Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập Đại Số Tuyến Tính
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH, GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài 1 Cho các ma trận: A = 3 1 0 −3 5 2 B = 4 1 7 −2 −1 5 C = 3 0 6 −5 1 4 Tính: a. A + B −C b. 2A −5B + C c. A + 2B −3C Bài 2 Cho các ma trận: A = 0 1 −1 0 0 1 1 −1 0 B = −1 1 0 2 0 1 0 0 −1 Thực hiện các phép toán sau: a. Tính (A + B) t , A t + B t và đưa ra nhận xét. b. Tính AB, BA và đưa ra nhận xét. c. Tính A 2 , B 2 , ( AB ) 2 và cho nhận xét. d. Tính (AB) t , B t A t và cho nhận xét. Bài 3 Cho các ma trận: A = 4 3 − 7 2 0 1 B = 2 −1 5 4 3 −3 Tìm ma trận X sao cho: a. A −2X = B b. 3B −X = A Bài 4 Tìm hai ma trận A ̸= 0 và B ̸= 0 sao cho AB = 0. Kết quả này cho ta kết luận gì? Bài 5 Cho đa thức f(x) = x 2 − 5x + 1 và ma trận: A = 1 −1 2 0 . Tính f(A). Bài 6 Cho A và B là hai ma trận vuông thỏa mãn AB = BA. Chứng minh các đẳng thức sau: a. (AB) 2 = A 2 B 2 . b. A 2 − B 2 = (A −B)(A + B). Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng c. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 . d. (A − B) 2 = A 2 − 2AB + B 2 . Bài 7 Tính lũy thừa A n bậc n ≥ 1 của các ma trận sau: a. A = 1 1 0 1 b. A = 0 1 −1 0 Bài 8 Trong các ma trận sau ma trận nào là ma trận chéo, ma trận tam giác, ma trận đối xứng, phản đối xứng? a. A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c. C = 1 1 0 1 0 0 0 0 1 c. C = 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 Bài 9 Cho hai ma trận A và B sau: A = 1 0 0 0 −5 0 0 0 7 B = −3 0 0 0 1 0 0 0 −2 Tính AB và BA và đưa ra nhận xét. Bài 10 Cho hai ma trận A và B sau: A = −1 0 2 0 −5 −1 0 0 1 B = 3 1 0 0 1 0 0 0 −2 Tính AB và BA và đưa ra nhận xét. Bài 11 Tìm hạng của các ma trận sau a. A = 1 −4 8 0 −2 4 0 0 12 b. B = 1 2 −3 1 3 0 1 3 4 5 0 2 3 1 8 c. C = 1 −1 3 2 −1 3 3 1 3 d. D = 1 4 3 6 0 1 1 1 0 0 0 −1 Bài 12 Tìm hạng của các ma trận sau a. A = 2 −1 3 −2 4 4 −2 5 1 7 2 −1 1 8 2 b. B = 1 3 5 −1 2 −1 −3 4 5 1 −1 7 7 7 9 1 c. C = 3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 1 −3 −5 0 −7 7 −5 1 4 1 d. D = 4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2 4 3 −8 2 7 4 3 1 2 −5 Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 2 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 13 Tìm x để hạng của ma trận sau bằng 2: A = 2 3 1 1 −2 0 4 x 2 . Bài 14 Tính các định thức sau bằng định nghĩa: 1. 2 −3 1 4 0 3 −1 5 0 0 −4 10 0 0 0 −7 . 2. 0 1 2 0 1 0 1 0 3 1 4 1 1 5 0 0 , 3. 1 0 2 a 2 0 b 0 3 c 4 5 d 0 0 0 , 4. a 3 0 5 0 b 0 2 1 2 c 3 0 0 0 d . Bài 15 Tính các định thức sau: 1. 0 1 −1 1 1 2 3 −1 0 4 3 2 1 −1 1 2 , 2. 0 0 2 0 0 1 5 −1 2 3 7 3 1 0 4 −2 , 3. 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 , 4. 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 , 5. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 , 6. 0 1 1 1 1 0 a b 1 a 0 c 1 b c 0 . Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 3 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 16 Tính các định thức sau: 1. 1 −1 3 −2 5 7 −1 1 2 , 2. 3 6 0 −1 2 2 6 6 4 , 3. 1 1 1 1 2 3 4 5 4 9 16 25 8 27 64 125 , 4. 1 5 −2 3 0 2 7 1 2 10 −1 5 −3 −15 −6 13 , 5. