Đang tải... (xem toàn văn)
các thuật toán về ma trận và hệ phương trình
PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 4 Chng 2: B TÚC CÁC THUT TOÁN V MA TRN & H PHNG TRÌNH. Trong k thut ít khi ta tìm đc nghim chính xác ca các bài toàn di dng mt biu thc gii tích. gii quyt khó khn này, phng pháp tính (PP tính, hay toán hc tính toán) cho ta các PP gn đúng, tìm nghim ca phng trình, h phng trình đi s, ca phng trình, h phng trình vi phân; cách tính gn đúng các đo hàm, vi phân, xp x các hàm phc tp hay hàm cho di dng bng s bng các hàm đn gin 1. Khái nim v các dng ma trn: 1.1. Khái nim: Trong vòng na th k nay, lý thuyt ma trn đã đc ng dng vào các ngành khoa hc nh toán, lý, c hc v.v Dng ma trn có u đim là giúp cho vic trình bày thut toán đc ngn gn, đn gin. ng thi, do mi quan h cht ch gia các đi lng liên quan, cung cp đc nhng thông tin đy đ v nhng điu cn bit trong lp lun tính toán và thc hành thit k. Mt khác, lý thuyt ma trn rt thun tin cho vic lp trình đ thc hin quá trình t đng tính toán, thit k trên máy tính đin t. Ma trn đc s dng rng rãi trong PP s vì: 1.Kí hiu ma trn là 1 trong nhng kí hiu cô đng và rõ ràng trong din toán. 2.Cho phép t chc 1 cách có h thng các s liu, rt phù hp vi tính toán trên MTT. 3.Có th nhn dng, vn dng, điu khin và phân tích nhng mng s liu bng nhng h thc toán hc cht ch và chính xác. Trong thc t ta thng gp 1 h n phng trinh đi s tuyn tính vi n n s, ví d: 20 32 24 12 123 23 xx xxx xx −= −+ − = −+ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ; Nu gp các h s, các n s và các s hng t do vào các mng, ta có th vit li di dng ma trn sau: 210 13 1 012 − −− − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x x x 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = 0 2 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ; Hoc cô đng hn: [A] {x} = {b} hay A x ⎯→⎯ = b ⎯→⎯ ; Tng quát: ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b nn nn mm mnnm 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 +++= +++= +++= ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ [A] {x} = {b}; Trong c hc kt cu, ta đã bit rng gia các thành phn ni lc và các thành phn chuyn v ca mt phn t thanh trong h phng có mi quan h nh sau: PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 5 ;. . i i ii i u L AE N = ;. . . . . .12 2 2 1 23 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE Q θθ −−= ;. .2 . .4 . .6 21 2 1 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE M θθ ++−= ;. .4 . .2 . .6 21 2 2 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE M θθ ++−= Trong đó: N i - lc dc trong phn t i; Q i - lc ct trong phn t i; M 1i - mô men un ti đu 1 ca phn t; M 2i - mô men un ti đu 2; u i - bin dng dc trc ca phn t i; v i - chuyn v thng tng đi (theo phng vuông góc vi trc thanh) gia 2 đu ca phn t; θ 1i - góc xoay ti đu 1 ca phn t; θ 2i - góc xoay ti đu 2; t ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = i i i i i M M Q N S 2 1 gi là vec t ni lc ca phn t; ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = i i i i i v u U 2 1 θ θ gi là vec t chuyn v ca phn t; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L AE k .4.2.6 .2.4.6 0 .6.6.12 0 000 . 2 2 223 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = iii iii iii i efd fed ddb a 0 0 000 gi là ma trn đ cng ca phn t; Các h thc trên có th vit li di dng ma trn: S i = k i .U i ; Mt s bài toán có th đa v đi s ma trn: -Phân tích trng thái ng sut-bin dng trong kt cu, vt th; -Phân b dòng chy trong h thng thy lc phc tp; -Xác đnh biên đ dao đng trong các h c hc; -Phân b dòng đin trong mng phc tp; -Các bài toán trng (nhit, thm ); -Các bài toán v sóng và chuyn đng sóng; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 6 -Các bài toán không dng khác; -Các bài toán v ti u hóa; -Các bài toán phân tích thng kê v kinh t, xã hi 1.2. nh ngha: Ma trn là mt mng các s hoc ký hiu đc sp xp th t theo m hàng và n ct. Ta có các kí hiu khác nhau: A ≡ [A] ≡ [a ij ] ≡ aa a a aa a a aa a a aa a a jn jn i i ij in mm mj mn 11 12 1 1 21 22 2 1 12 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ; Phn t a ij nm trên hàng th i và ct th j. Tng quát, MT có m hàng và n ct (mng ch nht). Kích thc (c) ca MT là mxn. 1.3. Các loi Ma trn c bn: 1.3.1. Ma trn hàng: Ma trn ch có 1 hàng, c 1xn (m=1) Kí hiu: B ≡ [B] ≡ [b 1j ] ≡ [b 1 b 2 b n ]. Còn gi là vect hàng. 1.3.2. Ma trn ct: Ma trn ch có 1 ct, c mx1 (n=1) Kí hiu: c ⎯→⎯ ≡ [c] ≡ [c i1 ] T ≡ [c 1 c 2 c m ] T ≡ c c c m 1 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ; Còn gi là vect ct hay vect. 1.3.3. Ma trn vuông: Ma trn có s hàng và s ct bng nhau (m=n). Cp ca ma trn vuông là s hàng (ct) Tính toán đnh thc và nghch đo ch tin hành đc trên ma trn vuông. 1.3.4. Ma trn đng chéo: Ma trn vuông có các s hng bng 0 tr các s hng trên đng chéo chính. PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 7 Kí hiu: ⎡D⎦ ≡ ⎡d 11 d 22 d nn ⎦ ≡ ⎡d ii ⎦ tit kim ô nh, khi lu tr trong MTT ta dùng mng 1 chiu D(I) = d ii 1.3.5. Ma trn vô hng: Ma trn chéo nhng các s hng khác 0 đu bng nhau Kí hiu: ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a a ⎦ vi a ij = akhii j khi i j = ⎧ ⎨ ⎩ 0# S vô hng là mt ma trn cp 1 (ch có 1 phn t). 1.3.6. Ma trn đn v: Ma trn chéo có mi s hng trên đng chéo chính bng 1. Kí hiu: [ I ] n ≡ ⎡ 1 1 1 ⎦ vi i ij = 1 0 khi i j khi i j = ⎧ ⎨ ⎩ # C ca ma trn đn v thng không cn bit. 1.3.7. Ma trn rng: Ma trn có mi s hng đu bng 0. Kí hiu: [ 0 ] n Tng t ta có vect không {0}. 1.3.8. Ma trn đi xng: Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr bng nhau. a ij = a ji Ma trn đi xng rt hay gp trong các bài toán k thut. tit kim ô nh thng ch cn lu tr mt na ma trn theo đng chéo chính. 1.3.9. Ma trn phn xng: Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr đi nhau. a ij = - a ji Tt nhiên, các s hng trên đng chéo chính đu bng 0. 1.3.10. Ma trn tam giác: Có 2 loi: Ma trn tam giác trên (phi): Các s hng bên di (trái) đng chéo chính đu bng 0, Kí hiu: U (upper) Ma trn tam giác di (trái): Các s hng bên trên (phi) đng chéo chính đu bng 0, Kí hiu: L (lower) PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 8 i xng =0 Na dãi n 0 phn t 1.3.11. Ma trn vt (bng, dãi): Vi k đng chéo, các phn t không nm trên đng chéo chính và mt s đng chéo đu bng 0, tr các phn t khác nm trên bng (có trc là đng chéo chính) có b rng là k. Trong các bài toán c hc ta thng gp các loi ma trn bng đi xng. Khi đó ta có điu kin: a ij = 0 vi j > i + n 0 . Trong đó chiu rng ca bng s là k=2n 0 +1 (n 0 là s đng chéo có phn t ≠ 0 mt bên đng chéo chính. Khi n 0 = 0 ⇒ ma trn chéo) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x xx xx xxx xxx xxx xxx xxx ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x xx xx xxx xxxx xxxx xxxx xxxx tit kim b nh trên máy tính, các phn t ca ma trn đc lu tr trong mt ma trn ch nht: s hàng bng s hàng ca ma trn gc, s ct là n 0 +1. Cùng mt phn t nm trong 2 ma trn s có chung ch s hàng, còn ch s ct có quan h nh sau: j’ = j - i + 1; Trong đó: j’ là ch s ct trong ma trn ch nht, j là ch s ct trong ma trn vuông. 