Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ---------------ﻪﻫ------------------- TIỂU LUẬN MÔN HỌC THIẾT KẾ BỘ LỌC & MÃ HÓA BĂNG CON ĐỀ TÀI: BIẾN ĐỔI WAVELET MỘT CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG Giáo viên hướng dẫn: TS. Ngô Văn Sỹ Học viên thực hiện : Bạch Ngọc Vinh Phan Văn Vĩnh Lớp : KTDT25 Ngành : Kỹ Thuật Điện Tử Khóa : 2012 – 2014 Đà Nẵng 03/2013 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU.. 1 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET.. 2 1.1. Tổng quan về Wavelet. 2 1.2. Hoàn cảnh lịch sử.. 3 1.2.1. Trước 1930. 3 1.2.2. Vào thập niên 30. 3 1.2.3. Từ 1960 – 1980. 4 1.2.4. Sau 1980. 4 1.3. Phân tích Fourier. 4 1.3.1. Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT). 4 1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms - STFT) 6 1.3.3. Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT). 8 1.4. Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet:. 8 1.5. Giới thiệu một số họ Wavelet. 11 1.5.1. Biến đổi Wavelet Haar. 11 1.5.2. Biến đổi Wavelet Meyer. 12 1.5.3. Biến đổi Wavelet Daubechies. 12 CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET.. 14 2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet:. 14 2.2. Biến đổi wavelet liên tục (CWT). 17 2.2.1. Giới thiệu. 17 2.2.2. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục. 19 2.2.3. Biểu diễn toán học. 21 2.2.4. Các tính chất của CWT.. 23 2.3. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT). 26 2.3.1. Bộ lọc một tầng – Những xấp xỉ và chi tiết. 27 2.3.2. Sự phân tách nhiều mức (Multiple-Level Decomposition). 29 2.3.3. Sự tái tạo lại tín hiệu của Wavelet (Signal Wavelet Reconstruction). 30 1.4.6.4. Sự phân rã và sự xây dựng lại nhiều bước. 34 CHƯƠNG 3: TỔ CHỨC CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ.. 35 CÁC ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET 1-D.. 35 3.1. Dùng biến đổi Wavelet để phân tích tín hiệu điện tâm đồ (ECG):. 35 3.1.1. Mục đích:. 35 3.1.2. Các hàm Matlab liên quan:. 36 3.1.3. Đoạn code thực hiện chương trình phân tích tín hiệu ECG:. 38 3.2. Khử nhiễu các tín hiệu:. 48 3.2.1. Mô hình khử nhiễu một chiều cơ bản. 48 3.2.2. Nguyên tắc khử nhiễu. 48 3.2.3. Đặt ngưỡng mềm hay ngưỡng cứng. 50 3.2.4. Các quy tắc chọn ngưỡng. 51 3.2.5. Giải quyết nhiễu không tỷ lệ và nhiễu không trắng. 52 3.2.6.Viết chương trình khử nhiễu cho tín hiệu. 54 3.2.6.1.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng cứng:. 54 3.2.6.2.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng mềm.. 56 CHƯƠNG 4: THỰC HIỆN VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ.. 59 4.1. Phân tích tín hiệu ECG dùng phép biến đổi Wavelet:. 59 4.1.1. Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab:. 59 4.1.2. Đánh giá kết quả:. 61 4.2. Chương trình khử nhiễu các tín hiệu:. 61 4.2.1. Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab:. 61 4.2.2. Đánh giá kết quả:. 63 LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đang được ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phép phân tích này so với phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sự biến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòa như Fourier. Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số của tín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu. Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hình ảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là những ứng dụng quan trọng nhất. Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab. Tiểu luận gồm 4 chương: Chương 1: Tổng quan về Wavelet Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoàn thành tiểu luận này. Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thể tránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy và các bạn. Nhóm em xin chân thành cảm ơn. Đà Nẵng, tháng 03 năm 2013 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET 1.1. Tổng quan về Wavelet Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể hiểu là những tín hiệu có dao động nhỏ, tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn, có giá trị trung bình bằng không. Đây là thuật ngữ khoa học, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, tốt nhất ta gọi tên là “Wavelet”. Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu. Hiện nay, Wavelet là một trong những đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới. Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực tế rất lớn. Đối với phân tích Wavelet, ta vẫn giữ được thông tin tần số và thông tin thời gian của tín hiệu của tín hiệu. Biến đổi Wavelet đưa ra khái niệm hệ số co giãn (scale factor) đại diện cho tần số và hệ số dịch chuyển (shift factor) đại diện cho thời gian để biểu diễn tín hiệu. Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được gọi là hàm wavelet mẫu. Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫu được co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated). Thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu. Wavelet đã đưa ra được mức phân giải tốt theo miền thời gian lẫn miền tần số. Nghĩa là, nếu chúng ta quan sát tập dữ liệu qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small). Đặc điểm này rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng, luôn luôn biến thiên, không ổn định (nonstationary signal analysis). Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí (air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu...
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đang được ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phép phân tích này so với phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sự biến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòa như Fourier. Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số của tín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu. Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hình ảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là những ứng dụng quan trọng nhất. HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 1 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab. Tiểu luận gồm 4 chương: Chương 1: Tổng quan về Wavelet Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoàn thành tiểu luận này. Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thể tránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy và các bạn. Nhóm em xin chân thành cảm ơn. Đà Nẵng, tháng 03 năm 2013 HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 2 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET 1.1. Tổng quan về Wavelet Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể hiểu là những tín hiệu có dao động nhỏ, tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn, có giá trị trung bình bằng không. Đây là thuật ngữ khoa học, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, tốt nhất ta gọi tên là “Wavelet”. Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu. Hiện nay, Wavelet là một trong những đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới. Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực tế rất lớn. Đối với phân tích Wavelet, ta vẫn giữ được thông tin tần số và thông tin thời gian của tín hiệu của tín hiệu. Biến đổi Wavelet đưa ra khái niệm hệ số co giãn (scale factor) đại diện cho tần số và hệ số dịch chuyển (shift factor) đại diện cho thời gian để biểu diễn tín hiệu. Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được gọi là hàm wavelet mẫu. Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫu được co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated). Thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu. Wavelet đã đưa ra được mức phân giải tốt theo miền thời gian lẫn miền tần số. Nghĩa là, nếu chúng ta quan sát tập dữ liệu qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small). Đặc điểm này rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng, luôn luôn biến thiên, không ổn định (nonstationary signal analysis). Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí (air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 3 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ 1.2. Hoàn cảnh lịch sử 1.2.1. Trước 1930 Trước năm 1930, Joseph Fourier cùng với thuyết của ông về phân tích trong miền tần số dựa trên cơ sở toán học đã dẫn dắt đến sự ra đời và phát triển Wavelet như là sự kế thừa và phát triển phép biến đổi Fourier. Ông khẳng định rằng bất kỳ hàm số có chu kỳ tuần hoàn π 2 đều được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi các số hạng Fourier ∑ ∞ = ++ 1 0 sincos k kk kxbkxaa (1.1) Các hệ số a 0 , a k và b k được tính như sau: ∫ = π π 2 0 0 )( 2 1 dxxfa , ∫ = π π 2 0 )cos()( 1 dxkxxfa k , ∫ = π π 2 0 )sin()( 1 dxkxxfb k (1.2) Lý thuyết Fourier đóng vai trò rất quan trọng và cần thiết trong vấn đề đánh giá phân tích các hàm toán học. 1.2.2. Vào thập niên 30 Vào những năm 30, một vài nhóm làm việc độc lập nhau, nghiên cứu sự biểu diễn của hàm số dùng các hàm cơ sở thay đổi tỷ lệ được. Hàm đó được gọi là hàm cơ sở Haar. Nhà vật lý Paul Levy đã khám phá ra sự chuyển động Brownian, một loại tín hiệu ngẫu nhiên. Ông đã tìm thấy sự phát triển cao hơn của hàm Haar so với hàm cơ sở Fourier trong việc nghiên cứu những chi tiết phức tạp nhỏ trong chuyển động Brownian. Một nghiên cứu khác trong những năm 30 đó là nỗ lực nghiên cứu của Littlewood. Paley và Stain về việc tính toán năng lượng của hàm số f(x): ( ) ∫ = π π 2 0 2 2 1 dxxfenergy (1.3) Kết quả tính toán có sự sai lệch nếu như năng lượng được tập trung xung quanh một vài điểm hoặc phân bố trên khoảng thời gian rộng. Kết quả này làm náo động các nhà khoa học thời bấy giờ bởi vì điều này có nghĩa là năng lượng không thể được bảo toàn. Các nhà nghiên cứu đã khám phá ra được một hàm số có thể HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 4 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ thay đổi thang tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán hàm năng lượng. Công việc này đã giúp cho David Marr với thuật toán hiệu quả trong xử lý ảnh dùng Wavelet vào đầu thập niên 1980. 1.2.3. Từ 1960 – 1980 Giữa những năm 1960-1980, hai nhà toán học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã nghiên cứu các thành phần đơn giản nhất của một không gian hàm, gọi là atoms, với mục đích tìm những atom cho một hàm chung, và tìm ra luật hội tụ cho phép tái cấu trúc tất cả các thành phần thuộc không gian hàm số dùng những atom này. Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã mở rộng khái niệm Wavelet trong vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách nhìn về Wavelet dựa vào khả năng trực giác tự nhiên. 1.2.4. Sau 1980 Vào năm 1985, Stephane Mallat đã đưa ra một ứng dụng về Wavelet trong lĩnh vực xử lý ảnh. Ông đã tìm ra được mối quan hệ giữa bộ lọc gương cầu phương (Quadrature Mirror Filter), giải thuật hình tháp, và cơ sở Wavelet trực chuẩn. Góp một phần đáng kể vào kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng nên Wavelet đầu tiên rất quan trọng. Không giống như Wavelet Haar, Wavelet Meyer có tính vi phân liên tục. Hai năm sau, Ingrid Daubechies sử dụng thuyết của Mallat để xây dựng một tập các hàm cơ sở Wavelet trực chuẩn, và đã trở thành nền tảng, cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay. 1.3. Phân tích Fourier 1.3.1. Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT) Phép biến đổi Fourier là một công cụ rất mạnh được sử dụng phổ biến trong phân tích tín hiệu. Qua phép biến đổi, các thành phần tần số không thấy được trong miền thời gian có thể được hiển thị rõ ràng trong miền tần số. Tuy nhiên khi chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì các thông tin về miền thời gian lại hoàn toàn bị mất. Do đó biến đổi Fourier truyền thống không thích hợp để phân tích các tín hiệu không dừng (nonstationary). HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 5 GVHD: T.S NGƠ VĂN SỸ Hình 1.1 : Phép biến đổi Fourier Biến đổi Fourier (FT) của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là: ∫ +∞ ∞− −− >=<= )(,)()( txedtetxX tjtj ωω ω (1.1) Với ω = 2πf là tần số của tín hiệu. Tích phân này lấy trong tồn miền thời gian của tín hiệu f(t) với hàm mũ cơ số e. Những kết quả của biến đổi là những hệ số Fourier F(ω) (được gọi là phổ tần số của f(t)) mà khi nhân với 1 sóng hình sin với tần số tương ứng, sẽ cho ra các thành phần hình sin của tín hiệu ngun mẫu. ∫ ∞ ∞− − = ωω π ω d )( 2 1 )( tj eFtf (1.2) Chuỗi Fourier là tổng các hàm chu kỳ bao gồm hàm sin và cosin theo tần số, là bội số ngun của tần số cơ bản của hàm. Cho f(x) là hàm thực với chu kỳ T. Ví dụ: Hàm số bất kỳ được phân tích Fourier sẽ được biểu diễn như hình sau: Phân tích Fourier Các thành phần hình sin có tần số khác nhau Hình 1.2: Phép biến đổi Fourier của tín hiệu có chu kỳ Phép biến đổi Fourier chuyển tín hiệu từ miền thời gian t sang miền tần số ω (hay f). X(ω) được gọi là phổ tần số của tín hiệu x(t), bao gồm tất cả các thành phần tần số có trong tín hiệu x(t) . Như vậy, ta thấy rằng FT cho chúng ta biết được tổng các thành phần tần số có trong tín hiệu, chúng ta khơng thể biết được các thành phần tần số xuất hiện ở HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 6 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ những thời điểm nào trong tín hiệu. Bất kỳ một sự thay đổi đột biến biên độ nào của tín hiệu trong miền thời gian đều được trãi rộng trên khắp trục tần số trong biến đổi Fourier, và thời điểm đột biến của tín hiệu bị mất hoàn toàn. Xét ví dụ biến đổi Fourier của một hàm xung x(t) xuất hiện tại thời điểm t = 0 cho kết quả là một phổ X(ω) = 1 trên toàn trục ω, không có một thông tin nào về thời điểm xuất hiện của xung δ(t). Hình 1.3: FT của xung Dirac Nếu một tín hiệu không thay đổi nhiều trên toàn miền thời gian thì có thể sử dụng được phép biến đổi Fourier này, nhưng đa số những tín hiệu trong thực tế đều chứa đựng nhiều đặc tính động như ở trạng thái quá độ, các thay đổi đột ngột, sự trôi (drift)… Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu, nhưng biến đổi Fourier thì chưa mô tả đầy đủ đặc tính này. 1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms - STFT) Để khắc phục nhược điểm này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng một cách linh hoạt biến đổi Fourier để phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ theo thời gian, thì tín hiệu trong mỗi đoạn có thể xem là tín hiệu dừng; và do đó có thể lấy biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này. Như vậy, phép biến đổi vừa có tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier, vừa có tính định vị theo thời gian do được tính trong từng khoảng thời gian ngắn. Đây là nguyên lý của biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT), hay còn gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hóa (Windowed Fourier Transform). HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 7 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ Trong STFT, tín hiệu f(t) đầu tiên được nhân với một hàm cửa sổ w(t - τ) để lấy được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh thời điểm τ. Sau đó, phép biến đổi Fourier bình thường được tính trên đoạn tín hiệu này. Kết quả, ta được một hàm hai biến STFTf(ω,τ) xác định bởi: ∫ +∞ ∞− − −= dtetftwSTFT tj f ω ττω )()(),( * (1.10) STFT tại thời điểm τ là biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) nhân với phiên bản dịch một khoảng τ theo thời gian w(t- τ ) của cửa sổ cơ bản tập trung quanh τ. Đây là phổ cục bộ của f(t) xung quanh thời diểm τ do cửa sổ tương đối ngắn làm triệt tiêu tín hiệu ngoài vùng lân cận xung quanh τ. Do đó, STFT có tính định vị theo thời gian. Cửa sổ phân tích càng hẹp thì sự định vị này (hay độ phân giải theo thời gian) càng tốt. Hình 1.4: Biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT) STFT thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và tần số của tín hiệu. Nó cung cấp thông tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện. Tuy nhiên, độ chính xác của thông tin này có hạn, và phụ thuộc thuộc vào kích thước cửa sổ. Khuyết điểm chính của STFT là khi đã chọn hàm cửa sổ phân tích thì độ phân giải thời gian - tần số không thay đổi trên khắp mặt phẳng thời gian - tần số. Trong khi đó, các tín hiệu không dừng thường gặp trong thực tế đều gồm một số thành phần tần số thấp khá ổn định (gần tuần hoàn, quasi-stationary) trong khoảng thời gian dài và các burst tần số cao tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn. Nếu chọn cửa sổ rộng để phân tích các thành phần ổn định với độ phân giải tần số tốt thì không phân tích được các burst với độ phân giải thời gian tốt. Ngược lại, nếu chọn cửa sổ hẹp để phân giải tốt các burst về thời gian thì độ phân giải tần số lại xấu đi. Mâu thuẫn này không thể giải quyết được trong STFT. 1.3.3. Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT) HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 8 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ Biến đổi Fourier nhanh thực chất là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform - DFT), chính là xấp xỉ một hàm số bằng cách lấy mẫu tại một số giá trị tần số nhất định. Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại N điểm với chu kỳ lấy mẫu là T, khi biến đổi sang miền tần số bằng FFT N điểm, các tần số được lấy mẫu là: N k k π ω 2 = , với k = 0, 1, …, N-1. (1.3) Các thành phần tần số thực tương ứng sẽ là: (1.4) Theo trên ta thấy, nếu tín hiệu chỉ có một thành phần tần số là T π , như vậy trong kết quả của FFT – N điểm trên ta chỉ có được một vị trí mang thông tin về tần số này (nếu N chẵn), các vị trí khác mang thông tin về các tần số từ zero đến cận tần số lấy mẫu, và do đó hình ảnh về phổ tín hiệu không được rõ lắm. Phương pháp này không cải thiện độ phân giải của phổ tần số mà chỉ cho chúng ta hình ảnh rõ ràng hơn về phổ tần số đã phân tích. 1.4. Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet: Lý thuyết về phép biến đổi Fourier là một trong những kết quả tốt nhất của phép phân tích hiện đại và đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết của nhiều ngành khoa học. Nó thường được sử dụng trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên, phân tích Fourier không giải bài toán với thời gian thay đổi hoặc tín hiệu không ổn định. Do đó cần có một phương pháp phân tích có thể đáp ứng cả trong miền thời gian lẫn tần số. Phép biến đổi Wavelet được phát triển như một công cụ thay thế STFT trong phân tích tín hiệu không dừng. Hình 1.5 Phép biến đổi wavelet Những điểm khác nhau của biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier là các riêng các hàm wavelet được khoanh vùng trong không gian (localized in space). Đặc HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 9 T k N k NT k k . 22 ==Ω π GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ tính này cùng với đặc tính định vị trong miền tần số của Wavelet tạo điều kiện tốt cho nhiều hàm số và toán tử sử dụng phép rời rạc hoá Wavelet khi biến đổi sang miền Wavelet. Sự rời rạc hoá này lần lượt được ứng dụng và cho kết quả tốt trong một số lĩnh vực như: nén dữ liệu, phát hiện các tính chất của ảnh, hay loại nhiễu, rada … Để thấy sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet, xem mức độ bao phủ mặt phẳng của hàm cơ sở trong miền thời gian – tần số được biểu diễn ở các hình sau. Hình 1.6 - Biến đổi Fourier STFT hay biến đổi Fourier cửa sổ hoá, sử dụng chỉ một cửa sổ duy nhất dạng hình vuông, cửa sổ này sẽ cắt tín hiệu hình sin, cosin để vừa với chiều rộng cửa sổ. Cửa sổ này được dùng cho tất cả các thành phần tần số trong biến đổi Fourier STFT, do đó thuật toán phân tích giống nhau cho tất cả các vị trí trong mặt phẳng thời gian – tần số. Hình 1.6: Biểu diễn các hàm cơ sở Fourier, viên ngói (ô) thời gian – tần số và mặt độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số. Đối với Wavelet thì thuận lợi hơn, đó là cửa sổ thay đổi được. Để tách biệt các tín hiệu không liên tục, sẽ có một số hàm cơ sở ngắn, tại cùng thời điểm, để có được phân tích tần số chi tiết, sẽ có một số hàm cơ sở dài. Để đạt được điều này, có những hàm cơ sở chứa thành phần tần số cao và thành phần tần số thấp. Khác với biến đổi Fourier chỉ có một tập hàm cơ sở như hàm sin, cosin, biến đổi Wavelet có tập vô hạn các hàm cơ sở. Phân tích Wavelet có thể đáp ứng trong miền thời gian lẫn tần số, vì vậy thích hợp để phân tích tín hiệu không ổn định. Biến đổi wavelet trực chuẩn có thể được xem như một phép phân tích đa phân giải của tín hiệu, các đặc tính tốt của tính hiệu được phân tích với độ phân giải tốt, các tín hiệu kém được phân tích với độ phân giải kém. Biến đổi wavelet trực chuẩn thích hợp để phân tích tín hiệu ứng dụng trong phân tích mẫu và trong bài toán nhận dạng. HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 10 [...]... nhiều hàm wavelet cơ sở Tùy theo ứng dụng cụ thể mà ta sử dụng hàm wavelet thích hợp Sau đây là một số hàm wavelet thông dụng trong phân tích wavelets liên tục 1.5.1 Biến đổi Wavelet Haar Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi Wavelet Hình 1.13 cho thấy dạng của hàm ψ (t ) với biến đổi Haar Do tính chất đơn giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đổi nhiều... biến đổi Wavelet rời rạc là dùng các bộ lọc đã được Mallat đưa ra vào năm 1988 Thuật toán Mallat là một sơ đồ mã hóa băng con hai kênh đã biết trong kỹ thuật xử lý tín hiệu Thuật toán lọc thực tế này cho một phép biến đổi Wavelet nhanh là một hộp biến đổi mà đầu vào là tín hiệu cần phân tích và đầu ra là các hệ số Wavelet của tín hiệu đó Giải thuật lọc rất thực tế này cho ta một phép biến đổi Wavelet. .. trong biến đổi Wavelet Họ biến đổi này được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi này được ứng dụng trong JPEG2000 là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies Dưới đây là hàm ψ (t ) trong họ biến đổi Wavelet Daubechies Hình 1.13: Hàm ψ (t ) của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8 HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 13 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET. .. đổi nhiều trong nén ảnh, khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một số điểm khác với công thức toán học của biến đổi Haar Hình 1.11: Hàm ψ (t ) của biến đổi Haar 1.5.2 Biến đổi Wavelet Meyer Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN... SỸ thông dụng, biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar Dạng của ψ (t ) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ: Hình 1.12: Hàm ψ (t ) của biến đổi Meyer 1.5.3 Biến đổi Wavelet Daubechies Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet Biến đổi Daubechies là một trong những phép biến đổi phức... của wavelet HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 18 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ 2.2.2 Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục Biến đổi Wavelet liên tục là tổng cả miền thời gian cuả tín hiệu nhân với những phiên bản được dịch và co giãn của Wavelet Quá trình này tạo ra những hệ số Wavelet là một hàm của co giãn và vị trí Có năm bước dễ dàng tạo ra một CWT: - Lấy một Wavelet và so sánh nó với một. .. vô hạn Và trong khi những hình sin là mịn và có thể đoán trước, các Wavelets có khuynh hướng bất thường và không cân đối HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 11 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ Hình 1.10: So sánh sóng sin và một wavelet Biến đổi Fourier chia một tín hiệu vào trong những sóng hình sin của nhiều tần số Tương tự, biến đổi Wavelets chia tín hiệu vào trong những phần dịch và co dãn của Wavelets... (2.16) b2 Tính định vị thời gian Xét một xung Dirac ở thời điểm to, δ(t-to), và một hàm wavelet ψ(t) Biến đổi wavelet liên tục của xung Dirac là: CWT f (a, b) = 1 ∫ a ∞ −∞ ∂ (t − t 0 )ψ ( t −b t −b 1 )dt = ψ( 0 ) a a a (2.17) Vớí một giá trị ao đã cho, tức ứng với một đường ngang trong miền biểu diễn bởi CWT, phép biến đổi bằng với hàm wavelet (đã thay đổi scale và chuẩn hóa) tập trung ở vị trí của xung... 2.25: Biến đổi Wavelets nhiều mức Quá trình này bao gồm ba khía cạnh : chia nhỏ một tín hiệu để thu được những hệ số Wavelets, sửa đổi những hệ số Wavelet, và tổng hợp lại tín hiệu từ những hệ số Wavelet Chúng ta có đã bàn luận về sự phân tách và sự xây dựng lại đối với chiều dài nào đó Tất nhiên, không có chuyện phân tách một tín hiệu để xây dựng lại tín hiệu ngay lập tức Chúng ta thực hiện Biến đổi Wavelet ... tần số với Wavelet mẫu là Daubechies Hình 1.8: Rời rạc hóa mặt phẳng thời gian tần số bằng các viên ngói định vị trong CWT và các hàm wavelet tương ứng (với trường hợp hàm Morlet wavelet) Hình 1.9: So sánh các phép biến đổi tín hiệu Một wavelet là một sóng tồn tại trong khoảng thời gian có h và có giá trị trung bình bằng không So sánh Wavelets với những sóng hình sin, là cơ sở của Biến đổi Fourier . Nẵng, tháng 03 năm 2013 HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 2 GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET 1.1. Tổng quan về Wavelet Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể. sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được gọi là hàm wavelet mẫu. Mỗi phần tử của tập wavelet. số. Tương tự, biến đổi Wavelets chia tín hiệu vào trong những phần dịch và co dãn của Wavelets nguyên bản hay Wavelets mẹ (mother Wavelets). Chỉ cần xem những hình ảnh của Wavelets và những sóng