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5 , 6. a 3 3 3 3 3 a 3 3 3 3 3 a 3 3 3 3 3 a 3 3 3 3 3 a , Bài 17 1. Cho m = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 . Tính các định thức sau: a. c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 , b. a 1 b 2 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 . 2. Chứng minh rằng: b + c c + a a + b b 1 + c 1 c 1 + a 1 a 1 + b 1 b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 = 2 a b c a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 . Bài 18 Giải các phương trình sau: 1. 1 −x 2 x 2 1 + 2x = 0. 2. 1 x x 2 x 3 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 = 0. 3. x 2 + 1 2 2 2 2 x 2 + 1 2 2 2 2 x 2 + 1 2 2 2 2 x 2 + 1 = 0. 4. x + 1 2 3 4 1 x + 2 3 4 1 2 x + 3 4 1 2 3 x + 4 = 0. Bài 19 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: A = 3 2 4 3 B = 1 1 −1 2 −1 2 3 0 1 C = 1 −1 3 5 1 2 1 4 −1 Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 4 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng D = 1 3 −5 7 0 1 2 −3 0 0 2 1 0 0 0 3 E = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Bài 20 a. Khi nào một ma trận chéo, ma trận tam giác khả nghịch? b. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau và cho nhận xét: 1. 1 3 −1 0 −2 1 0 0 4 2. 1 0 0 0 −2 0 0 0 4 Bài 21 Giải các phương trình ma trận sau: a. X 1 1 −1 2 1 0 1 −1 1 = 1 −1 3 4 3 2 1 −2 5 b. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 X = 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 Bài 22 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n 1. Cho det(A) = 2, hãy tính det(A 3 ) và det(A 5 ). 2. Cho biết A khả nghịch và det(A) = 5, tính det(A −1 ). 3. Cho det(A) = 4 và B 3 = A, tính det(B). 4. Cho det(A) = 6, tính det(A 2 A t A). Bài 23 Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm: a. 2x 1 + 3x 2 = 5 3x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 b. x 1 − x 2 + x 3 − 2x 4 = 1 x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 = 2 5x 1 − 5x 2 + 8x 3 − 7x 4 = 3 c. 2x 1 + 2x 2 − 3x 3 − 4x 4 = 1 2x 1 − x 2 + x 3 − 3x 4 = 3 d. x 1 + 2x 2 − 3x 3 − 4x 4 = 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 − x 4 = 2 x 1 + 3x 2 − x 3 + 2x 4 = 1 4x 1 − 4x 2 − 3x 3 − 3x 4 = −7 Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 5 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng e. 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 − 3x 4 + x 5 = 10 x 1 + x 2 − x 3 − 5x 4 + 7x 5 = 1 x 2 + 2x 3 + 4x 4 − 8x 5 = 2 4x 3 + x 4 − x 5 = 3 Bài 24 Tìm điều kiện của các tham số a, b, c để hệ sau có nghiệm a. ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + ax 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + ax 3 = 1 b. x 1 + ax 2 + a 2 x 3 = a 3 x 1 + bx 2 + b 2 x 3 = b 3 x 1 + cx 2 + c 2 x 3 = c 3 Bài 25 Giải các hệ phương trình sau: a. 3x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 − x 5 = 7 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 − 2x 4 − 2x 5 = 8 b. 