Tính toán khoa học Chương 8 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Linear Programming Tính toán khoa học Bài toán quy hoạch toán học • Rất nhiều bài toán thực tế có thể phát biểu dưới dạng bài toán cực trị sau: • Bài toán (1)-(4) được gọi là bài toán quy hoạch toán học f(x) là hàm mục tiêu, gi,hj là các hàm ràng buộc. Tập Gọi là tập ràng buộc, hay miền chấp nhận được. Mỗi vectơ x thuộc D được gọi là lời giải chấp nhận được hay là phương án chấp nhận được Tính toán khoa học Bài toán quy hoạch toán học • Phương án chấp nhận được x * thỏa mãn • Được gọi là pa tối ưu hay lời giải của bài toán, khi đó giá trị • Được gọi là giá trị tối ưu của bài toán Tính toán khoa học Một số mô hình thực tế  Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho một nhà máy  Bài toán khẩu phần ăn  Bài toán vận tải Bi toỏn lp k hoch sn xut Mt nh mỏy cú kh nng sn xut n loi sn phm. sn xut cỏc sn phm ny cn phi s dng m loi nguyờn liu. Bit : Hóy xõy dng mt chin lc sn xut mang li nhiu li nhun nht. Gi l s sn phm loi j, k hoch sn xut l l tng chi phớ nguyờn liu i do ú Tng li nhun thu c l Khi ú mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn k hoch sn xut c phỏt biu di dng nh sau. Tớnh toỏn khoa hc ij lợng nguyên liệu loại i cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j; dự trữ nguyên liệu loại i tiền lãi từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại đơn vị sản phẩm loại j (i=1, ; j=1, ) i j a b c mn 0 j x 12 ( , , , ) n x x x x 1 * n ij j j ax 1 * n ij j i j a x b 1 n jj j cx Tính toán khoa học Bài toán lập kế hoạch sản xuất  Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho một nhà máy Tìm cực đại của n 1 2 n j j j=1 n ij i j=1 j f(x ,x , ,x )= c x víi ®iÒu kiÖn a b ,i=1,m x 0, j=1,n     Tính toán khoa học Nội dung I. Thuật toán đơn hình 3.1.1. Bài toán QHTT dạng chính tắc và dạng chuẩn 3.1.2. Phương án cơ sở chấp nhận được 3.1.3. Công thức số gia hàm mục tiêu. Tiêu chuẩn tối ưu 3.1.4. Thuật toán đơn hình dạng ma trận nghịch đảo 3.1.5. Thuật toán đơn hình dạng bảng 3.1.6. Tính hữu hạn của thuật toán đơn hình 3.1.7. Thuật toán đơn hình hai pha II. Lý thuyết đối ngẫu 3.2.1. Xây dựng bài toán đối ngẫu 3.2.2. Các định lý đối ngẫu 3.2.3. Một số ứng dụng của lý thuyết đối ngẫu Tính toán khoa học I. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH Tính toán khoa học Nội dung 1. Bài toán QHTT dạng chính tắc và dạng chuẩn 2. Phương án cơ sở chấp nhận được 3. Công thức số gia hàm mục tiêu. Tiêu chuẩn tối ưu 4. Thuật toán đơn hình dạng ma trận nghịch đảo 5. Thuật toán đơn hình dạng bảng 6. Tính hữu hạn của thuật toán đơn hình 7. Thuật toán đơn hình hai pha Tính toán khoa học 1. Bài toán QHTT dạng chính tắc và dạng chuẩn [...]... nhờ các phép biến đổi sau: Tính toán khoa học Đưa BT QHTT tổng quát về dạng chính tắc a) Đưa ràng buộc bất đẳng thức dạng “” về dạng “” Bất phương trình tuyến tính n  aij xj  bi j 1 là tương đương với bất phương trình tuyến tính sau n  aij xj  bi j 1 Tính toán khoa học Đưa BT QHTT tổng quát về dạng chính tắc b) Đưa ràng buộc dạng “=” về dạng “” Phương trình tuyến tính n  aij xj  bi j 1... bài toán QHTT Tính toán khoa học Ví dụ 2 13x1  23 x2  max 5 x1  15 x2  480 4 x1   160 35 x1 x1 4 x2  20 x2 , x2  1190  Tính toán khoa học 0 Miền ràng buộc  max 5 x1 35x1 + 20x2  1190  23 x2  15 x2  480 4 x1 4x1 + 4x2  160 13x1   160 35 x1 x1 4 x2  20 x2 , x2  1190  0 (0, 32) (12, 28) (26, 14) 5x1 + 15x2  480 (0, 0) (34, 0) Tính toán khoa học Hàm mục tiêu (0, 32) (12, 28) (26, 14)... tuyến tính n  aij xj  bi j 1 là tương đương với hệ gồm 2 bất phương trình tuyến