 1.2.4. Phép vị tự V k O là phép biến hình 1 − 1 và có phép biến hình ngược, đó là phép vị tự V 1 k O . Tính chất 1.2.5. Phép vị tự V k O biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số khoảng cách giữa các điểm. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Chứng minh. Ký hiệu A , B , C lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàngA, B, C ta luôn có: −−→ A B = k. −→ AB, −−→ A C = k. −→ AC. Vì A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số m sao cho −→ AB = m. −→ AC. Vậy thì −−→ A B = m. −−→ A C . Hệ thức này chứng tỏ A , B , C thẳng hàng và tỷ số của khoảng cách giữa các điểm được bảo toàn. Hệ quả 1.2.1. Phép vị tự V k O biến đường thẳng d thành đường thẳng d và dd’ hoặc d≡ d . Hệ quả 1.2.2. Phép vị tự V k O biến tia Sx thành tia S x và hai tia đó song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Hệ quả 1.2.3. Phép vị tự V k O biến đoạn thẳng PQ thành đoạn thẳng P Q thì P Q = |k|P Q và P Q P Q. Hệ quả 1.2.4. Phép vị tự V k O biến ∆ABC thành ∆ A B C thì hai tam giác đó đồng dạng, cùng chiều, tỷ số là |k| và tỷ số diện tích là k 2 . Hệ quả 1.2.5. Phép vị tự V k O biến góc xSy thành góc x S y thì xSy= x S y và các cạnh tương ứng song song. Hệ quả 1.2.6. Phép vị tự V k O biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) và R = |k|R. Tính chất 1.2.6. Cho hai phép vị tự V k O và V k O với các tâm vị tự phân biệt, các tỷ số vị tự k = 0; 1, k = 0; 1 và k.k = 0; 1. Khi đó phép biến hình H = V k O .V k O hoặc H = V k O .V k O là phép vị tự. Chứng minh. Ta chứng minh H = V k O .V k O là phép vị tự. Trước hết ta cần chứng tỏ H có điểm bất động duy nhất. Gọi S là điểm bất động của H, khi đó: V k O : S −→ S và −−→ OS = k. −→ OS, V k O : S −→ S và −−→ O S = k. −−→ O S Từ các kết quả ta suy ra −→ OS = λ. −−→ OO trong đó λ = 1 −k 1 −k.k . Nếu M là điểm bất kỳ khác S, theo định nghĩa ta có: V k O : S −→ S và M −→ M ⇒ −−−→ S M = k. −−→ SM V k O : S −→ S và M −→ M ⇒ −−−→ SM = k. −−−→ S M . 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... một số bài toán hình học phẳng có sử dụng phép vị tự để giải một số dạng toán đặc trưng mà ta thường gặp khi giải toán hình học phẳng 2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học Thông qua phép vị tự biến đổi hình này thành hình kia ta sẽ thấy xuất hiện các tính chất hình học, hay biểu thức đại số của các hình hay các hình liên quan, từ đó các tính chất hình học được chứng minh Bài toán 2.1.1 Cho ba... tới phép vị tự Đây là chương cơ sở của các chương tiếp theo Trên cơ sở các định nghĩa và tính chất này chúng ta sẽ xem xét một số dạng toán điển hình hay gặp trong hình học sơ cấp có liên quan tới phép vị tự ở Chương 2 ——————————- 1 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ Trong chương này trình bày một số bài toán hình. .. k2 k1 = 1 thì tích đó là phép đồng nhất Tính chất 1.2.8 Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất Chứng minh Giả sử phép vị tự f1 có tỷ số k1 và có tâm O1 , phép vị tự f2 có tâm O2 và có tỷ số k2 Với hai điểm A, B bất kỳ ta có: −→ − −→ − −→ − −→ − −− −→ −− −→ − → − → f1 (AB) = A... tròn tại P và Q Ta được P Q là một cạnh của hình vuông cần tìm Hình vuông M N P Q nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB là hình vị tự của hình vuông M N P Q qua phép vị tự tâm O và tỷ số vị OP OA tự k = = OP OM 3 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Bài toán 2.2.3 Cho đường tròn (O) và dây cung AB khác đường kính Hãy dựng một dây cung CD của đường tròn... chứng minh CA Khi đó VCCF : F −→ A, O −→ K ⇒ Nhận xét 2.1 Trong bài toán này ta dựng thêm các đường CE và BF là rất cần thiết để bài toán xuất hiện các hình vị tự với nhau thì phép vị tự sẽ không có chỗ để sử dụng Và tư duy biến hình ở đây chính là từ yêu cầu chứng minh ta nhìn ra được hình vẽ tương ứng, để từ đó đưa ta đến cách chứng minh Bài toán 2.1.2 Ký hiệu R, r lần lượt là bán kính các đường... được kết quả mạnh hơn bài toán trên là R ≥ 2r Nhưng vì cách chúng ta sử dụng là phép vị tự nên bài toán chỉ đạt được ở mức trên Đây cũng là một hạn chế trong cách giải, nhưng ta cũng có thể thấy được ưu điểm là ta có thể thấy rõ các vấn đề liên quan trong hai đường tròn khi hai đường tròn vị tự với nhau Đặc biệt trong bài này là đại lượng độ dài (bán kính) Bài toán 2.1.3 Cho ∆ABC bên trong tam giác dựng... H1 trong phép vị tự tâm H nói 2 trên vì H1 nằm trên đường tròn tâm O nên A1 nằm trên đường tròn Euler Chứng minh tương tự đối với các điểm còn lại Vậy đường tròn đi qua 9 điểm A , A1 , B , B1 , C , C1 , A2 , B2 , C2 Nhận xét 2.4 Hai đường tròn (O) và (O ) vị tự với nhau bằng hai phép vị tự: 2 0Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 1 -Phép vị tự tâm G tỷ số. .. k1 là một phép vị tự tâm O xác định −− −→ − → bởi hệ thức (*) Còn nếu k2 k1 = 1 thì A B = AB do đó k2 k1 là một 1 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 phép tịnh tiến nếu O1 , O2 là phân biệt và k2 k1 là phép đồng nhất nếu O1 ≡ O2 Tính chất 1.2.9 Tích của hai phép vị tự khác tâm không đặc biệt và không là nghịch đảo của nhau (VIk2 VIk1 ) là một phép vị tự VIk... minh Với phép biến đổi H ∗ ta chứng minh tương tự Tính chất 1.2.7 Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm vị tự lần lượt là k1 và k2 là một phép vị tự tâm O có tỷ số k = k1 k2 −→ − −→ − Chứng minh Theo giả thiết ta có: OM = k1 OM , −− −→ −→ − −→ − ⇒ OM = k2 OM = k2 k1 OM −− −→ −→ − Vậy OM = k OM với k = k2 k1 Nếu k2 k1 = 1 thì tích đó là phép đồng nhất Tính chất 1.2.8 Tích của hai phép vị tự khác... -Phép vị tự nếu k2 k1 = 1 -Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu k2 k1 = 1 Hình 1.10 Ta hãy xác định tâm vị tự của tích k2 k1 Ta thấy rằng tâm O phải nằm trên đường thẳng O1 O2 vì đường thẳng đó biến thành chính nó qua 1 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 f1 và qua f2 , do đó nó cũng biến thành chính nó trong phép biến hình tích f2 f1 −− −→ −→ − Giả sử . 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ Trong chương này trình bày một số bài toán hình học phẳng có sử dụng phép vị tự để giải một số dạng toán đặc trưng mà ta thường gặp khi giải toán hình học phẳng. 2.1 vị tự của hai đường tròn để hỗ trợ cho việc vẽ hình và giải toán. Chương 2. Một số bài toán sử dụng phép vị tự. Chương này trình bày một số bài toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải. Về. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————- ĐẶNG THANH CẦU SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa