Đang tải... (xem toàn văn)
sáng kiến kinh nghiệm
STT Mục lục Trang 1 Đặt vấn đề (Lý chọn đề tài) 2 Giải vấn đề (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 3 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 5 2.3 Các biện pháp tiến hành đề giải vấn đề 6 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 25 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 1 Đặt vấn đề (Lý chọn đề tài) Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, địi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song phân loại chưa dựa gốc toán nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Do tơi xin trình bày số kinh nghiệm thân trình giảng dạy: “Hệ phương trình đại số cách giải nâng cao THPT” Trong trình giảng dạy cố gắng đưa phương pháp giải, đặt biệt cách nhận dạng toán để chọn phương pháp thích hợp Mục đích nghiên cứu :Hi vọng với phương pháp xếp lôgic, chặt chẽ lựa chọn tốn cách điển hình sáng kiến nho nhỏ để tham khảo Qua giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, ham học hỏi Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10C, 10E, 110H Trường THPT Thuận Châu Phạm vi nghiên cứu: hệ phương trình đại số THPT 2 Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề 2.1.1 Cơ sở 1: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn a, b không đồng thời không a’, b’ không đồng thời không Hãy giải biện luận hệ phương trình (I) cho Giải: Ta có hệ (I) lại có, (I) Do hệ (I) Đặt , , Khi ta có hệ phương trình hệ (I) sau Ta xét trường hợp sau 1/ D 0, hệ(II) có nghiệm nghiệm nghiệm hệ (I) (II) thay vào hệ (I) ta thấy 2/ D =0, lúc hệ trở thành + Nếu hệ (II) vơ nghiệm hệ (I) vơ nghiệm + Nếu hệ (II) có vơ số nghiệm Bây ta tìm nghiệm hệ (I) Do a, b khơng đồng thời nên ta giả sử Ta có D = ab/ - a/b = nên hệ (I) viết thành Do tập nghiệm hệ (I) trùng với tập nghiệm phương trình ax + by = c Tóm lại: Đặt , , * Trường hợp * Trường hợp ax + by =c * Trường hợp 2.1.2: Cơ sở 2: Hệ có nghiệm Hệ có vơ số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình Hệ vơ nghiệm Định lí: Mọi biểu thức f(x; y) thỏa mãn f(x; y) = f(y;x) biểu diễn theo x+y xy Định nghĩa: Hệ gọi hệ đối xứng loại theo hai ẩn x y Bài tốn: Hãy giải hệ phương trình đối xứng loại sau: Giải: Do nên hệ cho viết lại sau : Giải hệ để tìm S, P x y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = Khi ta tìm nghiệm hệ ( có) 2.1.3 Cơ sở Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai ẩn x,y hệ có dạng: Bài tốn: Hãy giải hệ phương trình đối xứng loại sau: Giải: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: (*) Thay y = x vào (*) ta = suy y = x thỏa (*), (*) * Thay y = x vào (1) ta tìm x, suy y * Với g(x;y) = ta có hệ tìm x y 2.1.4: Cơ sở 4: Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp vế trái hai ẩn x, y hệ có dạng: Bài tốn: Hãy giải hệ (*) (*) Giải: * Thay x = vào hệ (*) để kiểm tra x = có thỏa mãn hệ khơng? * Với ta đặt y = tx (I), hệ cho trở thành: + Khi , ta có (**), giải (**) tìm nghiệm t ( có), thay vào (I) ta tìm x, suy y, từ tìm nghiệm hệ cho + Khi , ta chia (1) cho (2) vế theo vế ta 2.1.5: Cơ sở Khơng có cách giải tổng quát cho hệ phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề Các toán giải hệ phương trình phương trình đại số dạng tốn chương trình THCS, THPT Nó thường xuyên có đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng nước nhà Trong sách giáo khoa chương trình THPT chưa sâu phân tích kĩ bước giải hệ phương trình, đặt biệt phân tích để chọn phương pháp giải cho hệ phương trình Qua nhiều năm giảng dạy, Tơi thấy phương pháp phân tích lập luận để giải hệ phương trình điều hứng thú học tâp say mê nghiên cứu em học để rèn luyện kỹ giải tốn hệ phương trình đại số hai ẩn Tơi hài lịng vận dụng kinh nghiệm để hiệu giảng dạy rèn luyện kỹ giải hệ tốt 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1:Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn Cho hệ phương trình bậc hai ẩn a, b không đồng thời ’ ’ không a , b không đồng thời không Cách giải: Đặt , * Trường hợp , Hệ có nghiệm * Trường hợp ax + by =c * Trường hợp Bài tốn 1: Hệ có vơ số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình Hệ vơ nghiệm Cho hệ phương trình Giải biện luận hệ cho Trong điều kiện hệ có nghiệm nhất, tìm m nguyên để nghiệm hệ nghiệm nguyên Trong điều kiện hệ có nghiệm nhất, tìm hệ thức liên hệ nghiệm (x; y) hệ không phụ thuộc vào m Trong điều kiện hệ có nghiệm (x;y), tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x2+y2 với Giải: Biện luận hệ Ta có: D = m2-1, Dx = 2m2 - 2m, Dy = 3m2 – 2m – Trường hợp Trường hợp : Hệ có nghiệm * Nếu m = hệ trở thành x + y = nên hệ có vơ số nghiệm * Nếu m = - nên hệ vơ nghiệm Khi hệ có nghiệm Khi điều kiện tốn tương đương với Vậy m = 0, m = - , m = -2 thỏa mãn điều kiện tốn Khi hệ có nghiệm Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta x – y = - Vậy hệ thức cần tìm x – y + = Khi hệ có nghiệm Ta có Xét hàm số Ta có đoạn f(m) liên tục đoạn Ta lại có Vậy m = m = 2.3.2: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn x y Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn x y có dạng: Cách giải: + Rút ẩn từ phương trình bậc + Thay vào pt bậc hai tìm ẩn cịn lại, suy nghiệm hệ phương trình Bài tốn 2: Cho hệ: a/ Giải hệ a=1 b/ Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) nghiệm hệ cho Chứng minh rằng: (x2 - x1)2+ ( y2 –y1)2 Từ (2) x=a-ay thay vào (1) ta Giải: (3) a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y2-y=0 hệ có nghiệm: (1;0), b/ Hệ có nghiệm phân biệt c/ Khi có nghiệm phân biệt hệ có nghiệm (x1;y1), (x2;y2) y1,y2 nghiệm (3) nên thỏa mãn lại có Khi đó, 2.3.3: Hệ đối xứng loại I Hệ đối xứng loại I có dạng: với f(x;y) = f(y;x) g(x;y) = g(y;x) Cách giải: Biến đổi hệ theo x+y x+y Đặt S = x + y p=xy Biến đổi hệ theo s,p giải hệ tìm hai ẩn Với nghiệm (s;p) ta giải pt x2 – sx +p =0 để tìm x, y Chú ý; với tốn phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y Bài toán 3: Giải hệ Cách 1: Hệ Đặt s=x+y p=xy với s -4p Hệ trở thành Từ (1) thay vào (2) ta s Như ta máy móc giải cách tốn trở nên phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ khác cách biến đổi hệ cho Đặt Hệ trở thành Từ suy nghiệm hệ 2.3.4: Hệ đối xứng loại II Hệ đối xứng loại hệ có dạng Cách giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta pt dạng Bài toán 4: Giải hệ Điều kiện: Hệ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta * Với y = x thay vào (1) ta * Với y = - x – thay vào (1) ta Vậy nghiệm hệ ( - ; - ) Bài toán 5: Giải hệ: Cách 1: Điều