Đang tải... (xem toàn văn)
Độ nhạy của nghiệm hữu hiệu và điều kiện tối ưu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 Nội dung 4 1 ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 4 1.1 Bài toán nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Độ nhạy của đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Độ nhạy của diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19 2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu . . . . . 22 2.3 Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . 29 2.4 Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm tối ưu của một bài toán tối ưu đơn hoặc đa mục tiêu theo các tham số nhiễu đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hóa. Ta gọi đó là các nghiên cứu về độ nhạy (sensitivity) của nghiệm tối ưu. Các kết quả nghiên cứu theo hướng này chỉ ra sự bảo toàn các tính chất nào đó của nghiệm tối ưu sau một nhiễu nhỏ. Lí thuyết độ nhạy của nghiệm hữu hiệu có nhiều ứng dụng trong kinh tế, vật lý, cơ học và một số ngành khoa học khác. S. Bolitinéanu và B.D Craven [5] đã nghiên cứu độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong trường hợp đa diện chấp nhận được không suy biến. M. El Maghri [8] nghiên cứu độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính mà trong đó đa diện chấp nhận được có thể suy biến. Tác giả thiết lập các điều kiện cần và đủ cấp 2 cho đỉnh hữu hiệu và diện hữu hiệu của bài toán nhiễu. S. Bolitinéanu và M. El Maghri [6] nghiên cứu các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu thuộc lớp C 1 theo tham số nhiễu. Ở đây các tác giả nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi Fréchet, có các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong các không gian Banach vô hạn chiều. Trong trường hợp hữu hạn chiều, các tác giả thiết lập các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu là Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu. Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về độ nhạy của đỉnh hữu hiệu và diện hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu, độ nhạy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Fréchet và độ nhạy Lipschitz của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu phi tuyến với hàm các hàm khả vi Fréchet. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu của E. El Maghri [8] về độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu. Chú ý rằng các đỉnh của tập chấp nhận được có thể suy biến hoặc không suy biến. Các điều kiện cần và đủ cấp 2 cho đỉnh hữu hiệu và diện hữu hiệu của bài toán nhiễu được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện cần và đủ cấp 1 và cấp 2 của S. Bolitinéanu và E. El Maghri [6] cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với các hàm mục tiêu và ràng buộc khả vi Fréchet trong không gian Banach cùng với các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu thuộc lớp C 1 theo tham số nhiễu. Trong trường hợp hữu hạn chiều, các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu là Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu cũng được trình bày trong chương này. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Đỗ Văn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011. Tác giả Nguyễn Thị Hồng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của M. El Maghri [8] về độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu. Chú ý rằng các đỉnh của tập chấp nhận được có thể suy biến hoặc không suy biến. Các điều kiện cần và đủ cấp hai cho đỉnh hữu hiệu dưới một nhiễu nhỏ được trình bày cùng với các điều kiện cần và đủ cho diện hữu hiệu nhiễu đi qua một đỉnh như vậy. 1.1 Bài toán nhiễu Ta xét độ nhạy của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu sau đây: (P p ) min C(p)x, A(p)x = b(p), x ≥ 0, trong đó [C(.), A(.), b(.)] : N (0) → R r×n × R m×n × R m là các hàm của tham số nhiễu p ∈ N (0), N (0) là lân cận của điểm gốc 0 ∈ R q . Ở đây ta có thể giả thiết rằng bài toán không nhiễu tương ứng với p = 0. Đa diện Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 chấp nhận được của (P p ) là Γ(p) = {x ∈ R n : A(p)x = b(p), x ≥ 0}. Với mỗi p, tập các nghiệm hữu hiệu (nghiệm Pareto) và tập các nghiệm hữu hiệu yếu của (P p ) tương ứng là E e (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x ≤ C(p)x, C(p)x = C(p)x}, và E w (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x < C(p)x}. Để đơn giản cho việc trình bày, ta kí hiệu E σ (p) là tập điểm σ-hữu hiệu phụ thuộc vào việc lựa chọn σ ∈ {w, e}. Với p = 0, ta kí hiệu (P 0 ) := (P), Γ(0) := Γ, C(0) := C, A(0) := A, b(0) := b. Với mỗi p, xét ánh xạ đa trị E(., p) : R r → 2 Γ(p) xác định với mọi λ ∈ R r bởi E(λ, p) = arg min x∈Γ(p) λ T C(p)x, (1.1) trong đó λ T là chuyển vị của vectơ λ. Ta có kết quả vô hướng hóa sau đây (xem [14]): E σ (p) = E(Λ σ , p), (1.2) trong đó Λ σ = R r + \{0}, nếu σ = w, intR r + , nếu σ = e. Tất cả các kết quả trình bày trong chương này đúng trong trường hợp tổng quát hơn khi nón thứ tự R r + được thay tương ứng bởi một tập con đóng bất kỳ Q và một nón lồi nhọn có phần trong không rỗng. Quan hệ thứ tự bộ phận được xác định tương ứng bởi y ≤ y ⇔ y − y ∈ Q, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 và y < y ⇔ y − y ∈ intQ. Trong trường hợp này R r + được thay thế trong Λ σ bởi nón cực của Q khi σ = w và bởi nón cực chặt của Q khi σ = e. Giả thiết tổng quát (i) C(.) là liên tục tại p = 0 và b(.) là lớp C 2 tại p = 0. (ii) A có hạng đầy (tức là rank A=m) và m < n. 1.2 Độ nhạy của đỉnh Giả sử v là một đỉnh của đa diện Γ. Như vậy rank A = m. Khi đó tồn tại B ⊂ {1, . . . , n} sao cho (sắp xếp lại các hàng nếu cần): v = A −1 B b 0 (1.3) trong đó A −1 B b ≥ 0, A −1 B là ma trận nghịch đảo của A B (rank A B = m)với phân hoạch A = [A B A N ] (sắp xếp lại các cột của A nếu cần) và N = {1, . . . , n}\B. Cũng sắp xếp lại các biến, ta có thể viết: Γ = {x = x B x N ∈ R n : x B + A −1 B A N x N = A −1 B b, x ≥ 0}. (1.4) Cùng cách phân hoạch ma trận A(p) = [A B (p)A N (p)]. Thế thì với mọi p gần 0, do tính liên tục của ánh xạ A(.), ma trận A B (p) là khả nghịch, và do đó Γ(p) = {x = x B x N ∈ R n : x B + A −1 B (p)A N (p)x N = A −1 B (p)b(p), x ≥ 0}. (1.5) Vì vậy ta có thể xác định nhiễu của v bởi v(p) = A −1 B (p)b(p) 0 (1.6) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Nhắc lại rằng nếu A −1 B b > 0 thì đỉnh v hoặc cơ sở B được gọi là không suy biến, và trong trường hợp này, B là cơ sở duy nhất xác định v theo (1.3). Ngược lại, v là đỉnh suy biến và nó có thể xác định bởi một số cơ sở suy biến. Như vậy, giả sử B(v) = {B ⊂ {1, . . . , n} : B xác định v}. (1.7) Nhận xét 1.1 Khi v là không suy biến thì với mọi p gần 0, do tính liên tục, A −1 B (p)b(p) > 0. Khi đó theo (1.5), (1.6), v(p) là đỉnh của Γ(p) với mọi p gần 0. Do đó nó là đỉnh nhiễu của v. Ta có thể thấy trong ví dụ sau đây khi v là suy biến, v(p) được cho bởi (1.6) có thể không là điểm chấp nhận được với bất kỳ B ∈ B(v) và p = 0. Ví dụ 1.1 Với mỗi tham số nhiễu p ∈ R, ta xét bài toán min x 1 , x 1 − x 2 = p, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. Ta có v = (0, 0) là đỉnh suy biến của đa diện không nhiễu Γ(p = 0). Nhưng với mọi p < 0, v(p) = (p, 0) cho bởi (1.6) với B = {1} là không chấp nhận được, và với mọi p > 0, v(p) = (0, −p) với B = {2} cũng không chấp nhận được. Do đó, ta tìm một số điều kiện đảm bảo rằng với mọi p gần 0, v(p) là đỉnh chấp nhận được của đa diện Γ(p). Ta xét các tập chỉ số: D = {i ∈ B : (A −1 B b) i = 0}, (1.8) và D c = {i ∈ B : (A −1 B b) i > 0}. (1.9) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... nghĩa 2.4 Nhận xét 2.10 Điều kiện (i) của (SC)σ và (SC )σ là điều kiện cần cho nghiệm σ - hữu hiệu địa phương x∗ , khi giả thiết một điều kiện chính quy đúng (chẳng hạn (CQ)1 ) σ Tuy nhiên, điều kiện (ii) của định nghĩa (2.3) hoặc (2.4) là mạnh hơn điều kiện (ii) của định lý (2.1) 2.4 Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu Với mỗi giá trị của tham số nhiễu π ∈ Π ta xét bài toán tối ưu vectơ nhiễu sau đây:... tiêu phi tuyến khả vi có ràng buộc, và các điều kiện đủ cho độ nhạy Fréchet của nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu Trong trường hợp hữu hạn chiều, chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho độ nhạy Lipschitz và sự tồn tại đạo hàm theo phương của nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu Các kết quả trong chương này là của S Bolitinéanu và M El Maghri [6] 2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ Xét các không gian Banach... B(v)" và " ∃B ∈ S(v)" trong định lý 1.2 Ta cũng có thể bỏ "∃I ⊂ N " do sự không suy biến của v ∈ F Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Chương 2 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN Chương này trình bày các điều kiện cần và đủ cấp 1, cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi có ràng buộc, và. .. rằng với bài toán (VOP) lồi, mọi nghiệm σ - hữu hiệu địa phương là nghiệm σ - hữu hiệu toàn cục 2.2 Điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu Trong phần này ta sẽ xét các trường hợp σ ∈ {e, w} và (VOP) có hữu hạn hàm mục tiêu, tức là Y = Rr , Q = Rr , + F = (f1 , , fr ) với tập chỉ số I ⊂ {1, , l} và V = (v1 , , vl ), ta kí hiệu |I| là bản số của I và VI = (vi )i∈I Với x∗ ∈ S , ta... G(x) = 0, H(x) ∈ Rm } − Ta xét ba loại nghiệm của bài toán (VOP) Điểm x∗ ∈ S là: (i) Nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VOP) khi và chỉ khi x ∈ S sao cho F (x∗ ) − F (x) ∈ intQ, trong đó intQ là phần trong (tô pô) của Q; (ii) Nghiệm hữu hiệu của (VOP) khi và chỉ khi x ∈ S sao cho : F (x∗ ) − F (x) ∈ Q \ {0}; (iii) Nghiệm hữu hiệu chính thường của (VOP) (xem [4]) khi và chỉ khi tồn tại một nón lồi đóng... ∀i ∈ I = I(x∗ ) Định lý dưới đây chỉ ra các điều kiện đủ Định lý 2.2 Nếu điểm x∗ ∈ S thỏa mãn điều kiện (SC)σ thì x∗ là nghiệm σ - hữu hiệu địa phương của (VOP) Chứng minh: x∗ ∈ S thỏa mãn điều kiện (SC)σ thì x∗ thỏa mãn điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của bài toán vô hướng (Pλ∗ ) (xem [2]) Do đó, x∗ là cực tiểu địa phương Sử dụng (2.3) và nhận xét 2.1 ta suy ra điều phải chứng minh Trong phần này, ta xét... afin và hi (i = 1 m) là các hàm lồi Điểm x∗ ∈ S được gọi là σ - hữu hiệu địa phương của (VOP), σ ∈ {p, e, w}, khi và chỉ khi S được thay bởi S ∩ N (x∗ ) trong định nghĩa điểm σ - hữu hiệu, trong đó N (x∗ ) là lân cận của x∗ Nhận xét 2.1 Kết quả vô hướng hóa (2.3) cũng đúng cho điểm σ - hữu hiệu địa phương, khi xét E(λ) là tập nghiệm tối ưu địa phương của (Pλ ) Nhận xét 2.2 Theo nhận xét trên và các... hợp hữu hạn chiều điều này có nghĩa là các vectơ { x fj (x ∗ ), x gl (x ∗ ), ∗ x hi (x ), ∀j ∈ J, ∀i ∈ I, l = 1, , s} độc lập tuyến tính Ta có thể phát biểu nhận xét tương tự cho (CQ)1 và (CQ)2 Ví dụ w w một điều kiện đủ cho (CQ)1 w 2.3 ∗ x (G, HI )(x ) là toàn ánh Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu Cũng như trong trường hợp vô hướng, điều kiện đủ cấp 2 cho nghiệm σ - hữu hiệu có thể phát... sẽ trình bày các điều kiện cần và đủ để diện F (p) là σ - hữu hiệu (tức là F (p) ⊂ Eσ (p)) với mọi p gần 0 Định lý 1.2 Giả sử F là một diện đi qua đỉnh v (suy biến hoặc không) của đa diện Γ 1 F là σ - hữu hiệu của (P ) nếu và chỉ nếu: ∃λ ∈ Λσ , ∃B ∈ B(v), ∃I ⊂ N : λT CI ≥ 0, λT CN \I = 0 (CI có các cột Ci (∀i ∈ I) và CN \I có các cột khác của CN ) 2 Mỗi khẳng định sau đây là một điều kiện đủ để với mọi... trong đó J = J ∪ {k} Vì vậy, J ∈ Je (x∗ ) và |J | > |J| Điều này mâu thuẫn với J ∈ Ke (x∗ ) Nhận xét 2.4 Dễ thấy (giống như nhận xét 2.3) bổ đề 2.2 vẫn đúng với mọi nghiệm σ - hữu hiệu địa phương x∗ của (VOP) và nhận được nghiệm tối ưu địa phương của bài toán vô hướng Pσ (x∗ ) Bây giờ chúng ta quay lại chứng minh định lý 2.1: Trường hợp 1: σ = e Với mỗi nghiệm hữu hiệu địa phương x∗ , theo nhận Số hóa . . . . 19 2.2 Điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu . . . . . 22 2.3 Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . 29 2.4 Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu . . . http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của M. El Maghri [8] về độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa. độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính mà trong đó đa diện chấp nhận được có thể suy biến. Tác giả thiết lập các điều kiện cần và đủ cấp 2 cho đỉnh hữu hiệu và diện hữu