Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 5 Lý thuyết mô ment tổng quát
Chương LÝ THUYẾT MÔ MEN TỔNG QUÁT Trong chương giới thiệu phương trình cơng thức lý thuyết mơ men tổng qt tính vỏ mỏng đàn hồi xây dựng sở lý thuyết đàn hồi giả thiết tính tốn Kirchhoff-Love Tương tự giải toán học nói chung, tốn vỏ giải từ 03 nhóm phương trình: nhóm phương trình hình học, nhóm phương trình vật lý, nhóm phương trình cân kết hợp với điều kiện biên 5.1 PHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC Nhóm phương trình hình học biểu diễn mối quan hệ biến dạng chuyển vị, [16] 5.1.1 Véc tơ chuyển vị điểm Giả sử mặt trung bình, sau biến dạng, điểm P dịch chuyển đến điểm P’ Véc tơ chuyển vị điểm P: r r r r u = u.e1 + v.e2 + we3 (5.1) r với u , v , w thành phần chuyển vị theo phương véc tơ đơn vị e1 , r r e2 , e3 Sau biến dạng, điểm P z cách mặt trung bình khoảng cách z theo phương r pháp tuyến e3 điểm P, dịch chuyển đến điểm P 'z Véc tơ chuyển vị điểm Pz : r r r r u z = u z e1 + v z e2 + w z e3 (5.2) đó, u z , v z , w z thành phần chuyển vị theo phương véc tơ đơn r r r vị e1 , e2 , e3 Biểu diễn véc tơ chuyển vị điểm P z theo (5.2) qua véc tơ chuyển vị (5.1) điểm P mặt trung bình, [16]: r r r r u z = u + z ( ϑ1.e1 + ϑ2 e2 ) (5.3) Khai triển (5.3), nhận thành phần chuyển vị điểm P z : u z = u + zϑ1 v z = v + zϑ2 (5.4) wz = w r r r ϑ1 , ϑ2 góc xoay e3 mặt phẳng vng góc với e2 e1 , hình 5-1, với: ϑ1 = − ∂w u + A ∂α r1 ϑ2 = − ∂w v + B ∂β r2 (5.5) 79 r Hình 5-1 Góc xoay ϑ1 , ϑ2 véc tơ pháp tuyến e3 5.1.2 Các thành phần biến dạng Theo lý thuyết mặt cong, biết 06 hệ số E , F , G dạng bình phương thứ L , M , N dạng bình phương thứ hai xác định mặt cong không gian trước biến dạng Sau biến dạng, 06 hệ số đổi thành E ' , F ' , G ' L ' , M ' , N ' thỏa mãn điều kiện Codaxi-Gauss xác định mặt cong không gian sau biến dạng Song, thay cho 06 hệ số sử dụng 06 đại lượng biến dạng, [16] Sáu thành phần biến dạng vỏ gồm: ε1 , ε - độ dãn dài tương đối theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ α β ; γ - góc trượt mặt cong; χ1 , χ χ - độ cong uốn đường cong tọa độ α β độ cong xoắn Trong hệ tọa độ cong chính, thành phần biến dạng xác định theo công thức, [16]: ε1 = ∂u ∂A w + v+ A ∂α A.B ∂β r1 γ= B ∂ v A ∂ u ÷+ ÷ A ∂α B B ∂β A ε2 = ∂u ∂B w + u+ B ∂β A.B ∂α r2 (5.6 ÷ 7) (5.8) χ1 = − (5.9) χ2 = − χ=− ∂ ∂w u ∂A ∂w v − ÷− − ÷ A ∂α A ∂α r1 A.B ∂β B ∂β r2 ∂ ∂w v ∂B ∂w u − ÷− − ÷ B ∂β B ∂β r2 A.B ∂α A ∂α r1 (5.10) ∂ w ∂A ∂w ∂B ∂w ∂u ∂A ∂v ∂B − − − u ÷+ − v÷ ÷+ A.B ∂α∂β A ∂β ∂α B ∂α ∂β r1 B ∂β A.B ∂β r2 A ∂α A.B ∂α (5.11) Các thành phần biến dạng vỏ hàm chuyển vị u , v , w yếu 80 tố hình học mặt cong A , B , r1 , r2 Tương tự chuyển vị, biến dạng dài tương đối góc trượt phân tố mặt cong cách mặt trung bình khoảng cách z xác định công thức, [16]: z ε1 = z ε2 = γz = 1+ z r1 1+ z r2 ( ε1 + zχ1 ) (5.12) ( ε + zχ ) (5.13) 1 z z2 + zχ 1 + + ÷ γ 1 − ÷ z z r1r2 r1 r2 + ÷1 + ÷ r1 r2 Nếu bỏ qua thành phần (5.14) z z , so với đơn vị (5.12) ÷ (5.14) có dạng: r1 r2 z ε1 = ε1 + z.χ1 (5.15) ε = ε + z.χ (5.16) γ z = γ + z.χ (5.17) z 5.1.3 Phương trình tương thích biến dạng Tương tự điều kiện Codaxi-Gauss, phương trình tương thích biến dạng A.L Gonzenvayze biểu thị điều kiện liên tục mặt trung bình sau biến dạng Trong hệ tọa độ cong chính, 03 phương trình tương thích biến dạng có dạng: − ∂ ( B.χ ) ∂ ( A.χ1 ) ∂B ∂A ∂ ( A.ε1 ) ∂A ∂ ( B.γ ) r2 ∂B + −χ − χ2 + − + ε2 + + γ =0 ∂α ∂β ∂α ∂β r2 ∂β ∂β ∂α r1 ∂α χ χ1 ∂ ∂ ( Bε ) ∂ ( Aγ ) ∂A ∂B + − + + γ + ε1 − − r1 r2 A.B ∂α A ∂α ∂β ∂β ∂α − ∂ ∂ ( B γ ) ∂ ( Aε1 ) ∂B ∂A − + γ + ε2 = ∂β B ∂α ∂β ∂α ∂β ∂ ( Bχ ) ∂ ( Aχ ) ∂B ∂ ( Aγ ) r1 ∂A ∂A ∂B ∂ ( Bε ) + ε1 + + γ =0 − −χ − χ1 + − ∂α ∂α ∂β r2 ∂β ∂α ∂β ∂β ∂α r1 (5.18) Ba phương trình tương thích biến dạng (5.18) biểu diễn quan hệ thành phần biến dạng yếu tố hình học mặt cong A , B , r1 , r2 Trong lý 81 thuyết tính tốn vỏ, ba phương trình sử dụng ba phương trình cân tương tự tĩnh - động 5.2 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG 5.2.1 Ứng suất nội lực vỏ Các thành phần ứng suất, nội lực phân tố vỏ biểu diễn hình 5-2 Hình 5-2 Ứng suất nội lực vỏ Véc tơ ứng suất phân tố vỏ, áp dụng qui luật đối ngẫu τ12 = τ21 , có dạng: { σ} = { σ1 σ2 τ12 τ13 τ 23 } T (5.19) đó: σ1 , σ - ứng suất pháp tiết diện biên α = const β = const ; τ12 , τ13 - ứng suất tiếp tiết diện biên α = const ; τ21 , τ23 - ứng suất tiếp tiết diện biên β = const ; Chiều dương ứng suất nội lực hình 5-2 Véc tơ nội lực vỏ: { N } = { N1 N2 S1 S2 Q1 Q2 M1 M2 H1 H 2} T đó: N1 , N lực dọc tiết diện biên α = const β = const ; S1 lực trượt tiết diện biên α = const ; S lực trượt tiết diện biên β = const ; 82 Q1 lực cắt tiết diện biên α = const ; Q2 lực cắt tiết diện biên β = const ; M mô men uốn tiết diện biên α = const ; M mô men uốn tiết diện biên β = const ; H1 mô men xoắn tiết diện biên α = const ; H mô men xoắn tiết diện biên β = const ; Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu: S = S1 = S H = H1 = H , véc tơ nội lực có dạng: { N } = { N1 N2 S Q1 Q2 M1 M2 H} T (5.20) Các lực N1 , N , S gọi nhóm lực màng Nội lực vỏ nội lực phân bố đơn vị chiều dài Các thành phần nội lực vỏ xác định từ thành phần ứng suất theo công thức: δ/ z σ1 1 + ÷ dz r2 −δ / ∫ N1 = δ/2 z σ 1 + ÷ ∫/ r1 dz −δ N2 = S1 = ∫ (5.23a) δ/ z τ21 1 + ÷ dz r1 −δ / ∫ M1 = M2 = (5.23b) δ/2 z σ1 1 + ÷zdz r2 −δ / ∫ (5.24) δ/ z σ + ÷zdz r1 −δ / ∫ (5.25) δ/2 z τ12 1 + ÷zdz r2 −δ / ∫ H1 = H2 = Q1 = (5.22) δ/ z τ12 1 + ÷ dz r2 −δ / S2 = (5.21) (5.26a) δ/ z τ21 1 + ÷zdz r1 −δ / ∫ (5.26b) δ/2 z τ13 1 + ÷ dz r2 −δ / ∫ (5.27) 83 Q2 = δ/2 z τ23 + ÷ dz r1 −δ / ∫ (5.28) Khi giải toán vỏ nhận ứng suất nội lực Ứng suất nội lực gây xác định cơng thức sau, hình 5-3, với δ chiều dày vỏ: Hình 5-3 Nội lực ứng suất vỏ Ứng suất pháp - Do lực màng: σ1 = N1 δ N2 δ M z σ1 = J 6M σ2 = ± 2 δ σ2 = 1.δ3 : 12 δ 6M Ứng suất max z = ± : σ1 = ± 2 δ - Do mô men uốn, với J = (5.29) σ2 = M z J (5.30) (5.31) Ứng suất tiếp - Do lực trượt S1 S2 : τ12 = S1 δ τ21 = δ 6H τ21 = ± 2 δ S2 δ (5.32) - Do mô men xoắn H1 H z = ± : 6H1 (5.33) δ2 - Do lực cắt Q1 Q2 , xem ứng suất tiếp phân bố theo chiều dày vỏ có qui τ12 = ± 84 luật parabon 3Q1 z2 τ13 = 1 − ÷ 2δ δ 3Q2 z2 τ23 = 1 − ÷ 2δ δ (5.34) Ứng suất max z = max τ13 = 3Q1 2δ τmax = 23 3Q2 2δ (5.35) 5.2.2 Phương trình cân vỏ Xét cân phân tố vỏ, hình 5-2 Sau biến đổi áp dụng qui luật đối ngẫu, hệ 05 phương trình cân có dạng: ∂ ( BN1 ) ∂B ∂ ( A S ) Q − N2 + + AB + ABp1 = ∂α ∂α A ∂β r1 (5.36a) ∂ ( AN ) ∂A ∂ ( B S ) Q − N1 + + AB + ABp2 = ∂β ∂β B ∂α r2 (5.36b) N N ∂ ( BQ1 ) ∂ ( AQ2 ) − + ÷+ + + p3 = r2 AB ∂α ∂β r1 (5.36c) ∂ ( B H ) ∂ ( AM ) ∂A + − M1 − ABQ2 = B ∂α ∂β ∂β (5.36d) ∂ ( A H ) ∂ ( BM ) ∂B + − M2 − ABQ1 = A ∂β ∂α ∂α (5.36e) Phương trình cân thứ sáu ∑M z = S1 − S + H1 H + = đồng r1 r2 thức, nên hệ phương trình cân phân tố vỏ cịn phương trình dạng (5.36) Hệ phương trình cân biểu thị quan hệ nội lực, ngoại lực tham số hình học mặt cong Hệ 05 phương trình cân (5.36) dẫn hệ 03 phương trình cách khử Q1 , Q2 từ phương trình (d), (e) thay vào 03 phương trình đầu (5.36), nhận (5.37): 2 ∂ ( BN1 ) ∂ ( A S ) ∂B ∂ ( BM ) ∂ ( A H ) ∂B + ABp1 = + − N2 + + − M2 ∂α A ∂β ∂α r1 ∂α A ∂β ∂α ∂ ( AN ) ∂ ( B S ) ∂A + − N1 + ∂β B ∂α ∂β r2 ∂ ( AM ) ∂ ( B H ) ∂A + − M + ABp2 = B ∂α ∂β ∂β 85 N1 N ∂ ∂ ( BM ) ∂ ( A H ) ∂B + + − + − M2 r1 r2 AB ∂α A ∂α A ∂β ∂α ∂ ∂ ( AM ) ∂ ( B H ) ∂A + + − M − p3 = ∂β B ∂β B ∂α ∂β (5.37a,b,c) 5.3 PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ Khi áp dụng qui luật đối ngẫu, nội lực vỏ xác định qua biến dạng: N1 = Eδ ( ε1 + µε ) − µ2 M = D p ( χ1 + µχ ) N2 = Eδ ( ε2 + µε1 ) − µ2 M = D p ( χ + µχ1 ) S = G.δ.γ H = Dp ( − µ ) χ (5.38) Ngược lại, quan hệ biến dạng - nội lực: ε1 = ( N1 − µN ) Eδ ε2 = ( N − µN1 ) Eδ χ1 = 12 ( M − µM ) E δ3 χ2 = 12 ( M − µM ) E δ3 2( 1+ µ) S Eδ 12 ( + µ ) χ= H E δ3 γ= (5.39) Tương tự mỏng, lực cắt Q1 , Q2 vỏ xác định từ phương trình cân Bài tốn vỏ có 17 ẩn số: - 03 thành phần chuyển vị: u , v , w ; - 06 thành phần biến dạng: ε1 , ε , γ , χ1 , χ , χ ; - 08 thành phần nội lực: N1 , N , S , M , M , H , Q1 , Q2 thiết lập được: - 05 phương trình cân dạng (5.36); - 06 phương trình hình học (5.6) ÷ (5.11) - 06 phương trình vật lý (5.38) (5.39) Như vậy, số lượng ẩn số số lượng phương trình thiết lập nên toán vỏ toán tĩnh định 5.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN Đối với tốn vỏ, phương trình vi phân cân rút gọn phương trình vi phân cấp Do đó, biên tương ứng với đường cong tọa độ α đường cong tọa độ β cần điều kiện biên 5.4.1 Biên tự Xét điều kiện biên tự trùng với đường cong tọa độ β , α = const , hình 5-4 Điều kiện biên tĩnh học: N1 = S1 = Q1 = H1 = M = Song, toán vỏ, 86 biên cần điều kiện biên Tương tự toán tấm, Kirchhoff kết hợp cặp ngẫu lực mô men xoắn H1 với Q1 mô men xoắn H1 với S1 Hình 5-4 Biên tự Trên biên trùng với đường cong tọa độ β lấy điểm C1 , C2 C3 cách dS Điểm D1 , D2 điểm cung C1C2 , C2C3 Mô men xoắn điểm D1 H1 điểm D2 H1 + ∂H1 dS2 Hợp lực mô men xoắn phân bố ∂S2 cung C1C2 H1dS phân thành cặp ngẫu lực tập trung đặt điểm C1 , C2 có giá trị T1 = H1 Tương tự, cặp ngẫu lực tập trung đặt điểm C2 , C3 có giá trị T2 = H1 + ∂H1 dS Chiếu lực T1 , T2 lên phương pháp tuyến (trùng với ∂S phương Q1 ) phương tiếp tuyến (trùng với phương S1 ) điểm C2 , nhận được: ∆Q1 = ( T2 − T1 ) cos ∆S1 = ( T2 + T1 ) sin ∆S1 = d ϕ ∂H1 ∂H1 = dS Lực cắt phân bố tương ứng: ∆Q1 = ∂S ∂S dS dϕ ∂H H ∂H1 = H1 + dS ÷ = dS + dS Bỏ qua VCB bậc hai, ∂S r2 ∂S 2r2 H1 H dS2 Lực trượt phân bố tương ứng: ∆S1 = Kết hợp Q1 với ∆Q1 S1 r2 r2 với ∆S1 : S1 = S1 + ∆S1 = S1 + H1 ∂H1 ∂H1 = Q1 + , Q1 = Q1 + ∆Q1 = Q1 + Như vậy: r2 ∂S B.