2. Các phép tính vi ma trn: 2.1. Phép chuyn trí: [A]T [A] T là ma trn chuyn trí ca [A] nu hàng ca [A] T là ct ca [A] và ngc li. Ta có a T ij = a ji Ví d: Cho [A] = abc def ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ s có [A] T = ad be cf ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; Nu [A] có c mxn thì [A] T có c là nxm; MT chuyn trí ca MT đi xng là chính nó: A T = A; o li nu có A T = A thì A là MT đi xng. Chuyn trí ca MT phn xng là MT đi: A T = -A; Chuyn trí ca MT chia khi là MT chuyn trí ca các MT con đã chuyn trí: [A] = AAA AAA 11 12 13 21 22 23 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇒ [A] T = AA AA AA TT TT TT 11 21 12 22 13 23 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; 0 n 0 phn t PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 9 [A T ] T = A; 2.2. Phép cng, tr: [A] ± [B] iu kin: Các ma trn phi có cùng kích thc (m x n) Tng (hiu) ca ma trn [A] và [B] là ma trn [C] có các s hng: c ij = a ij + b ij Ví d: 231 012− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ± 112 240 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ++ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − −− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 34 3 232 12 1 252 () () tong hieu Phép cng và tr có tính cht giao hoán và kt hp: [A] ± [B] = ± [B] + [A]. [A] + [B] ± [C] = ([A] + [B]) ± [C]. ([A] ± [B]) T = [A] T ± [B] T . Cng (tr) hai ma trn c (m x n) nói chung phi thc hin m x n phép tính. Nu là ma trn đc bit (đi xng, bng) s phép tính có th gim. 2.3. Phép phân tích ma trn tha s: Mi [A] đu có th phân tích đc thành tng ca, hoc: +Hai ma trn: mt ma trn đi xng, mt ma trn phn xng. Cho ma trn [A], nu ký hiu: B 1 = 1 2 (A + A T ) (ma trn đi xng) B 2 = 1 2 (A - A T ) (ma trn phn xng) S có A = B 1 + B 2 ; Ví d: 15 27 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 135 35 7 . . ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + 015 15 0 . . − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ; +Ba ma trn: mt ma trn đng chéo, hai ma trn tam giác (trên và di). A = D + L + U Nu A đi xng thì L T = U, ta có A = D + L + L T 2.4. Phép nhân ma trn vi 1 vô hng λ : Tích ca [A] vi vô hng λ là 1 ma trn [C] vi các phn t đã đc nhân vi λ: c ij = λa ij . Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ Khi nhân vi (-1) ta đc ma trn đi du so vi ma trn xut phát: (-1)[A] = [-A]. Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phi và tính kt hp: λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 10 2.5. Phép nhân hai ma trn: [A].[B] iu kin: Hai ma trn phi tng thích, ngha là s ct ca ma trn đng tróc phi bng s hàng ca ma trn đng sau. Kí hiu:[C] mxp = [A] mxn .[B] nxp Qui tc: mun có s hng tng quát c ij phi nhân ln lt các s hng ca hàng th i ca [A] vi các s hng thuc ct th j ca [B] ri cng li: c ij = ab ir rj r n . = ∑ 1 (i= 1÷ m; j= 1÷ p) Ví d: 123 456 789 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ax by cz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = abcx yz abc x y z abcxy z ++ ++ ++ ++ ++ ++ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 23 23 456456 789789 ; S phép tính là m x n x p, tuy nhiên có th rút bt nu không thc hin vi các s hng rng, ví d vi ma trn bng đi xng: 2100 210 21 1 − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 4 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ = ()() ( )() ( )() ()() ( )() ( )() ()() ( )() ()()()() 24 11 14 21 12 11 2 2 13 12 13 +− −+ +− −+ +− −+ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ = 7 4 0 1 − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ; đây ch thc hin 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính. Tính cht ca phép nhân: 2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán: Nói chung A B # B A Vì: -A có th tng thích vi B, nhng B có th không tng thích vi A. -Nu c A và B ln B và A đu tng thích nhng kích thc 2 tích có th khác nhau, ví d: 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ [] 34 = 34 68 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ # [ ] 34 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = 11; -Nu c 2 tích cùng kích thc cng có th khác nhau, ví d: 01 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ A 11 01 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ B = 01 11 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ C # 11 01 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ B 01 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ A = 11 10 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ C ; Vy bn cn phân bit th t các ma trn trong phép nhân. Trng hp hoán v đc khi: +Nhân MT vô hng vi MT vuông cùng cp: ⎡ λ ⎦ [A] = [A] ⎡ λ ⎦ = [λA] ≡ λλ λ λλ λ aa a aa a n nn nn nxn 11 12 1 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 11 +c bit vi MT đn v và MT rng: [ I ] [ A ] = [ A ] [ I ] = [ A ] ; [ 0 ] [ A ] = [ A ] [ 0 ] = [ 0 ] +Nhân 2 MT chéo cùng cp: ⎡ a ii ⎦ ⎡ b ii ⎦ = ⎡ a ii b ii ⎦ = ab ab ab nn nn 11 11 22 22 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ b ii ⎦ ⎡ a ii ⎦ ; 2.5.2. Tính kt hp và tính phân phi: Có th áp dng cho phép nhân nhng phi chú ý th t MT. -Kt hp: A B C = (A B) C = (A) (B C). -Phân phi: A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C. (tn b nh hn v 1) α(A B) = α(A) B = A (αB). 2.5.3. Tính cht ca MT tích chuyn trí: (A B) T = B T A T ; (A B C) T = C T B T A T ; (A B C P Q) T = Q T P T C T B T A T ; (A A T ) T = (A T ) T (A T ) = A A T . (Vy A A T luôn đi xng) Nu A đi xng: (B T A B) T = B T A T B = B T A B. (Vy B T A B cng đi xng) Chú ý: Trong phép nhân MT tích có th bng 0, nhng cha chc 2 MT thành phn là MT rng [0]. Nhng ngc li, nu 1 trong 2 MT thành phn (A hoc B) là rng thì chc chn MT tích (AB hoc BA) là rng. Nói chung, không th gim c MT mt cách đn gin nh các s thng vì không có phép chia MT (AB = CB nhng cha chc A = C, ngc li thì đúng!). 2.6. Phép nghch đo ma trn: [A]-1 iu kin: 1. Ma trn vuông; 2. Không suy bin (det A # 0) nh ngha: Nghch đo ca MT vuông [A] là MT [A] -1 cùng kích thc vi [A] và tha mãn đng thc: [A] [A] -1 = [A] -1 [A] = [ I ]. Tính cht: 1. Nu A kh nghch thì A -1 tn ti duy nht; Thc vy, nu X là mt ma trn mà: X.A = I ⇒ X.A.A -1 = I.A -1 = A -1 ⇒ X.I = A -1 Tc là X = A -1 . 2. (A B) -1 = B -1 A -1 ; (A B M N) -1 = N -1 M -1 B -1 A -1 ; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 12 Gi s X = A B ⇒ X -1 X = X -1 A B ⇒ I = X -1 A B ⇒ I B -1 = X -1 A B B -1 ⇒ B -1 = X -1 A. ⇒ B -1 A -1 = X -1 A A -1 ⇒ B -1 A -1 = X -1 . Vy B -1 A -1 = (A B) -1 . Vi k là 1 vô hng thì: (kA) -1 = A k − 1 ; 3. (A -1 ) -1 = A; D thy: A -1 (A -1 ) -1 = I ⇒ A A -1 (A -1 ) -1 = A I ⇒ I (A -1 ) -1 = A ⇒ (A -1 ) -1 = A. 4. (A T ) -1 = (A -1 ) T ; Ta có: (A -1 ) T A T = (A A -1 ) T = I T = I; Vy (A -1 ) T là nghch đo ca A T hay (A T ) -1 = (A -1 ) T ; 5. Nu A đi xng, A -1 cng đi xng. Ta có: (A T ) -1 = (A -1 ) T . Nu A là ma trn đi xng thì A -1 = (A T ) -1 = (A -1 ) T . Vy A -1 là ma trn đi xng. 6. Vi MT chéo gi: ⎡A 11 A 22 . . .A nn ⎦ -1 = ⎡A -1 11 A -1 22 . . . A -1 nn ⎦ . Các phng pháp nghch đo 1 MT vuông: 1. Gii h n phng trình n n s: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A] -1 2. Gii bng MT liên hp A ~ vi phn ph S A ij . 