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1 4x 1 + 6x 2 − 5x 3 = 2 6x 1 + 9x 2 − 4x 3 = 2 c. 3x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 − x 5 = 1 2x 1 − x 2 + 7x 3 − 3x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 3x 2 − 2x 3 + 5x 4 − 7x 5 = 3 3x 1 − 2x 2 + 7x 3 − 5x 4 + 8x 5 = 3 d. x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 − 3x 4 = 0 7x 3 − 5x 4 = −1 3x 1 + 3x 2 + 4x 3 − 2x 4 = 3 e. x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 2 + x 3 + x 4 = −3 x 3 + x 4 + x 5 = 2 x 4 + x 5 = −1 Bài 26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a: a. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = −1 7x 1 + 6x 2 + 5x 3 = a 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 2 b. ax 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + ax 2 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + ax 3 = −3 c. x − 2y + 3z + t = 2 2x − 2y + 7z + t = 3 x − 2y + (a + 3)z + 2t = 4 (a −3)x − (2a −6)y − 9z + (a 2 − 6)t = 3a −13 d. 2x + 3y + z + 2t = 3 4x + 6y + 3z + 4t = 5 6x + 9y + 5z + 6t = 7 8x + 12y + 7z + at = 9 Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 6 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 27 Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn hay bằng 4 thỏa mãn: f(−1) = 3, f (1) = −3, f ′ (1) = −3, f (2) (1) = 12, f (3) (1) = 42. Bài 28 Tìm đa thức f(x) bậc 2 thỏa mãn: f(1) = −1, f (−1) = 9, f(2) = −3. Bài 29 Tìm đa thức f(x) bậc 3 thỏa mãn: f(−1) = 0, f (1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 16. Bài 30 Giải các hệ sau bằng cách áp dụng công thức nghiệm Cramer: a. 2x − 2y − z = −1 y + z = 1 −x + y + z = −1 b. 3x + 2y + z = 5 2x + 3y + z = 1 2x + y + 3z = 11 Bài 31 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm không tầm thường: a. ax − 3y + z = 0 2x + y + z = 0 3x + 2y − 2z = 0 b. (1 −a)x + 2y = 0 2x + (4 −a)y = 0 Bài 32 Hãy biểu diễn vectơ ε thành tổ hợp tuyến tính của α, β, γ. a. ε = (1, 2, 0), α = (1, 2, −3), β = (2, 5, −1), γ = (0, 1, 2). b. ε = (0, 0, 0), α = (2, 3, 3), β = (4, 9, 1), γ = (1, 3, −1). Bài 33 Tìm số thực r để hệ các véctơ sau phụ thuộc tuyến tính trong R 3 : α = (r, −1 2 , −1 2 ), β = ( −1 2 , r, −1 2 ), γ = ( −1 2 , −1 2 , r). Bài 34 Hãy xác định r sao cho ε là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. a. ε = (9, 12, r), α = (3, 4, 2), β = (6, 8, 7). b. ε = (7, −2, r), α = (2, 3, 5), β = (3, 7, 8). c. ε = (4, −1, −3), α = (2, −3, r), β = (−1, 4, 2). d. ε = (5, 3, r), α = (1, 2, 3), β = (−1, 0, 1), γ = (1, 2, 0). e. ε = (1, 3, 5), α = (3, 2, 5), β = (2, 4, 7), γ = (5, 6, r). Bài 35 Các hệ vectơ sau có phải là cơ sở của không gian vectơ R 3 không? a. α 1 = (0, 0, 1), α 2 = (0, 1, 1), α 3 = (1, 1, 1). b. β 1 = (4, 1, −5), β 2 = (−3, 2, 1), β 3 = (−2, 5, −3). Bài 36 Với giá trị nào của x thì hệ vectơ α 1 = (x, 1, 0), α 2 = (1, x, 1), α 3 = (0, 1, x) lập thành cơ sở của không gian vectơ R 3 . Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 7 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 37 Cho hai hệ vectơ: (1) α 1 = (0, 1, 0, 2), α 2 = (1, 1, 0, 1), α 3 = (1, 2, 0, 1), α 4 = (−1, 0, 2, 1), (2) β 1 = (1, 0, 2, −1), β 2 = (0, 3, 0, 2), β 3 = (0, 1, 3, 1), β 4 = (0, −1, 0, 1) trong không gian vectơ R 4 . a. Chứng minh rằng chúng là hai cơ sở của R 4 . b. Tìm tọa độ của α = (2, 0, 4, 0) đối với từng cơ sở trên. Bài 38 Trong R − không gian vectơ R 4 , tính hạng của các