Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Động lực học công trình - PGS. TS. Dương Văn Thứ
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH PGS TS Dương Văn Thứ powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1.1.1 Khái niệm về chu kỳ và tần số Dao động của vật thuần túy do lực lò xo sinh ra khi M dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng ban đầu (do một nguyên nhân bất kỳ nào đó gây ra rồi mất đi) được gọi là dao động tự do hay là dao động riêng Dạng chuyển vị của vật M được gọi là dạng dao động riêng Nếu trong quá trình dao động luôn luôn tồn tại lực động P(t), ta có bài toán dao động cưỡng bức Lực động P(t) còn được gọi là lực kích thích K 0 M y P(t) Hình 1.1 Tuỳ thuộc vào quan hệ giữa lực lò xo và biến dạng của lò xo là tuyến tính , hay phi tuyến, mà ta có bài toán dao động tuyến tính hay dao động phi tuyến powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Số các dao động toàn phần của khối lượng thực hiện trong một đơn vị thời gian, chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học của hệ, gọi là tần số dao động riêng hay tần số dao động tự do, và được ký hiệu là f Thời gian để thực hiện một dao động toàn phần được gọi là chu kỳ dao động, và được ký hiệu là T Nếu T đo bằng giây (s) (trong Động lực học công trình thời gian thường được đo bằng giây), thì thứ nguyên của f là 1/s Về trị số f và T là nghịch đảo của nhau powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay Sau đây ta xét một dạng dao động quan trọng được gọi là dao động điều hòa Đây là dạng dao động cơ bản thường gặp trong cơ học, mặt khác, các dao động có chu kỳ luôn luôn có thể phân tích thành các dạng dao động điều hòa đơn giản Xét dao động điều hòa, S (t ) = A sin ωt (1-1) Có vận tốc v(t ) = Aωcosω t (1-2) và gia tốc a (t ) = − Aω 2 sin ωt (1-3) powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay Có thể miêu tả chuyển động này như chuyển dịch của điểm mút véc tơ OA (có độ lớn bằng A) lên một trục S nào đó khi véc tơ này quay quanh điểm cố định O với vận tốc góc ω.(xem hình 1.2) Trị số A được gọi là biên độ dao động, còn vận tốc góc ω được gọi là tần số vòng của dao động – là số dao động toàn phần của hệ thực hiện trong 2π giây r a Acosωt 0 ωT = 2π nên ωt Asinω t r v A s Hình 1.2 Theo định nghĩa, T= x 2π 1 = ω f do đó ω = 2π f powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Tóm lại, trong dao động điều hòa ta có các quan hệ sau, 2π ω= = 2π f T 1 ω f = = T 2π 1 2π T= = f ω (1-4) (1-5) (1-6) Sau này trong tính toán thực tế, người ta hay dùng ω hơn f powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Khảo sát ba dao động điều hòa cùng biên độ A và chu kỳ T T T t0= 4 t 0 0 s T T A a) π S (t ) = Asin ω t- ÷ 2 t t 0A A s b) S (t ) = Asin(ω t) s c) ϕ ϕ = T ω 2π S (t ) = Asin ( ω t-ϕ ) t0 = Hình 1.3 Ta nói t0 là độ lệch pha, còn ϕ là góc lệch pha (hay góc pha) dao động (a) có góc pha là π/2 powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Cách biểu diễn dao động điều hòa dưới dạng véc tơ quay như trên hình 1.2, giúp ta thực hiện thuận tiện việc hợp các dao động điều hòa Ví dụ, xét hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số (có thể khác biên độ và lệch pha) S1 (t ) = A1 sin ωt (a) S2 (t ) = A2 sin ( ωt + ϕ ) (b) powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Hợp của hai dao động S1 và S2 chính là hợp của hai véc tơ OA1 và OA2 cho ta véc tơ OA có độ lớn , theo qui tắc hình bình hành, là OA = A = và góc lệch pha β, mà: ( A1 + A2cosϕ ) + ( A2 sin ϕ ) 2 2 A2 sin ϕ tg β = ( A1 + A2cosϕ ) (1-7) (1-8) Như vậy, hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số là một dao động điều hòa cùng tần số, có biên độ A được tính theo (1-7) và góc lệch pha β được tính theo (1-8) S (t ) = S1 (t ) + S 2 (t ) = Asin ( ω t+β ) (c) powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO nếu hai dao động thành phần khác tần số, thì hợp của chúng không còn là dao động điều hòa nữa, mà chỉ là dao động có chu kỳ s A A2 φ 0 A2 sinφ β A1 A2 cosφ x ωt Hình 1.4 powerpoint.vn Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG (a)’ là phương trình siêu việt, sẽ có vô số nghiệm; bằng cách giải gần đúng ta xác định được hai nghiệm bé nhất (ứng với hai tần số bé nhất) như nhau: và λ1 = K1l = 3,56 suy ra λ2 = K 2l = 7, 43 suy ra 2 Theo (3-9): ωi = K i 3,56 l 7, 43 K2 = l K1 = EJ (m là cường độ khối lượng phân bố đều) (f) m Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG q 40kN 2 −2 4 Thay l=6 mét; khối lượng m = = s m = kNs 2 m −2 và EJ vào (f) g 3 ×10 3 ta có: 2 4 ×104 × 3 1 = 60, 7 ; 4s 2 s 2 4 ×104 × 3 1 = 265,5 ; 2 4s s 3,56 ω1 = ÷ 6 7, 43 ω2 = ÷ 6 Ta có thể tính tiếp các tần số bậc cao hơn ω3 , ω4 Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG 2) Vẽ biểu đồ biên độ nội lực mô men động: Từ các số liệu của bài toán, ta tính được thông số k theo (3-34) là: 2 mr k= = EJ 4 4 40 ×102 3 ×10 = 0, 24( m −1 ) 4 ×104 λ1a = kl = 0, 24m −1 × 6m = 1, 44 l λ2b = k = 0, 24m −1 × 3m = 0, 72 2 EJ rồi thay vào (b) ta tính được: r = 5,588652 11 l nên Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chú ý: Để tính r11 ta tra bảng phụ lục được: µ1 (λ1a ) = µ1 (1, 44) ≈ 0,989515 Còn µ8 (λ1b ) = µ8 (0, 72) không có trong bảng tra, nên ta phải tra trực tiếp theo công thức: 2 2 Aλ − Cλ µ8 (λ ) = λ Aλ Bλ − Cλ Dλ Tra bảng A, B, C, D (λ) (với λ=0,72) rồi thay vào và ta tính được: µ8 (0, 72) = 0,81573 còn ( ) P Cλ AK0 − Aλ CK0 R1P = − = −0, 75730 Pm 2 K ( Aλ Bλ − Cλ Dλ ) Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Thay r11 và R1P tính ở trên vào phương trình chính tắc của bài toán: r11Z1 + R1P = 0 hay EJ 5,588652 Z1 − 0, 7573P = 0 l Pl Z1 = 0,12865 m EJ (m là viết tắt của mét) (g) Để vẽ biểu đồ biên độ mô men động (luôn luôn là đường cong) ta phải viết biểu thức biểu diễn sự biến đổi của biên độ mô men động cho từng thanh dựa vào công thức thông số ban đầu (3-35) Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG * Xét thanh a-1: Chọn gốc toạ độ ở đầu a, các thông số ban đầu gồm: ' y(0) = 0; y(0) = 0 2 EJ 2 EJ Pl µ2 (1, 44) Z1 = ×1, 0155 × 0,12865 m = 0, 26129 Pm l l EJ 6 EJ EJ Pl Q (0) = − 2 ε 2 (1, 44) Z1 = − × 1, 02241× 0,12865 = −0,13153P l l EJ M (0) = Thay các thông số ban đầu này vào (3-35) được: M ( z ) = [ 0, 26129 AKZ − 0,54805 BKZ ] Pm Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG * Xét thanh 1-b: Chọn gốc toạ độ tại nút 1, có các thông số ban đầu: ' y(0) = 0; y(0) = Z1 = 0,12865 0 M (0) = M 1Z1 + M P = Q(0) = Q1Z1 + Q = 0 P Tra bảng Pl m EJ EJ µ8 (0, 72) Z1 − 0, 7573P = −0,50929 P l 2 ( ) EJ ( l 2) ε (0, 72) Z1 2 9 (B A +P λ K0 − Dλ CK0 ( Aλ Bλ − Cλ Dλ ) ) ε 9 (0, 72) và các hàm A(0,72); B(0,72) vv rồi thay vào ta tính được: Q(0) = 0,51335 P Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Lại thay các thông số vừa tìm được vào (3-35) ta được phương trình M(z) của thanh 1-b như sau: 0,12865 Pl 1 M ( z ) = − KEJ DKZ − 0,50929 PAKZ + 0,51335PBKZ EJ K M ( z ) = ( −0,18526 DKZ − 0,50929 AKZ + 2,1389 BKZ ) Pm Vẽ đồ thị hàm (h) và (i) ta được biểu đồ biên độ mô men động như trên hình (5-6c) (i) Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG VÍ DỤ 5-4: Xác định tần số dao động riêng của dầm liên tục cho trên hình (5-7a) Biết dầm có l, EJ, khối lượng m = hằng số Bài giải: Dầm đã cho có dạng đối xứng, nên sẽ có dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản đối xứng Phương trình dao động tự do-theo phương pháp chuyển vị-có dạng như sau: r11Z1 = 0 Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Đây là phương trình tích, nên có thể xảy ra 2 trường hợp 1) Khi Z1=0, nghĩa là nút 1 không xoay, đây là dạng dao động đối xứng Lúc này dạng dao động của dầm tương ứng với một nửa hệ như trên hình (5-7b) Đây là dầm 1 nhịp một đầu ngàm một đầu khớp, các tần số ,ω4 và các dạng dao động tương ứng đã cho như trong bảng 3.1 2) Khi r11=0, dạng dao động có dạng phản đối xứng như trên hình (57c) Với dầm đã cho, tra bảng có: r11 = 3EJ 3EJ µ5 ( λ ) + µ5 (λ ) = 0 l l Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG suy ra λ 4 shλ sin λ µ5 (λ ) = 0 = ( 6chλ sin λ − shλ cosλ ) Do mẫu số khác không nên sinλ=0 Suy ra: λ = iπ (i = 1, 2, , ∞) (i) Thay λ tính theo (j) vào (3-9) ta được công thức tổng quát để xác định các tần số dao động riêng tương ứng với dao động phản đối xứng: i 2π 2 ωi = 2 l (i=1, 2, , ∞ ) EJ m (k) Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG BÀI TẬP CHƯƠNG 5 1) Tính tần số dao động riêng ω1 của các kết cấu cho trên hình bằng hai phương pháp: Tính chính xác và tính gần đúng theo công thức của S.A.Pestel Vẽ biểu đồ biên độ mô men động BÀI TẬP CHƯƠNG 5 2) Xác định tần số dao động riêng bé nhất và vẽ biểu đồ biên độ mô men động của kết cấu trên hình 2 bằng hai phương pháp: gần đúng và chính xác Biết: EJ, m (là khối lượng phân bố trên 1 mét dài), bằng hằng số, EJ r = 0, 25 (met ) −3 P=20kN, ml Cho: EJ, m = hằng số l = 4m r = 0, 25 EJ (met ) −3 ml BÀI TẬP CHƯƠNG 5 3) Vẽ biểu đồ biên độ mômen động, kết cấu cho trên hình 3 Biết: EJ, m= hằng số; Kab=0,6 m-1; Kac=0,3 m-1; Kad=0,5 m-1 ... nhân gây đi) gọi dao động tự dao động riêng Dạng chuyển vị vật M gọi dạng dao động riêng Nếu q trình dao động ln ln tồn lực động P(t), ta có tốn dao động cưỡng Lực động P(t) gọi lực kích thích K... trưng học hệ, gọi tần số dao động riêng hay tần số dao động tự do, ký hiệu f Thời gian để thực dao động toàn phần gọi chu kỳ dao động, ký hiệu T Nếu T đo giây (s) (trong Động lực học cơng trình. .. ( 1-1 2) Trong K= δ ( 1-1 3) gọi độ cứng hệ Giải ( 1-1 2) xác định phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc chuyển động khối lượng -> xác định đại lượng nghiên cứu powerpoint.vn CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG