Bài tập toán III Đại Số Tuyến Tính

Thông tin tài liệu

Danh sách bài tập cơ bản cho toán Đại Học:Đại số tuyến tính.

GV: Th.S Lê Thế Sắc 1 BÀI TẬP TUẦN 1 Dạng 1: Các phép toán véc tơ Bài 1. Cho các véc tơ 1 2 , 3 u            3 1 , 2 v              2 w 3 1              . 1. Tính , u v  w, u v   2 3 u v w   ; 2. u có phải là tổ hợp tuyến tính của v và w không? Bài 2. Cho 1 1 2 , 3 u             2 3 4 , 2 u            2 6 6 v            . Véc tơ v có thuộc   1 2 , span u u không? Tại sao? Dạng 2: Các phép toán ma trận Bài 3. Cho 2 ma trận 3 0 1 2 1 1 1 0 3 A             và 1 1 3 2 0 0 1 4 1 B             . Hãy tìm: a) 3A; b) A + B; c) A – 3B; d)   3 ; T T A B e) AB; f) . T T B A Bài 4. Tính Ax theo 2 cách: 1 2 4 2 . 2 3 1 2 4 1 2 3 a Ax                        2 1 0 0 1 1 2 1 0 1 . 0 1 2 1 1 0 0 1 0 2 b Ax                          Dạng 3: Biểu diễn hệ phương trình tuyến tính Bài 5. Viết các hệ phương trình sau dưới dạng ma trận và dạng véc tơ: 2 3 1 . 2 5 7 3 1 x y z a y z x y               1 2 5 . 2 2 1 2 4 7 x y z x y b x y z x y z                    Dạng 4: Tìm điểu kiện của tham số để hệ có nghiệm Bài 6. Tìm số m sao cho tồn tại X thỏa mãn: 2 1 3 6 1 0 5 6 , 3 2 1 0 1 3 2 X m                               sau đó tìm X. GV: Th.S Lê Thế Sắc 2 Bài 7. Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c,m để các hệ sau có nghiệm: 2 1 2 2 0 . 2 3 2 4 2 2 x y z t x y z t a x y z t x y z m                        2 . 2 2 x y z a b x y z b x y z c                 2 1 . 2 3 2 4 5 1 x y z c x y mz x y z m                Dạng 5: Phương pháp khử Gauss – Jordan giải hệ phương trình Bài 8. Giải hệ sau bằng phương pháp khử Gauss- Jordan: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 2 2 3 1 1. 3 2 2 1 4 3 2 5 x x x x x x x x x x x x x x x x                         2 2 3 5 2. 5 7 2 3 3 14 x y z x y z x y z x y z                     2 7 3 1 6 3. 3 5 2 2 4 9 4 1 7 2 x y z t                                  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 6 0 4. 3 4 6 7 0 3 4 0 x x x x x x x x x x x x                  1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 5. 2 2 2 3 2 x x x x x x x x                 Dạng 6: Giải và biện luận hệ bằng phương pháp khử Gauss – Jordan Bài 9. Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau theo tham số a:       2 3 2 4 3 1 3 1. 1 3 1 3 x y a z a a x a y z a a a x y z a a                             3 2 3 0 2. 2 3 1 4 7 3 x a y a z x ay z a y z                   3 5 4 3. 3 2 9 7 8 0 ax y z x ay z x y az               2 1 4. 2 3 1 2 2 1 x y az x ay z x y z                1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 5. 2 2 2 4 ax x x x ax x a x x ax a                 1 1 6. 3 2 1 2 3 2 a x y z x y z ax y z                1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 3 7. 3 4 2 5 4 2 7 x x x x x x x x x x x x x x x mx                        1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 5 3 2 3 5 1 6 4 3 5 7 3 8. 9 6 5 9 5 3 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x mx x x x x mx                           Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số a và b:   2 2 . 2 1 2 x y az a x y a z x y z b                 2 3 . 2 9 3 3 x ay z b x ay z x y b               GV: Th.S Lê Thế Sắc 3 Bài 11. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo các tham số 1 2 3 , , b b b : 1 2 3 2 2 2 5 4 4 9 8 x y z b x y z b x y z b               Dạng 7: Định nghĩa ma trận nghịch đảo Bài 12. Chứng minh các khẳng định sau: a. Nếu A là ma trận vuông thỏa mãn 2 3 0 A A I    thì ma trận A khả nghịch và 1 3 A I A    ; b. Nếu A khả nghịch và ACAB  thì CB  . Dạng 8: Phương pháp Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo Bài 13. a. Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp Gauss – Jordan: 1 0 0 2 1 3 ; 0 0 1 A            b. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình: 1 2 3 1 2 0 1 0 0 AX            . Bài 14. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình: 1 1 1 1 2 3 1 2 2 . 0 1 2 1 2 3 X                  Bài 15. Cho 2 ma trận 2 3 6 15 4 12 9 6 5 A              và 3 2 5 14 3 12 8 6 5 B              . Tính   1 . A B   Bài 16. Giải các phương trình ma trận sau : 1 2 1 0 . 3 4 1 1 a X              1 2 1 2 1 3 . . 1 3 3 4 0 1 b X                    GV: Th.S Lê Thế Sắc 4 BÀI TẬP TUẦN 2 Dạng 1: Liên hệ giữa ma trận và định thức Bài 17. Cho ma trận A có cỡ 44 và detA = 2 1 , hãy tìm det(2A), det(−A), det(A 2 ) và det(A −1 ). Dạng 2: Tính định thức bằng cách sử dụng công thức phần phụ đại số Bài 18. Tính định thức theo 3 cách (quy tắc 6 phần tử, đưa về ma trận tam giác và công thức phần phụ đại số): 0 0 1 . 0 2 5 4 0 4 a       . b    Bài 19. Tìm ma trận phụ hợp C của các ma trận sau. Hãy tìm detB nhờ các phần phụ đại số của nó. 2 1 . 3 6 a A        1 2 3 . 4 5 6 7 0 0 b B            Bài 20. Sử dụng công thức phần phụ đại số, tính định thức của ma trận sau:                404 6203 5030 121 b a A Dạng 3: Tính định thức bằng cách sử dụng các tính chất Bài 21. Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng: 2 2 2 1 det 1 ( )( )( ) 1 a a b b a b b c c a c c               Bài 22. Tính nhanh định thức của các ma trận sau: 101 201 301 . 102 202 302 103 203 303 a           2 2 1 . 1 1 t t b t t t t           2 2 . 2 2 2 2 a b c a a c b b c a b c c c a b                 Bài 23. Biết 5. a b c d e f g h i  Tính các định thức sau: GV: Th.S Lê Thế Sắc 5 . 2 2 2 ; a b c a d e f g h i 2 2 2 . ; a d b e c f b d e f g h i    . 2 2 2 g h i c d e f a b c Bài 24. Tính định thức của các ma trận sau bằng cách đưa về ma trận tam giác trên: 1 2 3 0 2 6 6 1 . 1 0 0 3 0 2 0 7 a A               2 1 0 0 1 2 1 0 . 0 1 2 1 0 0 1 2 b B                    Dạng 4: Tính định thức bằng cách kết hợp các phương pháp Bài 25. Tính định thức của các ma trận sau: 2 2 0 5 1 4 2 7 . 6 3 5 8 5 1 7 2 a 2 1 7 5 3 2 6 1 . 5 8 1 9 7 2 6 3 b 1 1 3 5 3 . 2 1 3 5 2 7 0 a x b c y              0 0 . 0 0 x y z x z y d y z x z y x Dạng 5: Ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo Bài 26. Sử dụng công thức phần phụ đại số tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: 0 1 2 A= 2 3 3 4 4 4           Bài 27. Dùng tiêu chuẩn về định thức tìm điều kiện của m để ma trận sau khả nghịch: 2 1 0 0 3 2 0 0 1 1 1 1 2 1 0 A m               Dạng 6: Ứng dụng của định thức giải hệ phương trình Bài 28. Giải các hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer: 2 4 31 . 5 2 29 3 10 x y z a x y z x y z               2 3 4 20 . 3 5 16 5 7 4 7 x y z b x y z x y z               6 5 2 4 4 0 9 4 13 0 . 3 4 2 2 1 0 3 9 2 11 0 x y z t x y z t c x y z t x y t                           GV: Th.S Lê Thế Sắc 6 Bài 29. Tìm m để hệ sau có duy nhất 1 nghiệm. Tìm nghiệm đó bằng quy tắc Cramer:   1 1 3 2 1 2 3 2 m x y z x y z mx y z                Dạng 7: Chứng minh một tập là không gian con Bài 30. Tập con nào sau đây cùng với phép toán cộng và nhân thông thường trong 3 R là không gian con của 3 R . a. Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , ) x y z sao cho x y  b. Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , ) x y z sao cho 0 x  c. Tập     3 W , , 0 x y z R xyz    d. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của   1,4,0 u  và   2,2,2 v  e. Tập     3 W , , 0 x y z R x y z      f. Tập     3 W , , x y z R x y z     Bài 31. Cho     3 W , , x y z R x y z m      . Tìm m để W là một không gian con của 3 . R Bài 32. Kí hiệu   2 2, M R  là tập các ma trận vuông cấp hai với phần tử thực và G là tập các ma trận khả nghịch của   2 2, M R  . Chứng minh rằng G không là không gian con của   2 2, M R  . Dạng 8: Mô tả bốn không gian con của ma trận Bài 33. Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau: 1 2 . 0 0 0 0 a A            1 0 . 0 2 0 0 b B            1 0 . 2 0 0 0 c C            Bài 34. Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận sau: 1 2 3 2 4 6 1 4 6 A             Từ đó chỉ ra các véc tơ     0;0;6 u C A   và     2;2;3 . T v C A    GV: Th.S Lê Thế Sắc 7 Bài 35. Mô tả 4 không gian con liên quan đến ma trận            880 440 242 B Bài 36. Tìm điều kiện của vế phải để các hệ sau có nghiệm? 1 1 2 2 3 3 1 4 2 . 2 8 4 1 4 2 x b a x b x b                                   1 1 2 2 3 1 4 . 2 9 1 4 b x b b x b                              Bài 37. Cho 1 2 3 2 4 6 1 4 6 A             a. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian C(A); b. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian N(A) Bài 38. Xây dựng 1 ma trận mà không gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian nghiệm chứa véc tơ (1,1,2). GV: Th.S Lê Thế Sắc 8 BÀI TẬP TUẦN 3 Dạng 1: Tìm hạng của ma trận Bài 39. Tìm hạng của các ma trận sau đây: a. Ma trận cấp 3  4 có tất cả các phần tử đều bằng 1; b. Ma trận cấp 3  4 với 1; ij a i j    c. Ma trận cấp 3  4 với j ij a )1( . Bài 40. Biện luận theo m hạng của các ma trận sau: a. 6 4 2 3 2 1 9 6 A m               b. 1 0 1 1 1 2 1 1 B m            Bài 41. Tìm hạng của ma trận sau: 1 4 0 . 2 11 5 1 2 10 a A             2 1 3 2 4 . B 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2 b                3 1 3 2 5 5 3 2 3 4 . 1 3 5 0 7 7 5 1 4 1 c C                    Bài 42. Tìm m sao cho hạng của ma trận sau là nhỏ nhất : 3 1 1 4 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 m             . Bài 43. Tìm hạng của ma trận , , : T T A A A AA 1 1 5 . 1 0 1 a A            2 0 . 1b A               Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát của hệ 0 Ax  Bài 44. Tìm nghiệm đầy đủ của của các hệ 0, Ax  0 Bx  với: 1 3 5 2 6 10 A          1 3 5 2 6 7 B          Bài 45. Tùy theo m hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0 biết: 1 1 2 2 2 2 4 4 1 2 2 A m            GV: Th.S Lê Thế Sắc 9 Dạng 3: Tìm nghiệm tổng quát của hệ Ax b  Bài 46. Tìm nghiệm tổng quát của các hệ phương trình sau: 1 3 1 2 1 . 2 6 4 8 3 0 0 2 4 1 x y a z t                                  1 3 4 1 2 3 1 3 4 2 3 2 . 3 2 5 2 4 9 10 x x b x x x x x x               1 2 3 4 2 3 5 7 1 . 4 6 2 3 2 2 3 11 15 1 x x c x x                                       Bài 47. Biết nghiệm tổng quát đối với        3 1 Ax là               1 0 0 1 cx . Hãy tìm ma trận A. Bài 48. Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với 3 2 1 5 3 0 0 1 5 A               , biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng (0,1,1) p x  . Dạng 4: Mối liên hệ giữa hạng của ma trận và số nghiệm của hệ Bài 49. Cho hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 3 x x ax x x ax x x x b               a. Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất; b. Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm. Bài 50. Tìm điều kiện đối với 1 , b 2 , b 3 b để hệ sau có nghiệm. Tìm nghiệm khi có điều kiện đó: 1 2 3 2 2 2 5 4 4 9 8 x y z b x y z b x y z b               Dạng 5: Kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của hệ véc tơ Bài 51. Cho các véc tơ   1 1, 3,2, 4 ; v      2 3,4, 1,3 ; v     3 2,7, 2,5 ; v     4 2, 6,4, . v m   1. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ tùy theo giá trị của m; 2. Tìm m để 4 v là tổ hợp tuyến tính của 1 , v 2 , v 3 . v Bài 52. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau: a.       1 2 3 1,3,2 ; 2,1,3 ; 3,2,1 ; v v v   b.       1 2 3 1, 3,2,1 , 2,1, 3,0 , 3,2,0,1 . v v v      GV: Th.S Lê Thế Sắc 10 Dạng 6: Kiểm tra hệ véc tơ là cơ sở của không gian cho trước Bài 53. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R 3 ? a.       1,2,2 ; 1,2,1 ; 0,8,0 ;  b.   1,1, 1 ;    2,3,4 ;   4,1, 1 ;    0,1, 1 ;  c.       1,2,2 ; 1,2,1 ; 0,8,6 .  Dạng 7: Tìm một cơ sở và số chiều của một không gian véc tơ Bài 54. Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R 4 : a. Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau; b. Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0. Bài 55. Cho các vectơ       1 2 3 2,1,3 , 3, 1,4 , 2,6,4 . v v v    Ký hiệu W là không gian con của R 3 sinh bởi các véc tơ 1 2 3 , , . v v v Tìm một cơ sở và số chiều của W. Bài 56. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con sau đây: a.     4 1 , , , , ; V x y z t R z x y t x y       b.     2 0, , ,0 ; , ; V x y x y R   c.     4 3 , , , . V x y z t R x y z     Bài 57. Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận: 1 2 4 . 2 4 8 a A            1 2 4 . 2 8 b B           1 3 0 5 . 2 6 1 16 5 15 0 25 c E            0 1 2 3 4 . 0 1 2 4 6 0 0 0 1 2 d F            [...]... 1,0  ; c   0,0,1, 1 Bài 75 Cho các véc tơ v1  1, 0, 0, 0  , v2   2, 1, 0, 0  , v3   3, 2, 1, 0  a Chứng minh hệ véc tơ v1 , v2 , v3 độc lập tuyến tính; b Dùng trực giao hóa Gram – Schmidt xây dựng tập trực giao u1 , u2 , u3 từ v1 , v2 , v3  12 GV: Th.S Lê Thế Sắc BÀI TẬP TUẦN 5 Dạng 1: Chứng minh ánh xạ là phép biến đổi tuyến tính và tìm ảnh 1 2  Bài 76 Cho M là ma trận vuông... -2) Ký hiệu W là không gian con của R4 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2 a Hãy tìm W; b Tính số chiều của W Dạng 5: Tìm cơ sở của phần bù trực giao 2 x  3x2  x3  x4  0 Bài 70 Cho hệ phương trình sau:  1 2 x1  3 x2  x3  x4  0 a Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm S của hệ; b Tìm cơ sở và số chiều của S  Bài 71 Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình: x  3 y... 0  0      a Chứng minh T là phép biến đổi tuyến tính b Tìm ma trận chính tắc của T Bài 80 Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0) Tìm T(v) trong các trường hợp sau: a) v = (2,2) b) v = (3,1) c) v = (-1,1) d) v = (a,b) Bài 81 Cho {e1 , e2 , e3 } là cơ sở chính tắc của R 3 , T là phép biến đổi tuyến tính từ R 3 vào R 3 , thoả mãn điều kiện: 13 GV: Th.S... 1  3 và 2  4 Tính det  A   I  Bài 64 Cho A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng là 1  1, 2  2, 3  3 1 Tính det  2 A  ; det  A AT  ; det  A  I  1 2 Tìm hạng của ma trận A Dạng 3: Chéo hóa ma trận và ứng dụng Bài 65 Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận sau:  2 2 2 a A   2 2 2     2 2 2   1 1 b B    1 1 2 1 Bài 66 Chéo hoá ma trận A và tính A2013 biết :... 3 4  Ánh xạ T được định nghĩa bởi T(M) = AM Hãy chỉ ra rằng T là phép biến đổi tuyến tính Bài 77 Cho ánh xạ T : R 2  R 3 xác định như sau: T  v   xu1  yu2   x  y  u3 trong đó v   x, y  , u1  1, 0, 0  , u2  1,1, 0  , u3  1,1,1 Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính Tìm ma trận chính tắc của T Bài 78 Cho E  v1 , v2 , v3  1 1  1  1 , v  1  , v  0  là một cơ...   3    Bài 82 Cho {e1, e2} là cơ sở chính tắc của R2 Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R2 vào R2 thoả mãn điều kiện T  e1  e2  = 1, 1 , T  2e1  e2    0, 1 a Tìm ma trận chính tắc của T b Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T-1 c Tìm vectơ u R2 sao cho T  u    2, 1 Dạng 2: Tìm ma trận chuyển cơ sở và ma trận của phép biến đổi tuyến tính Bài 83 Cho E... trận B của T trong cơ sở F  v1    , v2     A  2  1   0   Bài 86 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R2  R2 ( x1 , x2 )  ( x1  2 x2 ,3x2 ) a Tìm ma trận chính tắc của T   1 0   b Tìm ma trận của T trong cơ sở F  v1    , v2      1  1   Bài 87 Cho phép biến đổi tuyến tính 14 GV: Th.S Lê Thế Sắc 2 T :R  R 2  2 x1  x  v   1   T (v)     x 2... sở F = {w1 = (1, 2), w2 = (2, 3)} 15 GV: Th.S Lê Thế Sắc BÀI TẬP TUẦN 5 Dạng 1: Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu Bài 88 Cho dữ liệu T 0 1 2 3 B 2 3 5 7 Dùng phương pháp bình phương tối thiểu tìm đường thẳng b = C + Dt gần tập hợp điểm này nhất Bài 89 Hãy tìm parabol tốt nhất để căng b = 4, 2, -1, 0, 0 tại thời điểm t = 0, 1, 2, 3, 4 Bài 90 Cho dữ liệu T -2 -1 0 1 2 B 4 2 -1 0 0 Dùng phương...GV: Th.S Lê Thế Sắc BÀI TẬP TUẦN 4 Dạng 1: Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của một ma trận Bài 58 Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các ma trận sau: 1 4 a A    2 3 3 1 b B    1 1  0 0 1  c C  0 2 0    3 0 0     4 5 1  d D   1 0 1    0 1 1   Dạng 2: Sử dụng các tính chất của giá trị riêng, véc tơ riêng  0 1 Bài 59 Hãy xác định hàng thứ... sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F Bài 84 Trong không gian R2 cho hai cơ sở :   1  2  2  3  B  u1    , u2     , B '  u '1    , u2     2 3  1   4    a Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’ b Cho w = 3u1 – 5u2 Tính tọa độ của w trong cơ sở B’  1 2      Bài 85 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R 2  R 2 có ma trận trong cơ sở E  u1 . GV: Th.S Lê Thế Sắc 1 BÀI TẬP TUẦN 1 Dạng 1: Các phép toán véc tơ Bài 1. Cho các véc tơ 1 2 , 3 u            3 1 , 2 v    . 0 x  c. Tập     3 W , , 0 x y z R xyz    d. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của   1,4,0 u  và   2,2,2 v  e. Tập     3 W , , 0 x y z R x y z      f. Tập     3 W. xây dựng tập trực giao   1 2 3 , , u u u từ   1 2 3 , , . v v v GV: Th.S Lê Thế Sắc 13 BÀI TẬP TUẦN 5 Dạng 1: Chứng minh ánh xạ là phép biến đổi tuyến tính và tìm ảnh Bài 76.

Ngày đăng: 23/05/2014, 23:42

Xem thêm: Bài tập toán III Đại Số Tuyến Tính, Bài tập toán III Đại Số Tuyến Tính

Bài tập toán III Đại Số Tuyến Tính

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan