Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức bổ trợ 1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục: Định lý: Nếu hàm số () f x liên tục trên đoạn   ;ab và ().() 0fa fb  thì tồn tại ít nhất một điểm   ;cab sao cho () 0fc 2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu: Định lý: Cho hàm số ()yfx có đạo hàm trong khoảng (a;b) a) Nếu '( ) 0fx với mọi  ; x ab thì hàm số ()yfx  đồng biến trên khoảng đó b) Nếu '( ) 0fx với mọi  ; x ab thì hàm số () y fx  nghịch biến trên khoảng đó 2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình: Định lý: Nếu hàm số  yfx đồng biến trên   a;b và   ygx làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên   a;b thì phương trình    fx gx có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng   a;b Dựa vào tính chất trên ta suy ra: Nếu có  0 xa;b sao cho   00 fx gx thì phương trình     fx gx có nghiệm duy nhất trên   a;b 3) Nguyên lý kẹp: Cho ba dãy số   ,, nn n uvw sao cho: 00 ,, lim lim lim nn n n n nn nn nnnnuvw va uwa                  4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass) 1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5) Định lý LAGRANGE: Nếu () f x là hàm số liên tục trên đoạn   ;ab , có đạo hàm trong khoảng   ;ab thì tồn tại   ;cab sao cho () () '( ) f bfa fc ba    hay ( ) ( ) '( )( ) f bfa fcba   2 B. Các bài toán. Bài toán 1. Xét phương trình 22 11 1 11 14 1 1 12xx kx nx       trong đó n là số nguyên dương. 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   1;   và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Chứng minh rằng lim 4 n n x   Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất. + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn. Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   1;    Xét phương trình 22 11 1 11 14 1 1 12xx kx nx       với   1;x   (1)  Biến đổi 22 11 1 1 1 (1) ( ) 0 2141 1 1 n fx xx kx nx       (2)  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f x trên   1;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên  1;  Do     22 ' 22 2 2 2 14 ( ) 0, 1; 1 141 1 n kn fx x nx xx kx                  nên ( ) n f x nghịch biến trên  1;x  . (3)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   Do ( ) n f x liên tục trên  1;  và 1 lim ( ) 1 lim ( ) 2 n x n x fx fx             nên tồn tại   0 1;x   sao cho 0 ()0 n fx  (4)  Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  1;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Chứng minh rằng lim 4 n n x    So sánh ( ) nn f x và (4) n f , ta có     22 22 2 11 1 1 1 (4) 22141 21 21 111111 11 1111 1 1 ( Do ) 233521212121 22121 21 1 0 22 1 n f kn kk nn kk k n                        3 Do ( ) 0 nn fx nên ( ) (4) nn n fx f .  Do ( ) n f x nghịch biến trên  1;  và ( ) (4) nn n fx f nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra 4 n x   Lại tiếp tục đánh giá n x . Áp dụng định lý Lagrange cho ( ) nn f x trên   ;4 n x , ta suy ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại  ;4 nn cx sao cho   '' 1 4 ( ) ( )(4 ) ( ) 22 1 4 nn nn n nn n ffxfcxfc nx      Mặt khác    22 ' 22 2 2 2 14 1 ( ) 9 1 141 1 nn n nn n kn fc nc cc kc               (Do   2 2 11 14019 9 1 nn n n xc c c       ) nên   11 9 4 22 1 4 9 22 1 n n x nx n         Tóm lại ta luôn có:  9 44 22 1 n x n   với mỗi số nguyên dương n (5)  Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim 4 n n x   .  Bài toán 2. Xét phương trình 22 11 1 1 1 0 214xx x x k xn        trong đó n là số nguyên dương. 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1 và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1  Xét phương trình 22 11 1 1 1 0 214xx x x k xn        với   0;1x  (1) Đặt 22 11 1 1 1 ( ) 214 n fx x xx xk xn         Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f x trên   0;1 Do      ' 22 2 2 22 21 1 1 ( ) 0, 0;1 21 n fx x xx xk xn                nên ( ) n f x nghịch biến trên  0;1 . (2) 4  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;1 Do ( ) n f x liên tục trên  0;1 và 0 1 lim ( ) lim ( ) n x n x fx fx              nên tồn tại   0 0;1x  sao cho 0 ()0 n fx  (3)  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1 .  2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x   Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của   n x Với mỗi số nguyên dương n ta có:    1 22 22 1 2 11 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 214 11 1 ( ) 0 (do 0 1) 1 nn nn nn n n n nn nn n n fx fx xx x xk xn xn xn fx x xn                   Mặt khác 1 0 lim ( ) n x fx      và 1 () n f x  nghịch biến trên   0; n x nên suy ra phương trình 1 () 0 n fx   có duy nhất nghiệm trên  0; n x , gọi nghiệm duy nhất này là 1n x  . Do    0; 0;1 n x  nên 1 0 nn x x     Dãy  n x là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x  .  Bài toán 3. Xét phương trình 2 10 n xxx trong đó n là số nguyên dương và 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;    Xét phương trình 2 10 n xxx với   1;x   Đặt  2 1 n f xxxx  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) f x trên   0;   Do 1 '( ) 2 1 n f xnx x   nên ( ) n f x nghịch biến trên  1;x . (3)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   Do ( ) n f x liên tục trên  1;  và 1 lim ( ) 1 lim ( ) 2 n x n x fx fx             nên tồn tại   0 1;x   sao cho 0 ()0 n fx  (4) 5  Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  1;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Chứng minh rằng lim 1 n n x    Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên : 22 10 1 n n nnn n nn xxx x xx      Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:   2 2 22 sô 1 1 sô 1 1 1 1 1 1 .1.1 1 nn nnn n n nnn nn n xx x xn xxx xx nn           (5) (Trong (5) không có dấu bằng bởi vì 1 n x  nên 2 11 nn xx   )  Kết hợp với 2 n x  , với mọi 1, 2 n  ta được: 2 6 nn xx   (6)  Từ (5) và (6) suy ra: 6 11 n x n   Do 6 lim 1 1 n n      và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1 n n x   Bài toán 4. Xét phương trình 21 1 n x x   trong đó n là số nguyên dương . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất  Xét phương trình 21 1 n x x   với x   (1) Ta có:   21 2 111 nn xx xx     (2) + Với 1x  thì 2 1 n x  nên (2) 0VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   ;1   + Với 01 x  thì 2 1 n x  nên (2) 0VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   0;1 + Với 10x  thì 21 01 n x x   nên (2) 1VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   1; 0 Suy ra: (2) vô nghiệm trên  ;1 nên (1) vô nghiệm trên   ;1   (3)  Khảo sát tính đơn điệu của  21 1 n f xx x   trên   1;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên   1;  Ta lại có:     2 '( ) 2 1 1 0, 1; n fx n x x   nên ( ) f x đồng biến trên   1;x  . (4)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   6 Do ( ) f x liên tục trên   1;  và 21 (1) 1 0 (2) 2 3 0, 1,2, n f fn        nên tồn tại  0 1;x  sao cho 0 ()0fx  (5)  Từ (3), (4), (5) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm .  2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là x n . Tìm lim n n x   Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên : 1 n x  và 21 21 11 n n nn n n xx x x        Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:       2n sô 1 21 2 sô 1 1 111 1 21 1 .1.1 1 21 21 21 21 21 2 n n n nn n n n n x xn xx nn xn x n n x n                    Kết hợp với 1 n x  , với mọi 1,2 n  ta được: 21 1 2 n n x n    Do 21 lim 1 2 n n n    và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1 n n x    Vậy lim 1 n n x   Bài toán 5. Xét phương trình 1 1 0 nn xx x   trong đó n là số nguyên dương và 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  . Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất  Xét phương trình: 1 1 0 nn xx x   (1)  Khảo sát tính đơn điệu của 1 ( ) 1 nn n f xxx x    trên   0;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên   0;  Do  '1 2 ( ) 1 1 0 nn n fx nx n x    với mọi   0;x   và 2n   nên ( ) n f x là hàm số đồng biến trên   0;   (2)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;   Do ( ) n f x liên tục trên   0;  và (0) 1 0 (1) 1 0 n n f fn        nên tồn tại   0 0;x   sao cho 0 ()0 n fx  (3) 7  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Tìm lim n n x   Do n x là nghiệm của phương trình (1) nên: 0 n x  và 2 1 n nn n xx x    (4)  Vì 0 n x  nên từ (4) suy ra ( n x ) là dãy giảm , mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x a   (5)  Ta lại có: 2 1 1 1 n n n nn n n n x xx x x x    và lim 0 n n n x   nên kết hợp với (4), (5) suy ra 11 1 12 aa a     Vậy 1 lim 2 n n x   Bài toán 6. Xét phương trình n x xn trong đó n là số nguyên dương 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất  Xét phương trình: n x xn   (1)  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f xxxn trên   1;    Do '1 () 1 0 n n fx nx   với mọi   1;x   nên ( ) n f x là hàm số đồng biến trên   1;   (2)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;   Do ( ) n f x liên tục trên   0;  và (1) 0 (1) 2 0 n n n fn fnn          nên tồn tại   0 0;x   sao cho 0 ()0 n fx  (3)  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Tìm lim n n x   Do n x là nghiệm của phương trình (1) nên 11 2 n n n nn n n x xxxnn   Vì lim 2 1 n n n   , theo nguyên lý kẹp ta được lim 1 n n x    Vậy lim 1 n n x   8 Bi toỏn 7. Cho số thực a > 2. Đặt 10 10 () 1 nn n f xax x x (n = 1,2, ). Chứng minh rằng với mỗi n phơng trình () n f xa có đúng một nghiệm (0; ) n x . Chứng minh dãy số () n x có giới hạn hữu hạn khi n . Li gii Với mỗi n, đặt () () nn gx fx a; khi đó () n gx l hm liên tục, tăng trên [0;+). Ta có (0) 1 n ga <0; 10 (1) 1 0 n gana nên () 0 n gx có nghiệm duy nhất n x trên (0;+ ). Để chứng minh tồn tại giới hạn lim n n x , ta chứng minh dãy n x tăng v bị chặn. Ta có 1 10 10 1 11 11 11 1 n n n a ga a aa a = 19 1 99 11 1 1111(1)10 nn aa a a aa a . Suy ra n x < 1 1 a n . Mặt khác, từ 10 10 ( ) 1 0 nn nn n n gx ax x a , suy ra 10 11 1 () 0 nn nn n n n n n xg x a x x x ax => 1 () ()1 1 0 nn nnn n n gx xgx axaax a do 1 1 n x a . Do 1n g l hm tăng v 11 1 0()() nn nn gx gx nên 1 . nn x x Vậy dãy n x tăng v bị chặn nên tồn tại lim n n x . Chú ý: Có thể chứng minh 1 lim 1 n n x a bằng cách đánh giá 1 9 111 1(1)11 1 n n aa x aaa . Thật vậy, ta có 10 2 10 10 10 11 1 1 1 1 1 1 nn nn nn n n aax x x a x aa a . Suy ra 10 2 1 10 111 111 1 nn n aa a x aaa , kéo theo 1 9 11 1(1)11 n n xaa aa . 9 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007. [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002. [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến. Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009. [4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011. [5] Tuyển tậ p đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009. [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010. . Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Trường THPT. mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm .  2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là x n . Tìm lim n n x   Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên : 1 n x . tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất  Xét phương trình: n x xn   (1)  Khảo sát tính đơn điệu của