Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm green đa phức và bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampère phức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÃ THỊ LỆ HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 5 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 11 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 16 CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC 23 2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc. 24 2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. 26 2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. 37 2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet. 43 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt nhƣ sau: Cho n D là miền giả lồi chặt, là độ đo Borel trên D . Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dƣới ()DP thích hợp trên đó toán tử Monge-Ampère phức () cn dd đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục tùy ý h trên D , bài toán sau có nghiệm duy nhất: ( ) (dd ) ( ) lim ( ) ( ), cn z uD uI u z h D P Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dƣới đã đƣợc nghiên cứu đầu tiên bởi Brememann (1959), ở đó Ông đã dùng phƣơng pháp của Perron để giải quyết. Sau đó Bedford và Taylor (1976) đã giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (I) khi ( ) ( ) ( ) loc D D L D P PSH I và độ đo là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ . S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp ( ) ( ) loc D L D PSH I và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế. Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị : ( ) n liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên D . Đề tài có tính thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà toán học trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán tử Monge- Ampère. + Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. + Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 - Sử dụng các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức. - Kế thừa phƣơng pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chƣơng 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán tử Monge-Ampère. Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc. Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa Cho W là một tập con mở của n và [ ) :,u là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và n b , hàm ()u a bll+a là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp { } :abll . Trong trường hợp này, ta viết ()u PSH . (ở đây ()WPSH là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W ). 1.1.2. Định lý Cho [ ) :,u là một hàm nửa liên tục trên và không trùng trên bất kỳ thành phần liên thông của n . Khi đó ()u PSH khi và chỉ khi với mỗi a và n b sao cho { } : , 1abl l l , Ta có ( ) ( ; , )u a l u a b , Trong đó 2 0 1 ( ; , ) ( ) 2 it l u a b u a e b dt p p =+ Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hòa dƣới vì ( ; , ) ( ;0,1)l u a b L v= . Điều kiện đủ. Giả sử a , n b và xét Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 { } :U a bll Khi đó U là tập mở trên . Đặt ( ) ( ) ,v u a b Ul l l . Cần chứng minh ( ) v l là điều hòa dƣới trên U . Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu 0 Ul tồn tại 0r > sao cho với 0 r r thì ( ) 2 00 0 1 () 2 i v v re d p q l l q p Từ 0 a b Ul nếu có 0r > sao cho khi lr< thì 0 a b bll . Với 0 r r ta có { } 0 :1a b rbl l l . Do đó từ giả thiết ( ) 2 00 0 1 () 2 i u a b u a b rbe d p q l l q p Vậy ( ) 2 00 0 1 () 2 i v v re d p q l l q p , đó là điều phải chứng minh. Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dƣới có thể đƣợc suy ra từ kết quả tiếp theo. Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp của các hàm điều hoà dƣới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý Cho n là một tập mở và ()u PSH . Nếu 0e > sao cho ( ) { } : : ,z d z e e , thì ()uC ee c PSH Hơn nữa, u e c* đơn điệu giảm khi 0e , và 0 lim ( ) ( ) e e c *=u z u z với mỗi z . Định lý sau đây, mô tả tính đa điều hòa dƣới của u qua đạo hàm theo nghĩa phân bố và cần dùng cho việc chứng tỏ c dd u là dòng dƣơng đóng song bậc ( ) 1,1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.1.4. Định lý Giả sử W là tập mở trong n . (i) Nếu PSH, ( )uv thì { } max , ( )uv PSH và nếu ab,0 thì ab PSH()uv . Nghĩa là WPSH() là nón lồi. (ii) Nếu { } PSH 1 () j j u là dãy giảm thì = lim j uu hoặc là hàm đa điều hòa dưới trên W hoặc bằng . (iii) Nếu dãy { } PSH() j u là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của W tới hàm :u thì ()u PSH . (iv) Giả sử { } a a PSH() I u sao cho { } a asup :u u I là bị chặn trên địa phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên * PSH()u . Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra từ định nghĩa hàm đa điều hòa dƣới và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dƣới dấu tích phân trong trƣờng hợp dãy hội tụ đều. Ta chứng minh (iv). Chỉ cần chứng tỏ a , n b sao cho { } : , 1abl l l thì ( ) p q q p ** 2 0 1 () 2 i u a u a e bd Dễ thấy với mọi z , n b sao cho { } ll ,1zb ta có ( ) p q q p * 2 0 1 () 2 i u z u z e b d Với a , chọn dãy { } n z sao cho n za và ( ) ( ) * n u z u a . Từ { } ll ,1zb nên với n đủ lớn { } ll ,1 n zb . Khi đó ( ) p q q p * 2 0 1 () 2 i nn u z u z e b d . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Bổ đề Fatou cho ta ( ) ( ) p q q p ** 2 0 1 lim sup lim sup ( ) 2 i nn nn u a u z u z e bd p q q p * 2 0 1 () 2 i u a e bd . 1.1.5. Mệnh đề Giả sử n là tập mở, w là tập con mở thực sự, khác rỗng của W . Giả sử ()u PSH , w PSH()v và ( ) ( ) lim sup xy v x v y với mọi w y . Khi đó hàm { } max , \ w w = W u v trong w u trong là hàm đa điều hòa dưới trên W . Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W . Chỉ cần chứng tỏ nếu a , n b sao cho { } ll ,a b r thì ( ) ( ) p q q p 2 0 1 2 i w a w a re b d Với wa , n b , chọn > 0r đủ bé để { } l l w ,a b r . Khi đó ( ) ( ) ( ) pp qq qq pp 22 00 11 22 ii u a u a re b d w a re b d ( ) ( ) ( ) pp qq qq pp 22 00 11 22 ii v a v a re b d w a re b d Từ đó ( ) ( ) p q q p 2 0 1 2 i w a w a re b d . [...]... Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 CHNG II HM GREEN A PHC V BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE- AMPẩRE PHC Chng ny trỡnh by cỏc kt qu v a tp siờu li v Hm a iu hũa di chp nhn c, Hm Green a phc trờn a tp siờu li, cỏc nh lý so sỏnh i vi lp cỏc hm khụng b chn Gii bi toỏn Dirichlet nh hm Green a phc v toỏn t Monge- Ampốre Trc tiờn chỳng ta nhc li mt s khỏi nim cn thit s s dng õy:... nghim ca bi toỏn Dirichlet suy rng khi W l mt hỡnh cu Euclid 1.2.3 nh lý Cho f ẻ C (ả B ) , trong ú B = B (a, r ) l mt hỡnh cu m trong Ê n Khi ú hm y xỏc nh bi ớ y B , f (z ) (z ẻ B ) ù y (z ) = ù ỡ ù f (z ) (z ẻ ả B ) ù ù ợ l mt nghim ca bi toỏn Dirichlet suy rng i vi tp B v hm f Hn na, y l liờn tc Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi thit rng a = 0 Gi s h l nghim ca bi toỏn Dirichlet c in... ( ) + u 2.2 Hm Green a phc trờn a tp siờu li Trong [Z2], nm 1996, Zeriahi ó gii thiu hm Green a phc tng quỏt liờn kt vi hm a iu hũa di chp nhn c trờn mt a tp siờu li trong Ê n , cựng vi mt s ng dng cho bi toỏn xp x ni suy cỏc hm chnh hỡnh õy chỳng tụi s trỡnh by chi tit hn cỏc kt S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 qu nghiờn cu v tớnh cht ca hm Green a phc v mi... a phc v mi liờn h ca nú vi bi toỏn Dirichlet suy bin i vi toỏn t Monge- Ampốre phc T bõy gi tr i xột D l mt a tp siờu li n chiu, v : D đ ộ Ơ ,+ Ơ ờ ở ) l hm a iu hũa di chp nhn c trờn D Ta nh ngha G D (z ; ) = sup { (z ); u ẻ P0(D, )}, z ẻ D , u trong ú P0 (D, ) l lp cỏc hm a iu hũa di u trờn D tha món u Ê 0 trờn D v (u;.) (;.) trờn D Hm G D (z ; ) gi l hm Green a phc cú trng ca D kt hp vi... ) - e = y (w) - e Vy y l na liờn tc di (iờu phai chng minh) 1.3 Toỏn t Monge- Ampốre phc Cho u l a iu ho di trờn min Wé Ê n Nu u ẻ C 2 (W thỡ ) toỏn t: c n (dd u ) ộ ảu ự ỳ := (dd u ) (dd u ) = 4 n !det ờ dV ờả z ả z ỳ 14444444 44444444 42 3 ờ j k ỳ Ê j ,k Ê n n ở ỷ 1 c c n vi dV l yu cú th tớch trong C n gi l toỏn t Monge- Ampốre Toỏn t ny cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh... (u;.) (;.) trờn D v u Ê M trờn D Khi ú u (z ) Ê M + G D (z ; ) , " z ẻ D (õy l kt qu tng quỏt ca B Schwarz c in, nú l h qu n gin ca nh ngha hm Green) 2.2.3 Vớ d Gi s D l mt min siờu li trong Ê n , a ẻ D v a (z ) = log z - a Khi ú hm G D (ìa ) trựng vi hm Green a phc ; S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 G D (ì;a ) vi cc logarit ti a , nú ó c nghiờn cu bi nhiu... v (; 0) = 0 iu ny cú ngha l A = K = S Do ú l mt hm a iu hũa di chp nhn c trờn D v theo nh ly 2.2.1 hm Green , a phc cú trng tng ng G := G D (ì ) tha món tớnh cht S G = K Hn na, theo chỳ ý 2.2.7, G l mt hm liờn tc trờn D 2.2.5 Vớ d Gi s D l mt min b chn trong Ê , chớnh quy i vi bi toỏn Dirichlet c in v gi s K l tp con compact n cc trong D Theo kt qu c in ca M.Tsuji, tn ti mt dóy (a j ) j 1... S G Â = S = K v vỡ G v G Â tin n 0 trờn biờn ca D , nờn theo nguyờn lý cc i suy ra G = G Â Do ú S G = K , tc l tp cc ca hm Green trựng vi tp cc compact K ó cho Trong trng hp a phc, vn s phc tp hn Trc khi xem xột trng hp ny, chỳng ta s chng minh kt qu sau v tớnh liờn tc ca hm Green Kớ hiu P0c (D , )- lp cỏc hm a iu hũa di liờn tc u sao cho u Ê 0 trờn D v (u , ì (, ì trờn D Khi ú chỳng ta cú )... = G Â nh lý u ẻ P0 ( D , ) c chng minh 2.2.7 Chỳ ý Tớnh liờn tc ca hm Green trờn D \ K ( K = S ) ó c chng minh nh s dng nh ly ồ (;a ) < + Ơ ca Demailly Chỳ ý rng trong iu kin (m nú luụn tha món trong trng hp mt bin; xem a ẻ A thờm vớ d 2.2.4), cú th chng minh tớnh liờn tc ch s dng nh ly ca Demaily Lelong v tớnh liờn tc ca hm Green i vi mt s hu hn cỏc cc cú trng Tht vy, gi s (A j ) j 1 hu hn ca... na, gi s A := z , z ẻ Br r {(a , ), , (a , )}é 1 A (z ) = 1 p ồ p p D Ă * + v t j log z - a j , z ẻ D j=1 , , , Khi ú G D (ìA ) = G D (ìA ) Theo [D2; L], hm G D (ìA ) l liờn tc v tha món phng trỡnh Monge- Ampốre phc sau: n n p , (dd G (ìA )) = (2 ) ồ c D v n a j j=1 j xy ra theo ngha dũng trờn D Bõy gi ta xột tng quỏt ca vớ d trờn 2.2.4 Vớ d Gi s (a j ) j 1 l mt dóy vụ hn nhng im khỏc nhau ca Ê n . 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 5 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 11 1.3. Toán tử Monge- Ampère phức 16 CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- AMPÈRE PHỨC 23. " ;Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge- Ampère phức& quot;. Ở đây chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị : ( ) n liên kết với. chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. + Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge- Ampère. 3. Phƣơng