Đang tải... (xem toàn văn)
Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN HUY HÙNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2 Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 2 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP 5 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ 5 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU 7 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC 17 Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 23 2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 23 2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE 40 2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2 cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và Hessian. R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong R n . Phương pháp chứng minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3] đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu “quy gọn”). Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập đóng trong R n . Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9]. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 NGUYỄN HUY HÙNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc là một tập đóng trong R n . Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Trường hợp bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7]. 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Gradient suy rộng Cho W là một tập mở trong R n . Giả sử f là một hàm giá trị thực xác định trên W. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi điểm x thuộc W tồn tại một lân cận xV và một số xK sao cho: ( ) ( ) ( ) f z f y K x z y với mọi z và y thuộc xV . Trong đó z y là chuẩn Euclide của z y Định nghĩa 1.1 Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W. Theo Định lý Rademacher [12], f là khả vi hầu khắp nơi trên W. Ký hiệu f là gradient của f tại x (khi nó tồn tại). Gọi E là tập hợp tất cả các điểm z trong W mà f là khả vi tại z. Giả sử x thuộc W. Gradient suy rộng của f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 tại x, ký hiệu là ) ( x f , là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn của dãy hội tụ ( ) k f x , trong đó 1k k x là một dãy trong E hội tụ đến x. Đạo hàm theo phương suy rộng của f tại x theo phương d được định nghĩa bởi t vxftdvxf dxf tv )()( suplim),( 00 0 . Ta có (xem [1]): non RuuxfuRxf ),;(,:)( Nhận xét 1.1 Ta liệt kê một số sự kiện về các gradient suy rộng mà ta sẽ sử dụng sau này (xem [1]). Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k. Khi đó, (a) Hàm .);(xf o hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên n R và vkvxf o );( . (b) ),( vyf o nửa liên tục trên theo .);();,( xfvy o Lipschitz (theo v) với hằng số k trên n R . (c) 0 ) ( x f , lồi, compact và ( ) k f x (d) )(:.max);( 0 xfvdvdxf ,với mọi x thuộc W và d thuộc n R . Nói cách khác, ;.)( 0 xf là hàm tựa của tập lồi ) ( x f . (e) Cho x thuộc W, hàm ;.)( 0 xf lồi trên n R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (f) Hàm đa trị ( ) x f x là nửa liên tục trên W;. Do đó, nếu k x và k v hội tụ tương ứng với xW và v n R và nếu k v ) ( x f với mỗi k, thì v ) ( x f . (g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg. Giả sử x và yW. Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W. Khi đó tồn tại z L và v ) ( z f sao cho x z , y z và ) .( ) ( ) ( y x v y f x f với v nào đó thuộc R n và với mọi d n R ta có 0 ( ) ( ) . limsup d t f x t f x v d t thì v ) ( x f . 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU Giả sử S là một tập hợp con đóng của không gian n–chiều n R và W là một tập mở trong n R . Giả sử điểm * x S W và f là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W . Ta xét bài toán (P) : min ( ) x S W f x Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp liên ( , *) K S x và nón tiếp tuyến Clarke ( , *) T S x trùng nhau. Nón tiếp tuyến Clarke ( , *) T S x của S tại x* bao gồm tất cả các y n R sao cho với mọi dãy k t 0 và k x hội tụ tới x* với mỗi x k S, thì tồn tại dãy k y hội tụ đến y sao cho k k k x t y S với mọi k. Nón tiếp liên K(S, x*) của S tại x* bao gồm tất cả các y n R nên tồn tại các dãy k t các số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 dương và k x hội tụ tới x* với mỗi k x S và * / k k x x t hội tụ đến y. Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi. Hơn nữa, T (S, x*) K(S, x*). Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y n R và nếu 0 thì x là chuẩn Euclide của x , x .y là tích vô hướng thông thường của x và y, B(x,) là tập hợp xzRz n , . Nếu C là một tập đóng lồi trong n R và nếu x C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x . Nếu C chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x) = N(T (C, x), 0). Định nghĩa 1.2 Cho k x là một dãy trong n R hội tụ đến x và cho d là một vectơ đơn vị trong n R . Khi đó k x hội tụ tới x theo phương d nếu dãy {(x k – x) / | x k – x |} hội tụ đến d. Định nghĩa 1.3 Cho x W và d là một vectơ đơn vị trong n R . Ta định nghĩa ( ) d f x là tập hợp tất cả các v n R sao cho tồn tại các dãy k x trong W và k v trong n R mà: (a) k x hội tụ tới x theo phương d; (b) k v hội tụ đến v; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 (c) k v f(x k ) với mỗi k. Ta định nghĩa L(f, x*) là tập của tất cả các điểm td, trong đó , | | 1, 0 n d R d t , và 0 . 0 v d với v 0 nào đó trong ( *) d f x . Tập L(f, x*) là một nón đóng. Định lý 1.1 Giả sử S, W, x*, f như trên, g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) f(x) với mỗi x W S . Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*) L(f, x*), có tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d* C(x*). Ta cũng giả sử rằng: (a) ta có 0 . d w khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó thuộc K(S, x*) L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc ( *) d g x . (b) tồn tại 0 * m sao cho 2 limsup .( *)/ | *| * k k k w x x x x m với mọi dãy k x và k w và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn: (i) k x hội tụ tới x* theo phương d, (ii) d* K(S, x*) L(f, x*) và d* C(x*), (iii) *)(xgw k với mỗi k, (iv) k w hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*). Khi đó, tồn tại 0 sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên □ http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương 2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức là các hàm Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các... (6xk, 8yk + 4), ta có wk (zk – x*) / | zk – x* |2 = 6 + (2yk2 + 4 yk) / (xk2 + yk2) Do yk ≥ xk4 – xk2, ta có limsup wk (zk – x*) / (xk2 + yk2) ≥ 4 Tuy nhiên, x* = (0, 0) là cực tiểu địa phương của f trên S Thật vậy, lấy (x, y) với x nhỏ và dương và y = x4 – x2 Khi đó, f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1 )2 = 1 – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} 0 thì v.d = 2d> 0 với mọi v trong d F (0) , còn nếu d < 0 thì vd = 0 với mọi v trong d F (0) Giả sử xk hội tụ về 0 với xk 0 với mỗi k và vk hội tụ về 0 với vk F ( xk ) với mỗi k Do đó, xk 0 với mọi k đủ lớn và vì vậy vk xk / | xk |2 2 xk xk / | xk |2 2 với mọi k đủ lớn Do đó, giả thiết (b) của Hệ quả 2. 1.1 thỏa mãn... Lipschitz địa phương trên W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới ngôn ngữ các hàm bổ trợ H và M Giả sử x* S W và r 0 và m 0 Với x W, ta đặt q H x m ax g o ( x ) g x r g i x ;1 i m i m 1 M(x)= go ( x) go ( x*) (m * /2) | x x* |2 r (2. 2)... chứng minh □ Bây giờ ta trình bày một điều kiện đủ cho bài toán P1* Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Hệ quả 2. 1.1 Giả sử x* W và F là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W Giả sử (a) vk d k 0 khi mà d là một vectơ khác không trong Rn và v dF(x*); (b) tồn tại m* 0 sao cho limsup vk ( xk x*)/ | xk x* |2 m * với mọi dãy {xk} trong W... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 với mỗi vectơ d khác không trong R n Hơn nữa, nếu x W và nếu v* v m * ( x x*) với v nào đó trong F ( x ) , thì ta có v *.( x x*) v.( x x*) m* | x x* |2 □ Từ Định lý 2. 1 ta suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 2. 1 Xác định một hàm F trên R bằng cách đặt F ( x) max x 2 ,2 x x 2 với mọi x R Rõ ràng là x* = 0 làm cực tiểu F(x) trong R Lưu ý rằng . 1 .2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU 7 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC 17 Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 23 2. 1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc