Curso de Geometr´ M´trica ıa e Tomo I Fundamentos P Puig Adam Resoluci´n de los ejercicios o Juan Mart´ ınez Tarraz´ o Contents Introducci´n o Experiencia, intuici´n y l´gica en la g´nesis de la Ciencia o o e Los cinco grupos fundamentales de axiomas v v v Chapter Enlace, ordenaci´n y sentido en el plano o Las relaciones de incidencia Ejercicios Las relaciones de orden y separaci´n o El sentido en el plano 1 iii Introducci´n o Experiencia, intuici´n y l´gica en la g´nesis de la Ciencia o o e Numeros´ ısimos son los ejemplos y curiosidades que muestran la insuficiencia o los enga˜os de la intuici´n Por su brevedad y por su elementalidad nos contentaren o mos los dos siguientes: (1) Supongamos que un interlocutor de mediana cultura, que sepa que Espa˜a n tiene m´s de 20 millones de habitantes, y que nuestro cuero cabelludo tiene a m´s bastante menos de cabellos por mm2 ; pregunt´mosle si es seguro a e que existen dos espa˜oles igual n´mero de cabellos n u La imposibilidad de imaginar la experiencia comparativa le har´ sin a duda declarar al pronto que la pregunta no tiene contestaci´n posible o Sin embargo, un sencill´ ısimo razonamiento permite llegar donde la intuici´n no llega, y contestar afirmativamente; pues si todos los espa˜oles o n tuviesen distinto n´mero de cabellos, habr´ alguno m´s de 20 millones u ıa a de cabellos, para la cual necesitar´ una superf´ de cabeza mayor de ıa ıcie metros cuadrados (2) Propongamos al mismo interlocutor que imagine una cinta met´lica pea gada a la superf´ de la Tierra, a lo largo del Ecuador, y pregunt´mosle ıcie e si al cortarla e intercalar un trozo adicional de un metro se separar´ un ıa poco o mucho la cinta de la Tierra Si responde intuitivamente, estimar´, a sin duda, que la separaci´n resultar´ imperceptible Enga˜o de la intuio ıa n ci´n, pues siendo el radio invariablemente igual al per´ o ımetro dividido por la constante 2π, al a˜adir al per´ n ımetro un metro, el radio aumentar´ en a 1:2π=0,16 m cualquiera que sea su magnitud Los cinco grupos fundamentales de axiomas • • • • • Axiomas I De enlace o incidencia Axiomas II De ordenaci´n o Axiomas III De congruencia o movimiento Axioma IV De paralelismo Axioma V De continuidad v CHAPTER Enlace, ordenaci´n y sentido en el plano o Las relaciones de incidencia 1.1 Axiomas de existencia y enlace: Axioma I, Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamaremos “espacio” Axioma I, Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “planos” y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas” designaremos los puntos por letras may´sculas: A, B, C, , las rectas por u min´sculas: a, b, c, y los planos por letras griegas: α, β, γ, u Axioma I, Por dos puntos distintos pasa una recta y s´lo una o Axioma I, Por tres puntos no alineados pasa un plano y s´lo uno o Axioma I, Si dos puntos de una recta est´n en un plano, todos los dem´s a a puntos de la recta lo est´n tambi´n a e 1.2 Otras determinaciones del plano Teorema Una recta y un punto exterior determinan un plano que pasa por ellos Teorema Dos rectas distintas que tienen un punto com´n determinan un u plano que las contiene 1.3 proyectar, trazar, unir, cortar Dos rectas, o una recta y un plano un solo punto com´n, se dice que se cortan en ese punto, o que son secantes en u ´l, punto que se llama de intersecci´n Tambi´n se llama pie o traza de una recta e o e sobre la otra o sobre el plano 1.4 Posiciones de dos rectas Si dos o m´s rectas o puntos est´n en un a a mismo plano se dice que son coplanarios Teorema Existen rectas no coplanarias Teorema Dos rectas no coplanarias no pueden tener punto alguno com´n u Se dice que se cruzan Ejercicios (1) ¿Cu´ntas rectas determinan n puntos no alineados tres a tres? a Soluci´n: o n = n(n − 1) ´ ENLACE, ORDENACION Y SENTIDO EN EL PLANO (2) ¿Cu´ntos planos determinan n puntos no coplanarios cuatro a cuatro? a Soluci´n: o n = n(n − 1)(n − 2) (3) LL´mase cuadril´tero completo a la figura formada por cuatro rectas secantes a a entre s´ dos a dos, sin que tres de ellas pasen por un punto Estas rectas se ı llaman lados del cuadril´tero, y sus puntos de intersecci´n v´rtices Se llaman a o e diagonales del cuadril´ero las rectas que unen v´rtices no situados en un mismo t e lado ¿Cu´ntos v´rtices y cu´ntas diagonales tiene el cuadril´tero completo? a e a a Soluci´n: 6v´rtices y diagonales o e (4) Ll´mase cuadriv´rtice completo a la figura formada por cuatro puntos coplaa e narios no alineados tres a tres, llamados v´rtices, y las rectas que los unen e dos a dos llamados lados Ll´manse puntos diagonales del cuadriv´rtice los a e puntos de intersecci´n de lados no concurrentes en un v´rtice ¿Cu´ntos lados o e a tiene el cuadriv´rtice? ¿Cu´ntos puntos diagonales tiene a lo sumo? ¿Podemos e a asegurar su existencia? Soluci´n: lados puntos diagonales a lo sumo No, pues a´n no podemos admitir la o u existencia de rectas paralelas hasta que no se introduzcan los axiomas de movimiento, la simetr´ central asegura la existencia de rectas sin puntos comunes (paralelas) ıa Figure Cuadril´tero completo y cuadriv´rtice completo a e Las relaciones de orden y separaci´n o 2.1 Ordenaci´n lineal Conceptos “precede” y “sigue” Diremos que o un conjunto (finito o infinito) de elementos est´ ordenado linealmente cuando es a posible relacionarlos entre s´ mediante el verbo “preceder”, de tal modo que: ı (1) Dados dos elementos A y B, o “A precede a B” o “B precede a A” (2) Si A precede a B, y B precede a C, A precede a C (propiedad transitiva): En lugar del verbo preceder puede emplearse el verbo seguir, cambiando entre s´ ı los elementos Es decir, si “A precede a B”, “B sigue a A” ´ LAS RELACIONES DE ORDEN Y SEPARACION 2.2 Conceptos “estar entre” y “separar” Cuando un elemento B precede a C y sigue a A se dice que “est´ entre” A y C, o “entre C y A”, o tambi´n a e que separa ambos elementos Teorema Si D est´ entre A y B, y B est´ entre A y C, est´ tambi´n a a a e D entre A y C 2.3 Axioma de ordenaci´n de los puntos de la recta o Axioma II, La recta es un conjunto linealmente ordenado de puntos que no tiene ni primero ni ultimo punto, y en el que no hay puntos consecutivos ´ 2.4 Definiciones de semirrecta y segmento El conjunto definido por un punto de una recta y todos los de esta que le preceden (o siguen) se llama “semirrecta” El conjunto formado por dos puntos de una recta y todos los situados entre ambos se llama “segmento” Teorema (1) El segmento que une dos puntos cualesquiera situados en dos semirrectas (una misma semirrecta) y distintos de su origen contiene (no contiene) dicho origen (2) Todo punto P interior a un segmento, le divide en dos partes o segmentos parciales 2.5 Pares de puntos separados Dados dos pares de puntos alineados, AB y CD, diremos que C y D est´n separados por A y B cuando uno de los puntos C a o D pertenece al segmento AB y el otro no Teorema La separaci´n es rec´ o ıproca 2.6 Axioma de la divisi´n del plano o Axioma II, Toda recta de un plano establece una clasificaci´n de los puntos o no contenidos en ella en dos unicas clases o regiones tales que: ´ Todo punto exterior a r pertenece a una u otra regi´n o El segmento que une dos puntos AB (AC) de la misma (distinta) regi´n no o corta (corta) a la recta r Teorema Si, supuestos A, B, C no en r, AB no corta (AC corta) r A y B (A y C) est´n en la misma (distinta) regi´n a o Teorema Dados tres puntos A, B, C y una recta r de su plano que no pasa por ellos si r separa un par AC de estos puntos, separa tambi´n otro par BC, pero e no el tercero 2.7 Definiciones de semiplano y de ´ngulo Dada una recta r del plano, a el conjunto de sus puntos y los de cada una de las regiones en que divide al plano se llama “semiplano” Dadas dos semirrectas no opuestas a y b, de origen com´n O, llamaremos u ´ngulo convexo ab o, simplemente, angulo ab a la interferencia de los (o conjunto a ´ de los puntos comunes a los) semiplanos siguientes: aquel cuyo borde es la recta a y que contiene b, y aquel cuyo borde es la recta b y que contiene a Las semirrectas a y b se llaman lados y su origen com´n v´rtice del ´ngulo u e a ´ ENLACE, ORDENACION Y SENTIDO EN EL PLANO ´ 2.8 Angulos adyacentes y opuestos por el v´rtice Angulo c´ncavo y e o llano Dos rectas secantes definen, pues, cuatro ´ngulos convexos seg´n los semia u planos que hagamos interferir Llamando α y α los semiplanos limitados por la primera y β y β los limitados por la segunda, estos ´ngulos son las interferencias a de αβ, αβ , α β y α β Los pares de ´ngulos procedentes de la interferencia un mismo semiplano α, a como, por ejemplo, αβ y αβ se llaman adyacentes Los procedentes de interferencia de semiplanos distintos se llaman opuestos por el v´rtice, como, por ejemplo, αβ y e αβ Cada ´ngulo αβ tiene, pues, dos adyacentes αβ , α β y un opuesto por el v´rtice a e α β El conjunto de estos tres se llama ´ngulo c´ncavo y se considerar´n como a o a lados de ´l los mismos del convexo αβ e Para dar al concepto de ´ngulo la debida generalidad convendremos tambi´n en a e llamar ´ngulo llano a cada uno de los semiplanos limitados por dos rectas opuestas a 2.9 El ´ngulo como conjunto de rayos a Teorema 10 Si unimos un punto P perteneciente a un ´ngulo convexo y no a situado en sus lados, es decir, interior a ´l, el v´rtice O, todos los puntos de la e e semirrecta OP ser´n tambi´n interiores al ´ngulo Lo mismo puede repetirse para a e a un ´ngulo c´ncavo a o Los puntos interiores a un ´ngulo, pueden, pues, agruparse en semirrectas llaa madas “rayos” interiores, y podemos considerar, as´ al ´ngulo como el conjunto de ı a sus rayos interiores Las semirrectas no interiores distintas de los lados se llaman rayos exteriores al ´ngulo a Teorema 11 El segmento que une dos puntos A y B respectivamente situados en lados distintos de un ´ngulo convexo, corta a todo rayo r interior a Corolario Todo rayo r interior a un ´ngulo convexo lo divide en dos partes a o ´ngulos parciales situados en distinto semiplano respecto de r a 2.10 Pares de rayos separados Todas las semirrectas o rayos origen com´n O se dice que constituyen un haz de v´rtice O u e Diremos que dos rayos a y b separan otros dos c y d, cuando uno de estos est´ a en uno de los ´ngulos ab, y el otro en el otro ´ngulo a a Teorema 12 La separaci´n es rec´ o ıproca Corolario Si a, b est´n separados por c y d, los pares ac y bd, como los a ad y bc, no est´n separados a 2.11 Definici´n de tri´ngulo y de pol´ o a ıgono convexo Dados tres puntos A, B y C no alineados, llamaremos “tri´ngulo” a la interferencia (conjunto de a puntos comunes) de los tres semiplanos limitados por las rectas AB, BC y CA y que contienen respectivamente los puntos C, A y B Los segmentos BC, CA y AB se llaman lados del tri´ngulo; se les puede dea signar por las letras min´sculas a, b y c, y los puntos A, B y C se llaman v´rtices, u e respectivamente opuestos a aquellos lados Los ´ngulos determinados por cada dos de estos semiplanos se llaman ´ngulos a a del tri´ngulo, y sus adyacentes ´ngulos exteriores a a Generalizando la definici´n anterior, diremos: o ´ LAS RELACIONES DE ORDEN Y SEPARACION Si n puntos del plano, A, B, C, , F se han podido ordenar de modo que tres consecutivos no est´n alineados y las rectas determinadas por cada dos puntos e consecutivos dejan en un mismo semiplano los n − puntos restantes, se llama “pol´ ıgono convexo” al conjunto de los puntos comunes a todos estos semiplanos Los puntos A, B, C, , F se llaman v´rtices del pol´ e ıgono Los segmentos AB, BC, , EF , determinados por cada dos v´rtices consecutivos se llaman lae dos del pol´ ıgono Su conjunto se llama contorno del pol´ ıgono Los segmentos determinados por dos v´rtices no consecutivos se llaman diagonales e Teorema 13 Todos los puntos del pol´ ıgono convexo pertenecen a los ´ngulos a definidos por cada dos semiplanos consecutivos ´ Angulos que se llaman ´ngulos del pol´ a ıgono Los ´ngulos adyacentes a los del a pol´ ıgono se llaman ´ngulos exteriores a Seg´n el n´mero de lados, los pol´ u u ıgonos se llaman tri´ngulos, cuadril´teros, a a pent´gonos, hex´gonos, hept´gonos, oct´gonos, ene´gonos, dec´gonos, etc a a a o a a 2.12 Propiedad general de las figuras convexas Llamaremos figura a todo conjunto de puntos Todas las figuras definidas por interferencia de semiplanos, como los ´ngulos a convexos, tri´ngulos y pol´ a ıgonos convexos, tienen la seguiente propiedad (que se adopta como definici´n general de figura convexa): o Teorema 14 Todos los puntos del segmento que une dos puntos cualesquiera de una figura convexa, pertenecen tambi´n a ella e 2.13 Propiedades de los pol´ ıgonos convexos Los puntos de un pol´ ıgono, no pertenecientes al contorno, se llaman interiores Los puntos no pertenecientes al pol´ ıgono se llaman exteriores Teorema 15 Toda semirrecta, origen en un punto O interior de un pol´ ıgono convexo, corta al contorno del pol´ ıgono en un punto Corolario Todo segmento OP que une un punto interior otro exterior corta al contorno en un punto Corolario Si un segmento no corta al contorno, sus extremos son ambos interiores o ambos exteriores Corolario Toda recta trazada por un punto interior corta al contorno en dos puntos Corolario En el exterior del pol´ ıgono existen rectas que no cortan al contorno 2.14 Teorema de Jordan Dados varios segmentos HL, LM, M N, , ST , de tal modo ordenados que cada uno de los intermedios tiene un extremo com´n u el anterior y otro el siguiente (sin estar alineado ellos), el conjunto de todos ellos se llama l´ ınea quebrada o poligonal, y dichos segmentos y puntos, lados y v´rtices de la quebrada e Si el extremo K del primer segmento coincide el extremo T del ultimo se ´ dir´ que la poligonal es cerrada Si los lados no tienen m´s puntos comunes entre a a s´ que los mencionados, la poligonal se llama simple ı ´ ENLACE, ORDENACION Y SENTIDO EN EL PLANO Teorema 16 (Teorema de Jordan) I En todo pol´ ıgono convexo, dos puntos M y N , ambos interiores (exteriores) pueden unirse por una quebrada que no corta al contorno II Toda quebrada que une un punto interior O otro exterior M corta al contorno El sentido en el plano Conclusiones: • Cada criterio de ordenaci´n define un sentido en la recta; existen, por o tanto, en ella dos sentidos que llamaremos opuestos • Una recta (segmento) en la cual se fijado un sentido se llama recta orientada (segmento orientado) Un segmento orientado AB se llama − − → tambi´n vector y se representa as´ AB El punto A se llama origen y el e ı: B extremo del vector • Al suprimir un rayo de un haz, los restantes constituyen un conjunto linealmente ordenado, abierto y denso • En todo haz abierto podemos considerar dos sentidos • En todo plano existen dos sentidos opuestos • En toda poligonal existen dos sentidos opuestos • Una vez fijado el sentido de un solo haz del plano, queda determinado un sentido concordante en todos los dem´s haces y contornos poligonales a convexos del plano1 • Hasta aqu´ hemos hablado de igualdad u oposici´n de sentidos; pero no ı o es posible establecer, por v´ geom´trica pura, caracteres distintivos que ıa e los individualicen Para conseguir este objetivo es necesario referirlos a elementos ajenos a la Geometr´ Se suele acudir a tal objeto a la persona ıa humana y al reloj El sentido en que se mueven las saetas del reloj se llamar´ negativo y positivo al sentido opuesto a 1Lo mismo se llega a establecer para pol´ ıgonos simples no convexos y para contornos curvos de Jordan  ... de axiomas • • • • • Axiomas I De enlace o incidencia Axiomas II De ordenaci´n o Axiomas III De congruencia o movimiento Axioma IV De paralelismo Axioma V De continuidad v CHAPTER Enlace, ordenaci´n... “preceder”, de tal modo que: ı (1) Dados dos elementos A y B, o “A precede a B” o “B precede a A” (2) Si A precede a B, y B precede a C, A precede a C (propiedad transitiva): En lugar del verbo... sentido de un solo haz del plano, queda determinado un sentido concordante en todos los dem´s haces y contornos poligonales a convexos del plano1 • Hasta aqu´ hemos hablado de igualdad u oposici´n de