Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60 46 36 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X X ∗ X . A : X → X ∗ ϕ : X → R ∪{+∞} f ∈ X ∗ x 0 ∈ X A(x 0 ) − f, x − x 0 + ϕ(x) − ϕ(x 0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, x ∗ , x x ∗ ∈ X ∗ x ∈ X A ϕ x τ α ∈ X A h (x τ α ) + αU s (x τ α − x ∗ ) − f δ , x − x τ α + ϕ ε (x) − ϕ ε (x τ α ) ≥ 0, ∀x ∈ X (A h , f δ , ϕ ε ) (A, f, ϕ) τ = (h, δ, ε) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X A A h Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H X X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀x x ∃x x inf x∈X F (x) {F (x) : x ∈ X} I A T A a ∼ b a b A ∗ A D(A) A R(A) A x k → x {x k } x x k x {x k } x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X X ∗ X D ⊂ X x, y ∈ D λ ∈ [0, 1] λx + (1 − λ)y ∈ D. D ⊂ X ϕ : D → R ∪ {±∞}. ϕ D ∀x, y ∈ D ∀λ ∈ [0, 1] ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y); D ∀x, y ∈ D, x = y ∀λ ∈ (0, 1) ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y); D ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) τ ∈ R, τ > 0 ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 −λ)ϕ(y) − 1 2 λ(1 − λ)τx − y 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇒ ⇒ ϕ ϕ domϕ = {x ∈ D : ϕ(x) < +∞}. ϕ ϕ = ∅ ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ D. ϕ x 0 ∈ domϕ {x n } ⊂ domϕ x n → x 0 ϕ(x 0 ) ≤ lim n→∞ inf ϕ(x n ). ϕ x 0 ∈ domϕ {x n } ⊂ domϕ x n x 0 ϕ(x 0 ) ≤ lim n→∞ inf ϕ(x n ). ϕ X ϕ x ∈ X. ϕ : X → R ∪{+∞} ϕ ϕ X. x ∗ ∈ X ∗ ϕ x ∈ X ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x ∗ , x − y, ∀y ∈ X. ϕ x ϕ x, ∂ϕ(x), ∂ϕ(x) = {x ∗ ∈ X ∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x ∗ , x − y, ∀y ∈ X}. ϕ x ∂ϕ(x) = ∅. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ϕ : X → R. ϕ x ∈ X ϕ (x, y) = lim λ→0 ϕ(x + λy) −ϕ(x) λ . ϕ (x, y) = x ∗ , y ϕ x ∈ X, ϕ (x, y) ϕ x, ϕ (x) ϕ x. ϕ : X → R x ∈ X, A : X → X ∗ ϕ(x + y) −ϕ(x) = A(x), y+ w(x, y) lim y→0 w(x, y) y = 0, x + y ∈ X. A(x), y A(x) = ϕ (x) ϕ x. ϕ x ∈ X X F : X → R ∪ {±∞} A F F (x) ≥ F (x 0 ) + A(x 0 ), x − x 0 , ∀x, x 0 ∈ X. X F : X → R ∪ {±∞} A x 0 ∈ X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 0 min x∈X F (x); A(x 0 ), x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ X; A(x), x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ X. X x + y < 2 x, y ∈ X x = y = 1, x = y. X {x n } x n x x n → x x n → x. A : X → X ∗ A A(x) − A(y), x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; x = y A(x) − A(y), x −y > 0, ∀x, y ∈ X; τ > 0 A(x) − A(y), x −y ≥ τx −y 2 , ∀x, y ∈ X. A R 2 x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 A(x) = 0 1 −1 0 x 1 x 2 = (x 2 − x 1 ). A x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 , y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 A(x) = (x 2 , −x 1 ), A(y) = (y 2 , −y 1 ) A(x) −A(y) = (x 2 −y 2 , −x 1 + y 1 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu Chương được chia làm 2 phần Phần thứ nhất trình bày bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh với toán tử nhiễu đơn điệu, trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm hiệu chỉnh, chứng minh sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh tới nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp có x -chuẩn nhỏ nhất, kết quả của... trường hợp khác thì bài toán (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm x0 K sao cho A(x0 ) f, x x0 0, x K 2) Khi (1.7) K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.7) có dạng phương trình toán tử A(x) = f S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu. .. của nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu trong [10] 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 2.1.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Trong chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất Ephimov-Stechkin, X và X là các không gian lồi chặt Để tiện cho việc trình bày, ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đã được đề cập ở Chương... http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 1.3 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Trong mục này chúng tôi phát biểu bài toán, một số kết quả về điều kiện tồn tại nghiệm, tính chất tập nghiệm và một ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ minh họa X là... đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh thích hợp Trước khi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.4) ta cần kết quả sau: X là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X X là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục Hơn nữa, nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt Định... đó bất đẳng thức biến phân (2.4) tồn tại duy nhất nghiệm Chứng minh Trước hết chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.4) Cho x dom Do tính đơn điệu của Ah và điều kiện (3) ta có bất đẳng thức Ah (x ) + U s (x x ), x x + (x ) x x x Ah (x ) với s1 x x x x 1+ x x (2.5) c , x > R Do đó (1.4) được thỏa mãn với toán tử Ah + U s và hàm Vậy với mỗi > 0 và f X nghiệm của bài toán bất. .. x0 + (x) = + x (1.4) (1.1) có ít nhất một nghiệm Bổ đề 1.1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.1) tương đương với A(x) f, x x0 + (x) (x0 ) 0, x X, x0 X Chứng minh Vì (1.5) A là toán tử đơn điệu, nên từ (1.1) ta có A(x)f, xx0 A(x0 )f, xx0 (x0 )(x), x X, x0 X Điều này có nghĩa là bất đẳng thức (1.5) đúng Bây giờ giả sử có (1.5) Với phần tử tùy ý thuộc x = xt = tx0 + (1 t)z , t [0, 1], z là một... gian liên hợp của X , A : X X là một toán tử đơn trị, đơn điệu, h-liên tục và bị chặn : X R {+} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được phát biểu như sau: Cho f X , tìm x0 X sao cho Cho A(x0 ) f, x x0 + (x) (x0 ) 0, x X Kí hiệu (1.1) S là tập hợp những điểm x0 thỏa mãn (1.1) và được gọi là tập nghiệm của bài toán (1.1)... mA > 0 thỏa mãn (xem [7]) Toán tử đơn trị đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số A(x) A(y), x y mA A(x) A(y) 2 , x, y D(A) Nếu ngược (2.17) A là toán tử ngược đơn điệu mạnh thì A liên tục Lipschitz và A(x) A(y) 1 x y , x, y D(A) X mA Toán tử ngược đơn điệu mạnh xuất hiện trong các kết quả và các chứng minh của giải tích hàm phi tuyến Tính chất (2.17) cho toán tử đơn trị đã được đưa ra một... )x0 + x1 , x1 x0 + (x1 ) (x0 ) 0 Chia bất đẳng thức trên cho và cho 0 ta thu được ii) với x1 thay bởi x là phiếm hàm lồi khả vi, x0 là nghiệm của bài toán cực trị (1.2), hàm F khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A suy ra F (x0 ) + (x0 ) = A(x0 ) = 0 2 Theo giả thiết ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp để nghiên cứu và giải bài toán cân bằng kinh tế được trình bày dưới đây . TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60 46 36