∂β Biên trùng với đường cong tọa độ β , α = const N1 = M1 = S1 = S1 + H1 ∂H1 = Q1 = Q1 + =0 r2 B.∂β (5.40a) Biên trùng với đường cong tọa độ α , β = const 87 N2 = M = S2 = S2 + H2 ∂H = Q2 = Q2 + =0 r1 A.∂α (5.40b) 5.4.2 Biên ngàm Với biên ngàm, hình 5-5a, điều kiện biên chuyển vị góc xoay không Biên trùng với đường cong tọa độ β : u=0 v=0 w=0 ϑ1 = − ∂w u + =0 A ∂α r1 (5.41a) Biên trùng với đường cong tọa độ α : u=0 v=0 w=0 ϑ2 = − ∂w v + =0 B ∂β r2 (5.41b) Hình 5-5 Điều kiện biên a Biên ngàm, b Biên tựa khớp bất động chiều, c Biên tựa khớp chiều 5.4.3 Biên tựa khớp bất động chiều Với biên tựa khớp bất động chiều, điều kiện biên chuyển vị mô men uốn không Biên trùng với đường cong tọa độ β u=0 v=0 w=0 M1 = (5.42a) Biên trùng với đường cong tọa độ α u=0 v=0 w=0 M2 = (5.42b) 5.4.4 Biên tựa khớp di động chiều Với biên tựa khớp di động chiều, điều kiện biên chuyển vị lực dọc, mơ men uốn khơng, hình 5-5c Biên trùng với đường cong tọa độ β v=0 w=0 N1 = M1 = (5.43a) Biên trùng với đường cong tọa độ α u=0 w=0 N2 = M2 = 5.4.5 Biên tựa khớp di động chiều 88 (5.43b) Với biên tựa khớp di động chiều, hình 5-5b, điều kiện biên chuyển vị lực dọc, mô men uốn lực trượt không Biên trùng với đường cong tọa độ β w=0 N1 = S1 = M1 = (5.44a) Biên trùng với đường cong tọa độ α w=0 N2 = S2 = M2 = (5.44b) 5.5 SỰ TƯƠNG TỰ TĨNH - ĐỘNG Sự tương tự tĩnh động đặc điểm lý thuyết tính vỏ mỏng đàn hồi, đại lượng lực ba phương trình cân (5.37) tương tự đại lượng biến dạng ba phương trình tương thích biến dạng (5.18) Hai hệ phương trình có dạng tương tự nhau, thay: ε1 : − M ; ε : M ; χ1 : N ; χ : N1 ; γ : 2H ; χ : − S Do tính chất tĩnh - động nên sử dụng ba phương trình tương thích biến dạng phương trình cân tính tốn vỏ 5.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG CỦA VỎ Thế biến dạng U xác định công thức, [16]: E δ3 U= 24 ( − µ ) Eδ + ( − µ2 ) ∫∫ ( χ + χ ) − ( − µ ) ( χ1χ − χ ) ABd αd β + γ ∫∫ ( ε1 + ε2 ) − ( − µ ) ε1ε2 − ÷ ABd αdβ = U χ + U ε (5.45) Trong (5.45) U χ lượng biến dạng uốn, xoắn U ε lượng biến dạng mặt cong vỏ Nếu biểu diễn biến dạng qua nội lực, biến dạng vỏ có dạng: U= M + M ) − ( − µ ) ( M 1M − H ) ABd αd β + ∫∫ ( Eδ 2 + ∫∫ ( N1 + N ) − ( − µ ) ( N1 N − S ) ABd αdβ = U χ + U ε (5.46) Eδ 5.7 CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TỐN VỎ Trạng thái ứng suất, biến dạng vỏ phụ thuộc vào hình học mặt cong vỏ, vào liên kết tải trọng tác dụng lên vỏ Nội lực vỏ chia thành nhóm: - Nhóm lực màng: N1 , N , S1 , S Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu, nhóm lực màng gồm: N1 , N , S ; 89 - Nhóm lực uốn, xoắn: M , Q1 , M , Q2 , H1 , H Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu, nhóm lực uốn gồm: M , Q1 , M , Q2 , H Nếu vỏ xuất nhóm lực màng trạng thái ứng suất vỏ gọi trạng thái màng (hay trạng thái phi mô men) Nếu vỏ xuất nhóm lực uốn trạng thái ứng suất vỏ gọi trạng thái uốn túy Nếu vỏ xuất nhóm lực màng nhóm lực uốn trạng thái ứng suất vỏ gọi trạng thái mô men tổng quát 5.7.1 Lý thuyết mô men tổng quát Lý thuyết mơ men tổng qt dùng để tính vỏ vỏ tồn nhóm lực màng, nhóm lực uốn, xoắn thỏa mãn: δ rmin ≤ với rmin bán kính cong 20 nhỏ mặt trung bình, δ chiều dày vỏ 5.7.2 Các lý thuyết đơn giản hóa Lý thuyết phi mơ men: sử dụng vỏ tồn nhóm lực màng thỏa mãn: δ 1 < ÷ r 100 250 L Lý thuyết bán mô men: sử dụng cho vỏ trụ dài, tiết diện hở > ÷ với D L , D chiều dài đường kính vỏ Lý thuyết này, xem vỏ chịu uốn theo phương vòng nên bỏ qua M , Q1 theo phương dọc trục vỏ bỏ qua mô men xoắn H Lý thuyết mô men kỹ thuật (V.Z Vlatxop): thừa nhận giả thiết: Bỏ qua chuyển vị u , v tính độ cong uốn χ1 , χ độ cong xoắn χ ; Bỏ qua Q1 , Q2 phương trình cân (a), (b) (5.36); Thừa nhận qui luật đối ngẫu áp dụng khi: δ rmin ≤ 30 Lý thuyết vỏ thoải: thừa nhận giả thiết lý thuyết mô men kỹ thuật độ cong Gauss: K = k1.k2 ; , f lmin ≤ ( f độ vồng vỏ) Chúc bạn thành công 90 ... U ε (5. 46) Eδ 5. 7 CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TỐN VỎ Trạng thái ứng suất, biến dạng vỏ phụ thuộc vào hình học mặt cong vỏ, vào liên kết tải trọng tác dụng lên vỏ Nội lực vỏ chia thành nhóm: - Nhóm... phi mô men) Nếu vỏ xuất nhóm lực uốn trạng thái ứng suất vỏ gọi trạng thái uốn túy Nếu vỏ xuất nhóm lực màng nhóm lực uốn trạng thái ứng suất vỏ gọi trạng thái mô men tổng quát 5. 7.1 Lý thuyết mô. .. tự tĩnh - động 5. 2 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG 5. 2.1 Ứng suất nội lực vỏ Các thành phần ứng suất, nội lực phân tố vỏ biểu diễn hình 5- 2 Hình 5- 2 Ứng suất nội lực vỏ Véc tơ ứng suất phân tố vỏ, áp dụng