3. Phng pháp Gauss (PP kh dn h s) 4. Phng pháp Jordan (Joocđng) 5. Phng pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác) 6. Phng pháp vin quanh (đo MT tam giác) 7. Phng pháp lp khác Thut toán và chng trình xác đnh MT đo theo PP kh Gauss: Bc 1: Cho MT A, lp MT đn v E (ta có A A -1 = E) Bc 2: Tin hành quá trình kh Gauss đi vi MT A, đng thi thc hin các thao tác tng t vi MT E. Kt qu nhn đc MT đo A -1 t MT E. (Thut toán kh Gauss xem phn gii h phng trình đi s tuyn tính) PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 13 2.7. Ma trn bin đi to đ: Trong các bài toán c hc, ta thng có nhu cu xác đnh các đc trng c hc ca các phn t hoc ca h kt cu (ni lc, ti trng, chuyn v ) trong các h to đ khác nhau cng nh bin đi to đ ca chúng t h to đ này sang mt h to đ khác. Gi s có vect A và 2 h to đ 3 chiu: h to đ chun (chung, toàn cc) X G ,Y G ,Z G và h to đ cc b (riêng) x L ,y L ,z L . To đ ca vect A trên h X G ,Y G ,Z G là A xG , A yG , A zG , và trên h x L ,y L ,z L là A xL , A yL , A zL . nh ngha côsin đnh hng gia 2 h to nh sau: () () ( ) () () () () () () )1.23( ;,cos;,cos;,cos ;,cos;,cos;,cos ;,cos;,cos;,cos 333231 232221 131211 − === === = == GLGLGL GLGLGL GLGLGL ZZYZXZ ZYYYXY ZXYXXX λλλ λλλ λ λ λ Ta có công thc chuyn trc to đ nh sau: )2.23( ; ; ; 333231 232221 131211 − ++= ++= ++= zGyGxGzL zGyGxGyL zGyGxGxL AAAA AAAA AAAA λλλ λλλ λ λ λ Hay h thc ma trn gia A xL , A yL , A zL và A xG , A yG , A zG nh sau: )3.23(;. 333231 232221 131211 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zG yG xG zL yL xL A A A A A A λλλ λλλ λλλ hay A L = T.A G ; (3-2.3a) Tng t ta có h thc ma trn gia A xG , A yG , A zG và A xL , A yL , A zL : )4.23(;. 332313 322212 312111 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zL yL xL zG yG xG A A A A A A λλλ λλλ λλλ hay A G = T T .A L ; (3-2.4a) Ma trn T gi là ma trn bin đi to đ gia 2 h to đ x L ,y L ,z L và X G ,Y G ,Z G . Th (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: A G = T T . T.A G ; ⇒ T T . T = I ; Ngha là T T là nghch đo ca T. Hay T T = T -1 ; Ta gi T là ma trn trc giao. A X G Y G Z G A xG A yG A zG x L y L z L A yL A zL A xL [...]... ng trình vi phân th NG PHÁP S - Ch ng trình ng 3 o hàm riêng ng: u: R t nhi u các bài toán trong k thu t d n n vi c gi i các ph ng trình vi phân Tuy nhiên ch có m t s ph ng trình vi phân có l i gi i chính xác Vì v y, các ph ng pháp gi i g n úng ph ng trình vi phân có ý ngh a trong vi c gi i quy t các bài toán th c t Các bài toán v ph ng trình vi phân th ng g p v i 2 d ng: Bài toán Côsi và bài toán. .. s tìm nghi m c a bài toán t i các i m nút này - B c hai: sai phân hóa ph ng trình o hàm riêng Thay các o hàm riêng c a hàm c n tìm b ng các t sai phân.Nh v y ta ã chuy n ph ng trình o hàm riêng thành m t h các ph ng trình i s - B c ba: sai phân hóa các i u ki n biên.Thay các i u ki n biên b ng các ph có ch a giá tr c a hàm t i các nút trên biên hay g n biên T p h p các ph ng trình biên c g i là m... tri n và áp d ng r ng rãi MT T ã làm thay i sâu s c trong cách xem xét và s d ng các PP tính k t c u T ch vi c tính toán k t c u c th c hi n b ng các công c thô s , trong ó m i bài toán c xem xét nh m t tr ng h p riêng r theo c tính c a nó và gi i theo các ph ng pháp thích h p, ng i ta chuy n sang s d ng MT T, trong ó bao g m vi c ch n thu t toán t ng quát, l p các ch ng trình mang tính t ng hóa và h... ng các bài toán có chung m t s tính ch t ch y u Nh v y òi h i ph i xây d ng gi n và cô n c các PP tính t ng quát v i các công th c c trình bày n g Các công th c này c bi u di n b ng các ngôn ng phù h p v i MT T, mà ngôn ng ma tr n là m t trong nh ng công c di n t lý t ng nh t M t khác, h u h t các MT T hi n nay là máy tính s , ch phân tích các i l ng d i d ng s Do ó các PP tính s c n c nghiên c u và. .. Tám ph ng trình ng (tu theo bài toán t nh hay ng) bi u i v i bài toán ph ng: a Ba ph ng trình liên h gi a bi n d ng và chuy n v b Ba ph ng trình liên h gi a c Hai ph ng su t và bi n d ng ng trình cân b ng ho c chuy n 2.1 Các ph ng ng trình chuy n v - bi n d ng: 2.1.1 Bài toán không gian: Trong h tr c x,y,z chuy n v c a m t i m b t k ux = ux(x,y,z); Bi n d ng t xx = uy = uy(x,y,z); i theo các tr c ux... a11 a14 (1) 23 ( 2) 33 (1 a24) (2 a34 ) 0 (3 a44) ng trình 0 0 a 0 0 a a i s tuy n tính có ma tr n h s là ma tr n T ng quát: nh v y sau khi th c hi n n-1 vòng tính nh trên các s h ng t do B, ta có c h ph ng trình: Khoa XD DD&CN-BK N a13 (1) 22 0 Và sau vòng th ba: H ph ng trình (3-3.1) tr thành h ph tam giác a12 c ma tr n h i v i ma tr n h s A và ma tr n 14 PH a11 a12 a1 n a1 n x1 x2 ( b21) (1) 22... ng: Bài toán Côsi và bài toán biên Khi phân tích các k t c u xây d ng, ph n nhi u các yêu c u tính toán có th gi i v i d ng bài toán biên, vì v y trong ph n này s xét PP gi i g n úng cho bài toán biên 3.1.2 Bài toán biên: Bài toán biên là d ng bài toán ph h n m t i m Ví d bài toán biên i v i ph ng trình vi phân, v i i u ki n b sung c cho t i nhi u ng trình vi phân tuy n tính c p 2 có d ng: Tìm hàm y... tính toán k t c u, ng i ta dùng PP tính d n n vi c mô t các nghi m c a bài toán theo m t t p h p s , th ng c g i là “PP r i r c hóa” Thu t ng này v th c ch t c ng có th hi u nh thu t ng “PP s “ Các PP r i r c hóa có th chia làm 2 nhóm chính: 1.1 Các PP r i r c toán h c: Trong ó các nghi m chính mô t các hàm t ng ng c thay th b ng các nghi m g n úng c bi u di n qua các hàm x p x ch a m t s h u h n các. .. các m i liên h gi a các i l ng c n xét i v i m t v t th àn h i là: chuy n v -bi n d ng, bi n d ng- ng su t, ng su t-t i tr ng Các quan h ó c mô t b ng 15 ph ng trình vi phân o hàm riêng v i bài toán không gian: a Sáu ph ng trình bi u th s liên h gi a bi n d ng và chuy n v , b Sáu ph ng trình bi u th s liên h gi a ng su t và bi n d ng, c Ba ph ng trình cân b ng ho c chuy n th s liên h gi a ng su t và. .. chính và nh ng dòng ã ch a ph n t chính các b c tr c không tham gia vào vi c ch n ph n t chính trong các b c ti p theo thì ta s a h ph ng trình ã cho v h t ng ng v i MT h s d ng ng chéo K t qu là ta có th xác nh giá tr c a các n s t t ng ph ( 0) x1 b1( n b2 ( n x2 x3 b3( n ng trình c a h t ng ng 1) 1) ( 0) xn bn ( n 1) ; 1) Ta có th cùng m t lúc th c hi n các phép tính bi n i trên ma tr n A và ma tr . toán hc tính toán) cho ta các PP gn đúng, tìm nghim ca phng trình, h phng trình đi s, ca phng trình, h phng trình vi phân; cách tính gn đúng các đo hàm, vi phân, xp x các. bng các hàm đn gin 1. Khái nim v các dng ma trn: 1.1. Khái nim: Trong vòng na th k nay, lý thuyt ma trn đã đc ng dng vào các ngành khoa hc nh toán, lý, c hc v.v Dng ma. DD&CN-BKN 6 -Các bài toán không dng khác; -Các bài toán v ti u hóa; -Các bài toán phân tích thng kê v kinh t, xã hi 1.2. nh ngha: Ma trn là mt mng các s hoc ký hiu