kiện: (*) Ta có *Với x=y thay vào (4) ta được: * Với y = – x thay vào (4) ta Vậy nghiệm hệ là: (4; 4) Cách 2: Đặt với 10 , t 0 x Đặt ta 2 t 0 t 2 t 2 t t 1 x 1 2 2 2 t 4 4t t t 2t 0 y 1 1 0 1 xy x y xy y x TH TH vơ nghiệm ĐK Vậy hệ có nghiệm (1; 1) 3x xy y 38 2 Bài toán 16 Giải hệ phương trình 5 x xy y 15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x 75 xy 60 y 570 145 x 417 xy 54 y 0 2 190 x 342 xy 114 y 570 Hệ 145 y x, y x 18 vào hai phương Giải phương trình ta trình hệ ta thu kết * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y tx, x 0 đặt x ty, y 0 t 2 3x x y y 4 x y Bài toán 17 Giải hệ phương trình Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho y Lời giải ĐK: x 0, y 0, x y 0 Dễ thấy x 0 y 0 không thỏa mãn hệ pt Vậy x 0, y 2 2 1 (1) x y x y x y x 2 x y 3x xy 7y 3x 7y 7y x y Hệ 17 2 2 3x y 3x 7y x y Nhân theo vế hai pt hệ ta y 6 x 2 y 38 xy 24 x 0 y x 3x y x y TH y 6 x vào pt (1) ta 11 22 1 x y 21 3x 21x y x không xảy x 0, y TH 11 22 ; 21 Vậy hệ pt có nghiệm a b m m n 2a a b n m n 2b Trong trường hợp Chú ý Hệ phương trình có dạng này, dạng thứ có vế phải chứa thức nên ta chuyển dạng thứ hai sau nhân vế để thức n a m bx px qy c m n dy px qy Tổng quát ta có hệ sau: x; y 2.3.9: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ x y xy 2 Bài tốn 18 Giải hệ phương trình x y xy 7 Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x y ) xy ( x y ) xy 7 Hệ S P x y S S 1, P S 4, P 3 xy P x, y S 4 P Đặt ta S 3P 7 S 1 x y 1 x 1, y 2 P xy x 2, y TH S x y x 1, y P 3 xy 3 x 3, y Vậy tập nghiệm hệ TH S = ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1) 18 Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm ( x; y ) tính đối xứng, hệ có nghiệm ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x y - Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt Bài toán 19 Giải hệ pt sau x y x y xy xy x( x y 1) 0 x y xy (1 x ) ( x y ) x 0 a) b) x y xy 3 x y 4 c) Lời giải x y 2( x y ) 7 d) y ( y x) x 10 x y x 0 ( x y )2 5. 0 x a) ĐK x 0 Hệ x y a, b x Đặt ta hệ a 2, b 1 x y 1 a 3b 0 a 3b 1 2 a , b x 2, y a 5b 0 (3b 1) 5b 0 2 2 ( x y ) xy ( x y 1) ( x y )2 xy b) Hệ Đặt x y a, xy b ta 5 a a ab 0 a 0, b a b(a 1) a , b a b b a 2 x y 0 x a 0 5 b xy y 25 16 TH 19 a b TH 2 1 x x 1 x y 2x 3 xy y y 2x 3 25 1; ; ; 16 Vậy tập nghiệm hệ pt S = c) ĐK: x 1, y 1, xy 0 x y xy 3 x y xy 3 x y ( x 1)( y 1) 16 x y x y xy 14 Hệ 2 Đặt x y a, xy b a 2, b 0, a 4b ta hệ pt a b 3 a a b 14 a 3 b 2 b b 11 b a 3 b 3b 26b 105 0 b 3 x 3 a y 3 (thỏa mãn đk) ( x 1) ( y 1)2 9 2 ( y x ) ( x 1) 9 d) Hệ a b 9 2 a x 1, b y b a y x Đặt ta hệ (b a) a 9 a b (b a )2 a a 2ab a 0 a 2b a 0 b 3 x 1, y 2 x 1, y a 2b 5b 9 b x a 5 6 , y x , y 5 5 Kết luận Hệ có nghiệm Bài tốn 20: (Phương pháp nhóm biến) Giải hệ: Giải: Nhóm biến: hệ 20 ... phân tích kĩ bước giải hệ phương trình, đặt biệt phân tích để chọn phương pháp giải cho hệ phương trình Qua nhiều năm giảng dạy, Tơi thấy phương pháp phân tích lập luận để giải hệ phương trình điều... có: 2.3.6: Giải hệ phương trình phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình... 2.3.9: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ x y xy 2 Bài toán 18 Giải hệ phương trình x y xy 7 Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