NGUY ˆ E ˜ N THUY ’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´ P Tˆa . p1 D a . isˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh v`a H`ınh ho . c gia ’ it´ıch NH ` AXU ˆ A ´ TBA ’ NDA . IHO . CQU ˆ O ´ C GIA H ` AN ˆ O . I H`a Nˆo . i – 2006 Mu . clu . c L`o . in´oid ˆa ` u 4 1Sˆo ´ ph´u . c6 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . . . . . . . . 23 2D - ath´u . c v`a h`am h˜u . uty ’ 44 2.1 D - ath´u . c 44 2.1.1 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c C 45 2.1.2 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c R 46 2.2 Phˆan th´u . ch˜u . uty ’ 55 3 Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c66 3.1 Ma trˆa . n 67 3.1.1 D - i . nh ngh˜ıa ma trˆa . n 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe ´ n t´ınh trˆen ma trˆa . n 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa . n 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe ’ nvi . ma trˆa . n 72 3.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.1 Nghi . ch thˆe ´ 85 3.2.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.3 T´ınh chˆa ´ tcu ’ ad i . nh th ´u . c 88 2MU . CLU . C 3.2.4 Phu . o . ng ph´ap t´ınh d i . nh th ´u . c 89 3.3 Ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.3.1 D - i . nhngh˜ıa 109 3.3.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.4 Ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o 118 3.4.1 D - i . nhngh˜ıa 118 3.4.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o 119 4Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 132 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t 165 5 Khˆong gian Euclide R n 177 5.1 D - i . nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe ` u v`a mˆo . tsˆo ´ kh´ai niˆe . mco . ba ’ nvˆe ` vecto . 177 5.2 Co . so . ’ .D - ˆo ’ ico . so . ’ 188 5.3 Khˆong gian vecto . Euclid. Co . so . ’ tru . . cchuˆa ’ n 201 5.4 Ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tuyˆe ´ nt´ınh 213 5.4.1 D - i . nhngh˜ıa 213 5.4.2 Ma trˆa . ncu ’ a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto . riˆeng v`a gi´a tri . riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng d ˆe ’ nhˆa . nda . ng du . `o . ng v`a m˘a . tbˆa . c hai 236 6.1 Da . ng to`an phu . o . ng 236 6.1.1 Phu . o . ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu . o . ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 MU . CLU . C3 6.1.3 Phu . o . ng ph´ap biˆe ´ nd ˆo ’ i tru . . c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D - u . aphu . o . ng tr`ınh tˆo ’ ng qu´at cu ’ ad u . `o . ng bˆa . c hai v`a m˘a . t bˆa . c hai vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c 263 L`o . i n´oi d ˆa ` u Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p to´an cao cˆa ´ p n`ay du . o . . c biˆen soa . n theo Chu . o . ng tr`ınh To´an cao cˆa ´ p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . cTu . . nhiˆen cu ’ a D a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . iv`ad˜a d u . o . . cD a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu . cd ´ıch cu ’ a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o . sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . c Tu . . nhiˆen n˘a ´ mv˜u . ng v`a vˆa . ndu . ng d u . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an cao cˆa ´ p. Mu . c tiˆeu n`ay quyˆe ´ td i . nh to`an bˆo . cˆa ´ utr´uc cu ’ a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo ˜ imu . c, d ˆa ` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a ´ tnh˜u . ng co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t v`a liˆe . tkˆenh˜u . ng cˆong th´u . ccˆa ` n thiˆe ´ t. Tiˆe ´ pd ´o, trong phˆa ` n C´ac v´ı du . ch´ung tˆoi quan tˆam d ˘a . cbiˆe . tt´o . iviˆe . c gia ’ i c´ac b`ai to´an mˆa ˜ ub˘a ` ng c´ach vˆa . ndu . ng c´ac kiˆe ´ nth´u . cl´y thuyˆe ´ td ˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa ` n B`ai tˆa . p.O . ’ d ˆay, c´ac b`ai tˆa . pdu . o . . cgˆo . p th`anh t`u . ng nh´om theo t`u . ng chu ’ d ˆe ` v`a d u . o . . cs˘a ´ pxˆe ´ p theo th´u . tu . . t˘ang dˆa ` nvˆe ` d ˆo . kh´o v`a mˆo ˜ i nh´om dˆe ` u c´o nh˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` phu . o . ng ph´ap gia ’ i. Ch´ung tˆoi hy vo . ng r˘a ` ng viˆe . c l`am quen v´o . il`o . i gia ’ i chi tiˆe ´ t trong phˆa ` n C´ac v´ı du . s˜e gi´up ngu . `o . iho . c n˘a ´ md u . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an co . ba ’ n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p n`ay c´o thˆe ’ su . ’ du . ng du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ ncu ’ a gi´ao viˆen ho˘a . ctu . . m`ınh nghiˆen c´u . u v`ı c´ac b`ai tˆa . pd ˆe ` uc´od´ap sˆo ´ ,mˆo . t sˆo ´ c´o chı ’ dˆa ˜ n v`a tru . ´o . c khi gia ’ i c´ac b`ai tˆa . pn`ayd ˜a c´o phˆa ` n C´ac v´ı du . tr`ınh b`ay nh ˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` m˘a . tphu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an. T´ac gia ’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca ’ mo . n c´ac thˆa ` y gi´ao: TS. Lˆe D `ınh Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe ˜ n Minh Tuˆa ´ nd ˜ado . ck˜yba ’ n tha ’ ov`ad´ong Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t h`am biˆe ´ nph´u . c5 g´op nhiˆe ` u´ykiˆe ´ n qu´y b´au vˆe ` cˆa ´ utr´uc v`a nˆo . i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia ’ vˆe ` nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ aba ’ n tha ’ o gi´ao tr`ınh. M´o . i xuˆa ´ tba ’ nlˆa ` nd ˆa ` u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho ’ i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa ´ t chˆan th`anh mong d u . o . . cba . nd o . c vui l`ong chı ’ ba ’ o cho nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ a cuˆo ´ n s´ach d ˆe ’ gi´ao tr`ınh ng`ay du . o . . c ho`an thiˆe . nho . n. H`a Nˆo . i, M `ua thu 2004 T´ac gia ’ Chu . o . ng 1 Sˆo ´ ph´u . c 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . 23 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c Mˆo ˜ ic˘a . psˆo ´ thu . . c c´o th ´u . tu . . (a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R d u . o . . cgo . i l`a mˆo . tsˆo ´ ph´u . cnˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p c´ac c˘a . pd ´o quan hˆe . b˘a ` ng nhau, ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan d u . o . . cd u . a v`ao theo c´ac d i . nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe . b˘a ` ng nhau (a 1 ,b 1 )=(a 2 ,b 2 ) ⇐⇒    a 1 = a 2 , b 1 = b 2 . (I I) Ph´ep cˆo . ng 1.1. D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 7 (a 1 ,b 1 )+(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 + a 2 ,b 1 + b 2 ). 1 (I II) Ph´ep nhˆan (a 1 ,b 1 )(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ,a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cd u . o . . ck´yhiˆe . ul`aC. Ph´ep cˆo . ng (II) v`a ph´ep nhˆan (I II) trong C c´o t´ınh chˆa ´ t giao ho´an, kˆe ´ tho . . p, liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ’ i luˆa . t phˆan bˆo ´ v`a mo . i phˆa ` ntu . ’ =(0, 0) d ˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ nghi . ch d a ’ o. Tˆa . pho . . p C lˆa . p th`anh mˆo . t tru . `o . ng (go . i l`a tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c) v´o . i phˆa ` n tu . ’ khˆong l`a c˘a . p (0; 0) v`a phˆa ` ntu . ’ d o . nvi . l`a c˘a . p (1; 0). ´ Ap du . ng quy t˘a ´ c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe ´ uk´yhiˆe . u i =(0,1) th`ı i 2 = −1 Dˆo ´ iv´o . i c´ac c˘a . pda . ng d ˘a . cbiˆe . t(a, 0), ∀a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b,0)=(a + b,0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`u . d ´ovˆe ` m˘a . tda . isˆo ´ c´ac c˘a . pda . ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe . t v´o . isˆo ´ thu . . c R:v`ıch´ung d u . o . . ccˆo . ng v`a nhˆan nhu . nh˜u . ng sˆo ´ thu . . c. Do vˆa . y ta c´o thˆe ’ d ˆo ` ng nhˆa ´ t c´ac c˘a . pda . ng (a; 0) v´o . isˆo ´ thu . . c a: (a;0)≡ a ∀a ∈ R. D ˘a . cbiˆe . t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. D ˆo ´ iv´o . isˆo ´ ph´u . c z =(a, b): 1 + Sˆo ´ thu . . c a d u . o . . cgo . i l`a phˆa ` n thu . . c a =Rez,sˆo ´ thu . . c b go . i l`a phˆa ` n a ’ ov`ak´yhiˆe . ul`ab =Imz. 2 + Sˆo ´ ph´u . c z =(a, −b)go . il`asˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . pv´o . isˆo ´ ph´u . c z 1 def. l`a c´ach viˆe ´ tt˘a ´ tcu ’ at`u . tiˆe ´ ng Anh definition (d i . nh ngh˜ıa) 8Chu . o . ng 1. Sˆo ´ ph´u . c 1.2 Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c Mo . isˆo ´ ph´u . c z =(a; b) ∈ C d ˆe ` u c´o thˆe ’ viˆe ´ tdu . ´o . ida . ng z = a + ib. (1.1) Thˆa . tvˆa . y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a,0) + (0,1)(b, 0) = a + ib Biˆe ’ uth´u . c (1.1) go . i l`a da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c z =(a, b). T`u . (1.1) v`a d i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . p ta c´o z = a − ib. Du . ´o . ida . ng d a . isˆo ´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cd u . o . . c thu . . c hiˆe . n theo c´ac quy t˘a ´ c sau. Gia ’ su . ’ z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 . Khi d´o (I) Ph´ep cˆo . ng: z 1 ± z 2 =(a 1 ± a 2 )+i(b 1 ±b 2 ). (I I) Ph´ep nhˆan: z 1 z 2 =(a 1 a 2 − b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ). (I II) Ph´ep chia: z 2 z 1 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 1 + b 2 1 + i a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 1 + b 2 1 · C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. 1 + T´ınh i n .T`u . d ´och´u . ng minh r˘a ` ng a) i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 =0; b) i ·i 2 ···i 99 · i 100 = −1. 2 + T`ım sˆo ´ nguyˆen n nˆe ´ u: a) (1 + i) n =(1− i) n ; b)  1+i √ 2  n +  1 − i √ 2  n =0. Gia ’ i. 1 + Ta c´o i 0 =1,i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 =1,i 5 = i v`a gi´a tri . l˜uy th`u . ab˘a ´ td ˆa ` ul˘a . pla . i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia ’ su . ’ n ∈ Z v`a n =4k + r, r ∈ Z,0 r  3. Khi d ´o i n = i 4k+r = i 4k · i r =(i 4 ) k i r = i r 1.2. Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 9 (v`ı i 4 = i). T`u . d ´o, theo kˆe ´ t qua ’ trˆen ta c´o i n =              1nˆe ´ u n =4k, i nˆe ´ u n =4k +1, −1nˆe ´ u n =4k +2, −i nˆe ´ u n =4k +3. (1.2) T`u . (1.2) dˆe ˜ d`ang suy ra a) v`a b). 2 + a) T`u . hˆe . th ´u . c(1+i) n =(1− i) n suy ra  1+i 1 −i  n =1. Nhu . ng 1+i 1 −i = i nˆen  1+i 1 − i  n = i n =1⇒ n =4k, k ∈ Z. b) T`u . d ˘a ’ ng th ´u . c  1+i √ 2  n +  1 −i √ 2  n = 0 suy r˘a ` ng  1+i 1 −i  n = −1 v`a do d ´o i n = −1 ⇒ n =4k +2,k ∈ Z.  V´ı du . 2. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u n l`a bˆo . icu ’ a3th`ı  −1+i √ 3 2  n +  −1 − i √ 3 2  n =2 v`a nˆe ´ u n khˆong chia hˆe ´ t cho 3 th`ı  −1+i √ 3 2  n +  −1 − i √ 3 2  n = −1. Gia ’ i. 1 + Nˆe ´ u n =3m th`ı S =  −1+i √ 3 2  3  m +  −1 −i √ 3 2  3  m =  −1+3i √ 3+9− 3i √ 3 8  m +  −1 − 3i √ 3+9+3i √ 3 8  m =1 m +1 m =2.