Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ___________________ Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X X ∗ X . A : X → X ∗ K X f ∈ X ∗ x 0 ∈ K Ax 0 − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K, x ∗ , x x ∗ ∈ X ∗ x ∈ X K ≡ X A(x) = f. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A x h,δ α ∈ K A h (x h,δ α ) + αU s (x h,δ α − x ∗ ) − f δ , x − x h,δ α ≥ 0, ∀x ∈ K, A h : X → X ∗ A f δ f U s X α > 0 h δ x ∗ A h A h x τ α + αU s (x τ α − x ∗ ) − f δ , x − x τ α ≥ −νg(x τ α )x − x τ α , ∀x ∈ K, x τ α ∈ K, ν ≥ h τ = (h, δ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H X X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀x x ∃x x inf x∈X F (x) {F (x) : x ∈ X} I A T A a ∼ b a b A ∗ A D(A) A R(A) A x k → x {x k } x x k x {x k } x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X X ∗ X A : X → X ∗ D(A) ⊆ X D(A) ≡ X R(A) X ∗ A A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). x = y δ(t) t ≥ 0 δ(0) = 0 A(x) − A(y), x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A). δ(t) = c A t 2 c A A A hemi X A(x + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ty) Ax t → 0 + x, y ∈ X, A demi X x n → x Ax n Ax n → ∞ hemi X demi A : X → X ∗ K X f ∈ X ∗ x 0 ∈ K Ax 0 − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K. X f ∈ X ∗ A : X → X ∗ hemi (1.1) Ax − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K. A Ax − Ax 0 , x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ X, x 0 ∈ X. 0 ≤ Ax − Ax 0 , x − x 0 = (Ax − f) − (Ax 0 − f), x −x 0 Ax − f, x − x 0 ≥ Ax 0 − f, x − x 0 . Ax −f, x −x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K, t ∈ (0, 1) A[(1 − t)x 0 + tx] − f, (1 − t)x 0 + tx − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tA[(1 − t)x 0 + tx] − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K. t t → 0 hemi A ✷ f(x) J = [a, b] x 0 ∈ J f(x 0 ) = min x∈J f(x). a < x 0 < b f (x 0 ) = 0 x 0 = a f (x 0 ) ≥ 0 x 0 = b f (x 0 ) ≤ 0 f (x 0 )(x − x 0 ) ≥ 0, ∀x ∈ J, F : X → R ∪{+∞} X x, y ∈ X F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1]. X lim inf y→x F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X. F X x ∈ X ∂F ∂F (x) = {x ∗ ∈ X ∗ : F (x) ≤ F (y) + x − y, x ∗ , y ∈ X}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... với toán tử nhiễu không đơn điệu 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Cho A và Ah là các toán tử hemi-liên tục từ không gian Banach phản xạ, lồi chặt X vào không gian liên hợp X của X Giả sử toán tử A đơn điệu, còn toán tử nhiễu Ah không nhất thiết đơn điệu thỏa mãn điều kiện (2.3) Khi đó bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4) có thể không có nghiệm, do đó để hiệu chỉnh cho bài toán (2.1) trong... x1 0 (1.7) Kết hợp hai bất đẳng thức này ta được Ax0 Ax1 , x1 x0 0 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Vì A là toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra Ax0 Ax1 , x0 x1 = 0 Bất đẳng thức này mâu thuẫn với toán tử A Kí hiệu Phần tử x1 = x0 và tính chất đơn điệu ngặt của S0 là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1) x0 S0 có chuẩn... hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân trong trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu Kết quả này được lấy từ bài báo trong [2] Định lý 2.4 Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và A : X X là một toán tử đơn điệu, bị chặn hemi-liên tục với D(A) = X , Ah là toán tử i) với mỗi ii) iii) Us hemi-liên tục, không đơn điệu Giả sử h, các điều kiện thỏa mãn điều kiện (2.2) và (2.3) thỏa mãn;... nghiệm Định nghĩa 1.7 Toán tử A : X X x + (xem [7]) liên tục và bức, K Giả sử Chú ý 1.2 Nếu A : X X nếu là một toán tử đơn điệu là một tập con lồi đóng của đó, bất đẳng thức biến phân toán tử bức Ax, x = , x X x lim Định lý 1.1 được gọi là X thỏa mãn hemi- intK = Khi (1.1) có ít nhất một nghiệm với mọi f X A là toán tử đơn điệu ngặt thì nghiệm x0 của bất đẳng thức biến phân (1.1) là duy nhất... X là không gian liên hợp của lồi đóng của X , X và X là các không gian lồi chặt, K là một tập con X Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề cập ở Chương 1: tìm x0 K sao cho (2.1) Ax0 f, x x0 0, x K, ở đây A : D(A) X X là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, f là phần tử cho trước thuộc X Nếu toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán. .. Hilbert, M là một tập con H Toán tử PM chiếu H lên M là một toán tử không giãn, đơn điệu và thỏa mãn điều kiện PM (x) PM (y), x y PM (x) PM (y) 2 , x, y H, có nghĩa PM là toán tử ngược đơn điệu mạnh, nhưng PM không đơn điệu mạnh trừ khi Nếu M H A là một toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm trên không gian Hilbert H thì A là toán tử ngược đơn điệu mạnh Ta có kết quả... lý 2.1 Với mỗi hiệu chỉnh (2.4) > 0, h > 0 và có duy nhất nghiệm {x } hội tụ đến phần tử x0 S0 có f X , x (2.4) bất đẳng thức biến phân Ngoài ra, nếu x -chuẩn nhỏ nhất h+ , 0 thì X là không gian lồi chặt nên U s là một ánh xạ hemi-liên Chứng minh Do tục Vì vậy, Ah + U s cũng là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục từ X vào X Mặt khác, do U s là toán tử bức nên với mỗi > 0 toán tử Ah +... một phần tử (iii) tham số hiệu chỉnh zX sao cho A (x0 ) z = U s (x0 x ); được chọn sao cho p , 0 < p < 1 Khi đó, x x0 = O( ), = min S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 1p p , s1 s http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu 2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cho X là không gian... ta sử dụng bất đẳng thức biến phân (xem [11]) Ah x + U s (x x ) f , x x g( x ) x x , x K, ở đây x K, (2.14) h Bổ đề 2.2 Với mỗi > 0, > 0 và f X , bất đẳng thức biến phân (2.14) có duy nhất nghiệm x Chứng minh Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.1 ta suy ra bất đẳng thức biến phân Ax + U s (x x ) f , x x 0, x K, có duy nhất nghiệm (kí hiệu là x ) Từ (2.3) và (2.15)... 2.1 đơn điệu mạnh (xem [12]) Toán tử đơn trị nếu tồn tại một hằng số A : X X được gọi là ngược mA > 0 thỏa mãn A(x) A(y), x y mA A(x) A(y) 2 , x, y D(A) Nếu (2.9) A là toán tử ngược đơn điệu mạnh thì A liên tục Lipschitz và 1 A(x) A(y) x y , x, y D(A) X mA Nhận xét 2.1 Một toán tử ngược đơn điệu mạnh thì không nhất thiết đơn điệu mạnh Ví dụ 2.1 (xem [12]) Cho lồi đóng của H là một không . Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG