Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 7 Hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng
Chương 7 HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến dạng, nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu ứng biên trong trạng thái màng là hiệu ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất hiện biến dạng uốn tắt nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng biên như: tại liên kết ngàm, liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,… Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ trong một số trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21]. 7.1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG 7.1.1. Các phương trình cơ bản Khảo sát vỏ trụ tròn có đường kính d chịu tải trọng pháp tuyến đối xứng trục là áp lực pháp tuyến ( ) p x , tại đầu vỏ liên kết ngàm, hình 7-1. Ở vùng xa biên ngàm, vỏ biến dạng tự do và sau biến dạng có đường kính d d+ ∆ , đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng. Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn. Trong mục này sẽ xác định các thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra. Xét vỏ trụ tròn bán kính r , chiều dày δ với tọa độ cong của đường kinh tuyến (đường sinh) xα = và tọa độ cong của đường vĩ tuyến β = ϕ . Do vỏ chịu tải trọng đối 119 Hình 7-1. xứng trục nên nội lực: lực trượt 0S = , lực cắt theo phương vòng 2 0Q Q ϕ = = , mô men xoắn 0H = . Các thành phần nội lực khác không là: theo phương dọc trục vỏ mô men uốn 1 x M M= , lực cắt 1 x Q Q= và theo phương vòng 2 N N const ϕ = = , 2 M M const ϕ = = , hình 7-2. Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lên phương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc N ϕ lên phương pháp tuyến được biểu diễn trên hình 7-2: ( ) . 0 x x x Q rd Q dQ rd N dxd prd dx ϕ ϕ− + ϕ− ϕ+ ϕ = Sau khi biến đổi, nhận được: ( ) x N dQ p x dx r ϕ + = (7.1) và liên hệ vi phân: x x dM Q dx = (7.2) Từ (7.1) và (7.2), có 3 nội lực chưa biết là: N ϕ , x Q và x M nên cần bổ sung một phương trình bằng điều kiện biến dạng. Nghiệm của bài toán nhận được đơn giản hơn khi đưa vào biến mới là chuyển vị theo phương pháp tuyến w . Khi đó, không cần thiết lập thêm điều kiện biến dạng vì từ chuyển vị w có thể biểu diễn các thành phần x M , x dQ dx , N ϕ trong các phương trình (7.1) và (7.2) như đối với dầm có chiều rộng 1rdϕ = , hình 7-3, với độ cứng: 120 Hình 7-2. Hình 7-3. ( ) 3 2 12 1 E K EJ δ = = −µ (7.3a) Với dầm, có các liên hệ vi phân: ( ) 4 4 d w K p x dx = − (7.3b) 3 3 x d w K Q dx = (7.3c) 2 2 x d w K M dx = (7.3d) suy ra, thành phần thứ nhất của (7.1) có dạng: 4 4 x dQ d w K dx dx = (7.4) Thành phần thứ hai chứa N ϕ của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến w như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo phương vòng ϕ ε , hình 7-4, được xác định bằng công thức: ( ) 2 2 2 r w r s w s r r ϕ π + − π ∆ ε = = = π (7.5) với s và s ∆ là chu vi và gia số chu vi vỏ trụ tròn trước và sau biến dạng. Xét trường hợp lực dọc theo phương dọc trục 0 x N = . Theo lý thuyết đàn hồi: N E E ϕ ϕ ϕ σ ε = = δ , thay ϕ ε từ (7.5) vào nhận được: w N E E r ϕ ϕ = δε = δ (7.6) thay (7.4), (7.6) vào (7.1), sau khi biến đổi: 121 Hình 7-4. ( ) 2 IV E Kw w p x r δ + = (1) chia cho K và đặt: ( ) 2 4 2 2 2 12 1 4 E Kr r −µ δ β = = δ (7.7a) với vật liệu thép 0,3µ = nên 1,28 r β = δ (7.7b) chú ý đến (7.7a) thì phương trình (1) có dạng: ( ) 4 4 IV p x w w K + β = (7.8) Phương trình (7.8) có dạng của phương trình vi phân dầm chịu uốn trên nền đàn hồi. 7.1.2. Các phương trình cơ bản có xét lực dọc và nhiệt độ Xét trường hợp vỏ trụ tròn, ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến như đã xét trong mục 7.1.1, vỏ còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và sự thay đổi nhiệt độ. Giới hạn xét trường hợp nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều dày vỏ, hình 7-5. Nhiệt độ tại mặt trung bình: 0 0 0 1 2 2 s t t t + = (7.9) Gia số nhiệt độ 0 t∆ giữa mặt trong có nhiệt độ 0 1 t và nhiệt độ mặt ngoài 0 2 t của vỏ là: 0 0 0 1 2 t t t∆ = − (7.10) Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình khoảng cách z theo phương pháp tuyến: 122 δ o S t o 1 t o 2 t z Hình 7-5. 0 0 0 Z s z t t t= + ∆ δ (7.11) Tương tự như khi xét vỏ chịu tải trọng pháp tuyến, lực dọc N ϕ và x dQ dx trong (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến w . Từ (7.5), khi kể đến sự thay đổi nhiệt độ: 0 t s w t r ϕ α + ε = ( t α là hệ số dãn nở nhiệt) (7.12) Từ lý thuyết đàn hồi: ( ) 1 x N N E ϕ ϕ ε = −µ δ và chú ý đến (7.12), rút ra: 0 t s x w N E t N r ϕ = δ − α + µ ÷ (7.13) Biểu diễn thành phần thứ nhất x dQ dx của (7.1) qua chuyển vị w theo lý thuyết dầm, với ρ là độ cong của dầm: 2 2 1 d w M dx K = = ρ (7.14) Mô men M ở vế phải của (7.14) bằng tổng: x t M M M= + (7.15) với x M là mô men gây ra do tải trọng, còn t M là mô men gây ra do sự thay đổi nhiệt độ. Sự chênh lệch nhiệt độ 0 t∆ gây ra biến dạng: 0 . . x t z t ϕ ε = ε = α ∆ δ (7.16) Từ lý thuyết đàn hồi, ứng suất do sự thay đổi nhiệt độ: 123 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 1 1 t t xt x Ez t Ez t E ϕ α ∆ α ∆ σ = ε + µε = +µ = δ −µ −µ δ − µ (7.17) Mô men uốn do nhiệt độ gây ra: ( ) /2 0 /2 1 t xt t t M zdz K δ −δ ∆ = σ = +µ α δ ∫ (7.18) Chú ý đến (7.15) và thay (7.18) vào (7.14): ( ) 2 0 2 1 x t d w t K M K dx ∆ = + +µ α δ , rút ra: ( ) 2 0 2 1 x t d w t M K dx ∆ = − +µ α δ (7.19) Lực cắt x Q xác định bằng công thức: ( ) ( ) 0 3 3 1 t x x d t dM d w Q K dx dx dx ∆ + µ α = = − δ (7.20) ( ) ( ) 2 0 4 4 2 1 t x d t dQ d w K dx dx dx ∆ + µ α = − δ (7.21) Thay (7.21), (7.13) vào (7.1) nhận được phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu lực dọc trục, tải trọng pháp tuyến p và sự thay đổi nhiệt độ: ( ) 2 0 0 4 4 4 2 1 4 x t s t d t N E t d w p p w dx K Kr Kr dx K + ∆ δα +µ + β = −µ − + α = δ (7.22) Phương trình này có dạng như (7.8) chỉ khác thay p bằng p + : ( ) ( ) 2 0 0 2 1 t x t s d t K N E t p p r r dx + ∆ +µ α µ δα = − + + δ (7.23) Giải phương trình (7.8) hoặc (7.22) xác định được chuyển vị pháp tuyến w . Từ chuyển vị pháp tuyến w xác định được lực cắt x Q theo (7.3c), mô men uốn x M theo 124 (7.3d), lực dọc N ϕ theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng M ϕ được xác định tương tự như (7.19) theo công thức: ( ) 2 0 2 1 t d w t M K dx ϕ ∆ = µ − +µ α δ (7.24) 7.1.3. Nghiệm phương trình thuần nhất Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đối xứng trục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng (7.22). Có thể biểu diễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung: 4 4 4 4 d w p w dx K + + β = (7.25) Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng của nghiệm tổng quát phương trình vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất. Nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng, [21]: * * * * 1 2 3 4 . . . .w A Y B Y C Y D Y= + + + (7.26) trong đó: * A , * B , * C , * D là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên. 1 .Y cos x ch x= β β ( ) 2 1 . . 2 Y ch x sin x sh x cos x= β β + β β 3 1 . 2 Y sin x sh x= β β ( ) 4 1 . . 4 Y ch x sin x sh x cos x= β β − β β (7.27) Các hàm này có tính chất: ( ) 4 3 dY Y d x = β ; ( ) 3 2 dY Y d x = β ; ( ) 2 1 dY Y d x = β ; ( ) 1 4 4 dY Y d x = − β (7.28a) ( ) 1 0 1Y = ; ( ) ( ) ( ) 2 3 4 0 0 0 0;Y Y Y= = = (7.28b) nên từ (7.26): 125 ( ) * * * * 4 1 2 3 .4 . . . dw A Y B Y C Y D Y d x = − + + + β (7.29a) ( ) 2 * * * * 3 4 1 2 2 .4 .4 . . d w A Y B Y C Y D Y d x = − − + + β (7.29b) Chú ý đến (7.26), (7.28), (7.29) các hằng số tích phân được xác định tại 0x = qua các thông số ban đầu: ( ) * 0A w= ( ) ( ) * 0dw B d x = β ( ) ( ) 2 * 2 0d w C d x = β ( ) ( ) 3 * 3 0d w D d x = β (7.30) 7.1.4. Tính vỏ trụ tròn ngắn - Phương pháp thông số ban đầu Xét vỏ trụ tròn chịu tải trọng p + , hình 7-6, nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng (7.31): ( ) * * * * 1 2 3 4 4 . . . . 4 p w x A Y B Y C Y D Y K + β = + + + + β ( ) ( ) ' * * * * 4 1 2 3 4 . . . .w x A Y B Y C Y D Yβ = β − + + + ( ) ( ) ( ) 2 0 2 * * * * 3 4 1 2 2 4 . 4 . . . 1 x t d w t M x K K A Y B Y C Y D Y K dx ∆ β = = β − − + + − −µ α δ ( ) ( ) 3 3 * * * * 2 3 4 1 3 4 . 4 . 4 . . x dM d w Q x K K A Y B Y C Y D Y dx dx β = = = β − − − + (7.31a ÷ d) Trong (7.31a) đã giả thiết ( ) p x const + = và 4 β xác định theo (7.7a), nên: 2 4 2 4 p p p r E K E K Kr + + + = = δ β δ (7.32) 126 Hình 7-6. Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại 0x = , hình 7-6, với các thông số ban đầu: ( ) 0 0w w= ( ) 0 ' 0 'w w= ( ) " 0 0 0 1 t M K w t +µ α = − ∆ δ ''' 0 0 .Q K w= trong đó 0 M , 0 Q xác định từ (7.19) và (7.20). Thay các thông số ban đầu vào (7.31) và với giá trị các hàm 1 Y , 2 Y , 3 Y , 4 Y tại 0x = , nhận được các hằng số tích phân: * 0 4 4 p w A K + = + β rút ra: 2 * 0 0 0 4 4 p p r A w w K E + + = − = − ÷ β δ ' * 0 .w B= β rút ra: * ' 0 1 B w= β ( ) 2 * 0 0 1 t M K C t +µ α = β − ∆ δ rút ra: ( ) * 0 0 2 1 1 t K C M t K +µ α = + ∆ ÷ β δ 3 * 0 Q K D= β rút ra: * 0 3 1 D Q K = β Thay các hằng số tích phân vào (7.31), nhận được phương trình chuyển vị, nội lực của vỏ ngắn theo (7.33): ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 0 1 0 2 0 3 0 4 1 2 3 1 1 1 1 1 t K p r w x w Y w Y M t Y Q Y Y K K E + +µ α β = + + + ∆ + + − β β δ β δ 127 ( ) ( ) ' ' 0 0 4 0 1 0 2 0 3 4 2 3 1 1 1 4 t K p w x w Y w Y M t Y Q Y Y K K K + +µ α β = − β + + + ∆ + + β δ β β ( ) ( ) ( ) 0 2 ' 0 0 3 0 4 0 1 0 2 3 2 1 1 4 4 1 t x t K p t M x K w Y K w Y M t Y Q Y Y K + +µ α ∆ β = − β − β + + ∆ + + − +µ α δ β β δ ( ) ( ) 3 2 ' 0 0 2 0 3 0 4 0 1 2 1 4 4 4 t x K p Q x K w Y K w Y M t Y Q Y Y + +µ α β = − β − β − β + ∆ + + δ β (7.33a ÷ d) Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển vị và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có thể áp dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ. Dưới đây áp dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường hợp: 1. Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải trọng pháp tuyến p + phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7. Biên trái là ngàm nên: ( ) 0 0w = ( ) ' 0 0w = (1) Thông số ban đầu 0 M , 0 Q được xác định từ điều kiện biên phải tại x l = : ( ) 0w l = ( ) ' 0w l = (2) Sử dụng (7.33) với điều kiện biên (1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 3 0 4 1 2 3 1 1 1 1 t K p r w x M t Y x Q Y x Y x K K E + +µ α β = + ∆ β + β + − β β δ β δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 2 0 3 4 2 3 1 1 1 t K p w x M t Y x Q Y x Y x K K K + +µ α β = + ∆ β + β + β β δ β β Sử dụng điều kiện biên (2) tại x l= : 128 Hình 7-7. [...]... 2 và lực cắt X 1 thì theo (7. 61), (7. 65) xác định được mô men uốn tại đáy: Mr = p 2 ( r − ρ2 ) ( 3 + µ ) − m 16 (7. 71) và theo hình 7- 1 7, m = X 2 là giá trị mô men uốn tại vị trí liên kết vỏ trụ và đáy phẳng Tương tự, từ (7. 60) và (7. 64) xác định được chuyển vị pháp tuyến w 7. 3 HIỆU ỨNG BIÊN KHI LIÊN KẾT VỎ TRỤ TRÒN VỚI VỎ CẦU, VỎ HÌNH XUYẾN Trong mục 7. 2 đã nghiên cứu hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn. .. (7. 48a) (7. 48b) (7. 48c) (7. 48d) (7. 48e) (7. 48f) Hiệu ứng uốn có đặc trưng cục bộ, tắt nhanh Khi β x ≥ 2 hay x > 2 > 1,56 rδ β tính từ vị trí tác dụng của tải trọng thì các giá trị chuyển vị, nội lực gây ra do uốn tắt nhanh Dưới đây xét các bài toán hiệu ứng biên khi liên kết 02 vỏ trụ tròn; vỏ trụ tròn với đáy là vỏ cầu, vỏ trụ tròn với đáy là vỏ xuyến, vỏ trụ tròn với chỏm cầu có vành 1 37 tăng cứng... pháp lực và các phương trình chuyển vị, nội lực của vỏ trụ dài (7. 42), [21] 7. 2 HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2 vỏ trụ tròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trong và mặt ngoài vỏ 7. 2.1 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau Xét 2 vỏ trụ tròn có... kính và chiều dày vỏ 7. 2.4 Vỏ trụ có vành tăng cường Vỏ trụ có vành tăng cường là kết cấu thường được sử dụng trong thực tế như khi vỏ chịu tác dụng tải trọng cục bộ tại gối tựa hoặc khi vỏ có thể bị mất định Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải bán chịu tác dụng của tải trọng p + Vỏ trái và vỏ phải có bán của ổn kính r , chiều dày vỏ trái... dày vỏ trái r1 , δl và vỏ phải r2 , δ p liên kết với nhau, hình 7- 1 1 Do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục và xem là vỏ trụ dài nên khi chưa liên kết, vỏ có biến dạng tự do tương ứng với chuyển vị ∆rl = wl ở vỏ trái và và chuyển vị ∆r2 = wp ở vỏ phải Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ ∆ = ∆r2 − ∆r1 là nguyên nhân gây nên biến dạng uốn cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, ... trụ tròn Trong mục 7. 3 sẽ xét cách giải gần đúng khi liên kết vỏ trụ tròn với vỏ cầu, vỏ trụ tròn với với vỏ hình xuyến bằng cách gần đúng thay vỏ cầu, vỏ hình xuyến bằng vỏ trụ, [21] 7. 3.1 Liên kết vỏ trụ tròn với chỏm cầu Xét vỏ trụ tròn bán kính r , chiều dày δv liên kết với đáy là vỏ cầu chiều dày δk , chịu tải trọng pháp tuyến p dụng phương pháp lực với hệ cơ bản số cơ bản trên hình 7- 2 0 Hệ phương... xác định theo (7. 3) và (7. 7a): 151 Kk = E δ3 k 12 ( 1 − µ 2 ) β = 4 k 3( 1 − µ2 ) δ2 R 2 k (7. 74a) Theo hình 7- 2 0.1a, cần xác định chuyển vị của vỏ trụ thay thế theo phương lực đơn vị X 1 vuông góc với vỏ trụ nghĩa là bằng hình chiếu của chuyển vị theo phương pháp tuyến của vỏ trụ thay thế (7. 73) nhân với sinα 0 : sin 2α 0 2 K k β3 k (7. 75a) * Chuyển vị do lực X 1 = 1 tác dụng lên vỏ trụ bán kính r... hưởng của độ lệch tâm đến ứng suất uốn lớn hơn trường hợp liên kết 2 vỏ trụ tròn có cùng mặt trung bình 7. 2.3 Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt 141 0 0 độ với nhiệt độ phía trong vỏ t1 và phía ngoài vỏ t2 với giả thiết nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều 0 0 dày vỏ và t1 > t2 , hình 7- 1 4 Bài... đến (7. 7a), sau khi biến đổi, nhận được: X2 = p+ 4βδ 2β2 + A X 1 = 2 X 2β = p+ 2δ β+ A (7. 57) Từ (7. 57) , có thể thấy rằng, độ cứng A của vành càng nhỏ thì X 2 càng nhỏ Khi A = 0 thì X 1 = X 2 = 0 Khi A → ∞ thì nhận được giá trị lớn nhất như trường hợp vỏ liên kết ngàm theo (7. 46): 146 X2 = p+ 2β2 X1 = p+ β (7. 58) 7. 2.5 Vỏ trụ liên kết với đáy phẳng Xét vỏ trụ tròn liên kết với đáy phẳng, hình 7- 1 7 Hệ... dài vỏ l > 3 r δ mô men uốn không phụ thuộc vào chiều dài vỏ và có giá trị: M x = F và tắt rất nhanh về hai phía 4β 7. 1.5 Tính vỏ trụ tròn dài Ở mục trên đã chỉ ra rằng, khi chịu tải trọng đối xứng trục, nội lực trong vỏ không phụ thuộc chiều dài vỏ khi l > 3 r δ và hiệu ứng uốn chỉ xuất hiện trong vùng tương đối hẹp với chiều rộng khoảng 1,56 rδ , ngoài vùng này ứng suất do uốn tắt nhanh và là ứng . Chương 7 HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến dạng, nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu. kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,… Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ trong một. số trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21]. 7. 1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG 7. 1.1. Các phương trình cơ bản Khảo sát vỏ trụ tròn có đường kính d