hệ vectơ sau: a. α 1 = (1, 2, 1, 3), α 2 = (0, −1, 1, 3), α 3 = (0, 0, 2, 6), α 4 = (8, 7, 3, 9). b. α 1 = (−1, 4, 8, 12), α 2 = (2, 1, 3, 1), α 3 = (−2, 8, 16, 24), α 4 = (1, 1, 2, 3). c. α 1 = (0, 0, 0, 0), α 2 = (1, 0, −1, 3), α 3 = ( √ 3 3 , 0, − √ 3 3 , √ 3). d. α 1 = (0, −3, 12, 3), α 2 = (3 √ 2, − √ 2 2 , 2 √ 2, √ 2 2 ), α 3 = (6, −1, 4, 1). Bài 39 Cho hai hệ véc tơ trong không gian véc tơ R 4 sau: α 1 = (0, 1, 0, 2), α 2 = (1, 1, 0, 1), α 3 = (1, 2, 0, 1), α 4 = (−1, 0, 2, 1) (1) β 1 = (1, 0, 2, −1), β 2 = (0, 3, 0, 2), β 3 = (0, 1, 3, 1), β 4 = (0, −1, 0, 1) (2) a. Chứng minh (1) và (2) là hai cơ sở của R 4 . b. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2). c. Tìm tọa độ của α = (2, 0, 4, 0) đối với cơ sở (2). d. Tìm tọa độ của α đối với cơ sở (1). Bài 40 Trong các ánh xạ sau đây ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính: a. f : R 3 → R 2 , f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 , −x 3 ) b. f : R 2 → R 3 , f(x 1 , x 2 ) = (x 2 , x 1 + 2x 2 , −x 1 ) c. f : R 3 → R 2 , f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 − x 3 , x 3 + x 2 + 1) d. f : R 2 → R 2 , f(x 1 , x 2 ) = (x 1 x 2 , x 1 + x 2 ) e. f : R → R 3 , f(x) = (x 2 , x, 0) f. f : R 3 → R 2 , f(x, y, z) = (2xy, 6x + y −z) Bài 41 Tìm ma trận đối với các cơ sở chính tắc của các ánh xạ tuyến tính sau: Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 8 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng a. f : R 2 → R f(x, y) = x + y. b. f : R 3 → R f(x, y, z) = 2x −3y + z. c. f : R 3 → R 2 f(x, y, z) = (2x −y, x + y −2z). d. f : R 3 → R 3 f(x, y) = (2x + z, x − z, y). e. f : R 3 → R 3 f(x, y, z) = (x, 0, 0). Bài 42 Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 → R 2 xác định bởi f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (2x 1 , x 2 − x 3 ). a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính b. Chứng minh rằng hệ véc tơ sau là cơ sở của R 3 : ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (0, 1, 2), ε 3 = (0, 0, 1). c. Chứng minh rằng α 1 = (1, 2), α 2 = (1, 1) là một cơ sở của R 2 . d. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với hai cơ sở (ε) của R 3 và (α) của R 2 . Bài 43 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau đây: a. A = 3 0 0 0 2 0 0 0 −2 b. B = −1 1 2 0 −2 3 0 0 5 c. C = 2 1 1 4 d. D = 3 −2 0 −2 3 0 0 0 5 e. E = 2 1 0 3 2 0 0 0 4 f. F = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 Bài 44 Cho các dạng toàn phương sau: a. q = 3x 2 − 4xy + 7y 2 b. q = x 2 + 7xy − 3y 2 c. q = 8xy − x 2 − 31y 2 d. q = 3x 2 1 − 2x 1 x 2 + 4x 1 x 3 + 5x 2 2 + 4x 2 3 − 2x 2 x 3 f. q = −x 2 + 4xy − 6xz − 4y 2 − 5z 2 a. Kiểm tra tính xác định âm dương của các dạng toàn phương trên bằng cách sử dụng dấu hiệu định thức. b. Kiểm tra tính xác định âm dương của các dạng toàn phương trên bằng cách sử dụng giá trị riêng. c. Hãy so sánh hai phương pháp kiểm tra tính xác định dương, âm của dạng toàn phương bằng dấu hiệu định thức, giá trị riêng và rút ra nhận xét. Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 9 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng PHẦN GIẢI TÍCH Bài 45 Tìm giá cân bằng ¯ P và lượng cân bằng ¯ Q của các mô hình thị trường sau: a. Q d = 24 −2P Q s = −5 + 7P b. Q d = 30 −2P Q s = −6 + 5P c. Q d = 51 −3P Q s = 6P − 10 Bài 46 Tìm giá cân bằng ¯ P và lượng cân bằng ¯ Q của các mô hình thị trường sau: a. Q d = 4 −P 2 Q s = 4P − 1 b. Q d = 3 −P 2 Q s = 6P − 4 c. Q d = 8 −P 2 Q s = P 2 − 2 Bài 47 Cho hàm cung và hàm cầu của mô hình thị trường hai hàng hóa có dạng: Q d 1 = 18 − 3P 1 + P 2 Q s 1 = −2 + 4P 1 Q d 2 = 12 + P 1 − 2P 2 Q s 2 = −2 + 3P 2 Tìm các giá cân bằng ¯ P i và lượng cân bằng ¯ Q i , với i = 1, 2. Bài 48 Cho mô hình thu nhập quốc dân có dạng Y = C + I 0 + G 0 C = a + b(Y − T ) (a > 0, 0 < b < 1) T = d + tY (d > 0, 0 < t < 1) a. Tìm các biến nội sinh, ngoại sinh và tham số của mô hình. b. Tìm nghiệm cân bằng ¯ Y , ¯ T và ¯ C của mô hình. Bài 49 Cho mô hình thu nhập quốc dân có dạng Y = C + I 0 + G C = a + b(Y − T 0 ) (a > 0, 0 < b < 1) G = gY (0 < g < 1) a. Tìm các biến nội sinh, ngoại sinh và tham số của mô hình. b. Nêu ý nghĩa của tham số g. c. Tìm thu nhập quốc dân cân bằng ¯ Y của mô hình và đưa những điều kiện ràng buộc cho các tham số để tồn tại nghiệm. Bài 50 Cho mô hình thị trường máy lạnh trong đó Q d là lượng cầu, Q s là lượng cung, P là giá, M 0 nhiệt độ trung bình trong ba tháng hè, T 0 thuế đánh vào linh kiện nhập khẩu. Q d = 4 − P 2 + M 0 Q s = −1 + P − √ T 0 Q d = Q s a. Xác định biến nội sinh, biến ngoại sinh, tham số, hằng số trong mô hình trên. Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 10 [...]... thu nhập dương Bài 66 Cho hàm cầu có dạng Q = 40 − 2P a Tìm hệ số co giãn của cầu theo giá b Với những giá trị nào của P thì hàm cầu là kém co giãn? Bài 67 Cho hàm cầu có dạng Q = Q(P ) = AP −β Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 12 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng a Tìm hàm cầu ngược P = P (Q) b Tính hệ số co giãn εQP và εP Q Hai hệ số co giãn này liên hệ với nhau như thế nào? Bài 68 Cho hàm.. .Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng b Giá bán máy lạnh trên thị trường là bao nhiêu nếu M0 = 34, T0 = 9 ¯ ¯ Bài 51 Tìm nghiệm cân bằng Y và C của mô hình sau Y = C + I0 + G0 C = 25 + 6Y 1/2 I0 = 16 G0 = 14 Bài 52 Cho các hàm số sau: b f (x) = cx3 c f (x) = −5x−2 e f (u) = 6u1/3 a f (x) = 18x 3 d f (u) = u4/3 4 f f (u) = 7u−5/7 a Tính đạo hàm của các hàm số trên b Tính các giá trị... sau sang dạng hàm logarit tự nhiên (cơ số e): a y = log7 x b y = log8 3x Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long c y = 3 log15 9x d y = 2 log10 y 15 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 86 Tìm đạo hàm của các hàm số sau a y = e2t+4 e y = 2ax 2 +1 b y = e1−7t c y = tet x 2 +bx+c f y = 32 g y = x2 2 d y = t2 e2−t √ x h y = x2 2x Bài 87 Tìm đạo hàm của các hàm số sau a y = ln(8t5 ) b y = ln(5(t + 1)2... trên b Tính các giá trị f ′ (1) và f ′ (2) của các hàm số trên Bài 53 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a (9x2 − 2)(3x + 1) b (3x + 11)(6x2 − 5x) c x2 (4x + 6) d (ax − b)(cx + d) e x3 (2 − 3x)(1 + x) f (x2 − 7)(3x3 − 5)−2 Bài 54 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: x2 + 3 x x4 + 3x2 + 5 c x2 − 1 b 4x x+5 d a ax2 + b cx + d Bài 55 Tính đạo hàm của các hàm số sau: √ a y = (3x − 13) c y = ln(3x4 − x3 ) d y = e... tư năm Bài 92 Xác định tốc độ tăng của y trong các trường hợp sau: a y = Ae0.02t b y = 3et c y = 2t t2 d y = t 3t Bài 93 Cho u = f (t) và v = g(t) là các hàm theo thời gian Chứng minh các tính chất về tốc độ tăng của các hàm sau: v u ru + rv a ruv = ru + rv c ru+v = u+v u+v u v b ru/v = ru − rv d ru−v = ru − rv u−v u−v Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 16 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 94... Y , giá hai hàng hóa khác P1 , P2 b Tính các hệ số co giãn riêng của cầu Qd theo giá P , thu nhập Y , giá hai hàng hóa khác P1 , P2 Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 17 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng c Từ kết quả tính được ở câu (a), (b), hãy nhận xét về hàng hóa đang mua và mối liên hệ của hàng hóa đang mua với hai hàng hóa liên quan được đề cập đến Bài 100 Cho hàm sản xuất Q = 96K 0,3... Toán - Đại học Thăng Long 22 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng Bài 128 Cho một công ty độc quyền có các hàm doanh thu trung bình riêng tính dựa theo các giá riêng như sau: P1 = 63 − 4Q1 P2 = 105 − 5Q2 P3 = 75 − 6Q3 , và hàm tổng chi phí là C = 20 + 15Q, Q = Q1 + Q2 + Q3 a Tìm các mức giá riêng và lượng riêng trong mỗi thị trường để lợi nhuận doanh nghiệp là tối đa b Hãy tính các hệ số co giãn... được Bài 62 Cho các hàm số sau: a f (x) = −x6 + 6 (x > 0) b f (x) = 2x5 + 2x3 + x a Chứng minh rằng các hàm số trên tồn tại hàm ngược f −1 trên mỗi miền cho tương ứng b Tính giá trị của từng hàm ngược f −1 (5) và đạo hàm từng hàm ngược (f −1 )′ (5) Bài 63 Chứng minh rằng hàm chi phí C = Q3 + 2Q + 5 có hàm ngược với mọi Q > 0, gọi hàm ngược đó z = z(C), tính z(8) và z ′ (8) Bài 64 Cho các hàm số sau:... b Vẽ đường AR và M R trên cùng một hệ trục tọa độ và đưa ra kết luận về độ dốc của chúng Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 11 Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng c Hãng này là hãng cạnh tranh hoàn hảo hay độc quyền? Bài 59 Chứng minh trong trường hợp tổng quát rằng: Mỗi đường trung bình tuyến tính sẽ tương ứng với đường cận biên có cùng điểm cắt trên trục tung nhưng có độ dốc gấp đôi đường trung... thể kết luận gì về hệ số co giãn của hàm tổng T tại điểm mà A đạt cực trị b (a > 0, b > 0, c > 0; x c+x của đồ thị hàm số bằng cách xét Bài 72 Cho hàm số y = a − 0) Hãy xác định hình dáng tổng quát a Đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số b Điểm cắt với trục tung, giới hạn của y khi x dần tới vô cùng c Nếu hàm số trên là hàm tiêu dùng thì các hệ số phải thỏa mãn điều kiện gì để có tính hợp lý trong kinh . BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH, GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài 1 Cho các ma trận: A = 3 1 0 −3 5 2 B = 4 1 7. Tính (AB) t , B t A t và cho nhận xét. Bài 3 Cho các ma trận: A = 4 3 − 7 2 0 1 B = 2 −1 5 4 3 −3 Tìm ma trận X sao cho: a. A −2X = B b. 3B −X = A Bài 4 Tìm hai ma trận A ̸= 0 và B ̸= 0. B ̸= 0 sao cho AB = 0. Kết quả này cho ta kết luận gì? Bài 5 Cho đa thức f(x) = x 2 − 5x + 1 và ma trận: A = 1 −1 2 0 . Tính f(A). Bài 6 Cho A và B là hai ma trận vuông thỏa mãn AB = BA.