tính sau n  aij xj  bi j 1 n  aij xj   bi j 1 Tính toán khoa học Đưa BT QHTT tổng quát về dạng chính tắc c) Đưa ràng buộc dạng “” về dạng “=” Bất phương trình tuyến tính n  aij xj  bi j 1 là “tương đương” với hệ gồm 1 phương trình tuyến tính và một điều kiện không âm đối với biến số sau đây n  aij xj  yi ... giải của bài toán kia và ngược lại, đồng thời ta có đẳng thức: max { f(x): x  D} = - min {- f(x): x  D} Tính toán khoa học Đưa BT QHTT tổng quát về dạng chính tắc f) Đưa ràng buộc dạng “” về dạng “=” Bất phương trình tuyến tính n a x j 1 ij j  bi là “tương đương” với hệ gồm 1 phương trình tuyến tính và một điều kiện không âm đối với biến số sau đây n a j 1 ij x j  yi  bi yi  0 • Tương đương... toán QHTT trong mặt phẳng Tính toán khoa học Giải bài toán QHTT trong mặt phẳng • Bài toán QHTT dạng chuẩn 2 biến số f(x1, x2) = c1x1 + c2x2  min, với điều kiện ai1 x1 + ai2 x2  bi, i = 1, 2, , m • Ký hiệu D = {(x1,x2): ai1 x1 + ai2 x2  bi, i = 1, 2, , m} là miền ràng buộc Tính toán khoa học Giải bài toán QHTT trong mặt phẳng • Từ ý nghĩa hình học, mỗi bất phương trình tuyến tính ai1 x1 + ai2 x2 ...Bài toán QHTT tổng quát • Bài toán QHTT tổng quát là bài toán tối ưu hoá mà trong đó chúng ta phải tìm cực đại (cực tiểu) của hàm mục tiêu tuyến tính với điều kiện biến số phải thoả mãn hệ thống phương trình và bất phương trình tuyến tính Mô hình toán học của bài toán có thể phát biểu như sau n f ( x1 , x2 , , xn )   c j x j  min(max), với điều kiện (1) j 1 n a x j 1 ij j  bi ,... 0) (34, 0) Tính toán khoa học Hàm mục tiêu (0, 32) (12, 28) (26, 14) 13x1 + 23x2 = 1600 13x1 + 23x2 = 80 0 (0, 0) (34, 0) Tính toán khoa học 13x1 + 23x2 = 442 Ý nghĩa hình học • Tồn tại lời giải tối ưu là đỉnh của đa giác ràng buộc Đỉnh của đa giác ràng buộc (0, 32) (12, 28) (26, 14) (0, 0) (34, 0) Tính toán khoa học ... giá trị của nó chính là giá trị tối ưu của bài toán Tính toán khoa học Ví dụ 1 • Giải bài toán QHTT sau: x1 – x2  min 2 x1 + x2  2, – x1 – x2  – 7, – x1 + x2  – 2, x1  0, x2  0 Tính toán khoa học Phương án tối ưu x1 – x2  min 2 x1 + x2  2, – x1 – x2  – 7, – x1 + x2  – 2, x1  0, x2  0 x1 – x2 = – 7 x1 – x2 = 0 Miền ràng buộc: D = M1M2M3M4M5 Tính toán khoa học Ví dụ 1 • Giải theo phương pháp... biến phụ) Tính toán khoa học Ví dụ • Bài toán QHTT x1 + 2x2 - 3x3 + 4x4  max, x1 + 5x2 + 4x3+ 6x4  15, x1 + 2x2 - 3x3+ 3x4 = 9, x1 , x2 , x4  0, x3< >0, là tương đương với bài toán QHTT dạng chính tắc sau: Tính toán khoa học Ví dụ    x1  2 x2  3( x3  x3 )  4 x4  min,   x1  5 x2  4( x3  x3 )  6 x4  x5  15,   x1  2 x2  3( x3  x3 )  3x4   x1 , x2 , x3 , x3 , x4 , x5  0, Tính toán... nửa mặt phẳng sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng Tính toán khoa học Giải bài toán QHTT trong mặt phẳng • Phương trình c1x1+ c2x2 =  có vectơ pháp tuyến là (c1,c2) khi  thay đổi sẽ xác định các đường thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức ) Mỗi điểm u=(u1,u2)D sẽ nằm trên đường mức với mức u= c1u1+ c2u2 = f(u1,u2) Tính toán khoa học Giải bài toán QHTT trong mặt phẳng . Tính toán khoa học Chương 8 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Linear Programming Tính toán khoa học Bài toán quy hoạch toán học • Rất nhiều bài toán thực. ta phải tìm cực đại (cực tiểu) của hàm mục tiêu tuyến tính với điều kiện biến số phải thoả mãn hệ thống phương trình và bất phương trình tuyến tính. Mô hình toán học của bài toán có thể phát. n Tính toán khoa học Đưa BT QHTT tổng quát về dạng chính tắc a) Đưa ràng buộc bất đẳng thức dạng “” về dạng “”. Bất phương trình tuyến tính là tương đương với bất phương trình tuyến