Đang tải... (xem toàn văn)
Một số hàm toán học
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI I, Hàm đường thẳng 1,Xét đường thẳng có phương trình: y=ax +b, trong đó a,b∈ R được gọi là phương trình hàm đường thẳng. Ta có: a -là hệ số góc 2, Hàm số có tập xác định là: R=(-∞ ;+∞) và tập giá trị là R *Tính chất • Phương trình tổng quát: y=ax +b, trong đó a là hệ số góc. • Đồ thị luôn là một đường thẳng • Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 • Khi b=0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ • Khi a=0 thì hàm số trở thành hàm hằng và có đồ thị là một đường thẳng song song với trục ox • Đặc biệt đồ thị hàm y= x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và chia góc phần tư thứ nhất làm hai phần bằng nhau và được gọi là đường phân giác thứ nhất *Đạo hàm • Hàm y= ax +b có đạo hàm bằng: y’=a- là một hằng số • Hàm hằng có đạo hàm bằng 0 x a<0 y y=ax+b o a>0 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI II,Hàm lũy thừa 1, Hàm lũy thừa có dạng : y=x , trong đó α là một số thực bất kì. 2,Miền xác định cuả hàm số phụ thuộc vào a • Với a∈ N thì miền xác định của hàm số là cả trục số R • Với a nguyên âm thì tập xác định của hàm số là cả trục số trừ điểm gốc 0 • Với a có dạng ; p∈ Z thì : miền xác định phụ thuộc vào p chẵn hay lẻ và tập giá trị của p 3, Nếu α là số hữu tỷ thì khi đó ta có thể viết :y= thì không xác định được với x<0 Nếu a là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét tại mọi x≥ 0 nếu a>o và tại mọi x<0 nếu a<0 Để đúng cho mọi trường hợp ở đây ta xét x>0 4, Đồ thị *Tính chất • Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 trong khoảng(0,+∞) và liên tục trên khoảng đó • Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc tọa độ nếu a>0 và không đi qua nếu a<0 • Với α=1 thì đồ thị hàm số trùng với đường phân giác thứ nhất • Đồ thị hàm số với α>1 và 0<α<1 là hai đường cong đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất • Khi a>0 đồ thị hàm số không có tiệm cận. Khi a<0 thì đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang và nhận trục Oy làm tiệm cận đứng *Đạo hàm • Hàm số y=x (α ∈R ) có đạo hàm với mọi x>0 và (x)’=α x • Đối với hàm số hợp y=u và u=u(x) thì y’=α u u’ y=x a<0 y=x a=1 0<a<1 a>1 aa>1 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI III, Hàm mũ 1, Hàm mũ có dạng: y=a , trong đó a là cơ số . Hàm số chỉ xác định với cơ số a>0, khi đó tập tập xác định của nó là R=(-∞,+∞) 2, Tập giá trị của hàm số là : (0 ;+∞) 3, Hàm số liên tục trên tập xác định hay liên tục trên R=(-∞ ;+∞) 4, Đồ thị *Tính chất • Hàm mũ luôn dương với mọi giá trị của biến số • Nếu a=1 , hàm y=1 với mọi x. • Với mọi a>0 ta có a =1 • Với a>1 thì ta có hàm số đồng biến trên tập xác định. a =0 a =+∞ • Với 0<a<1 ta có hàm số nghịch biến trên tập xác định a =+∞ a =0 • Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm lôgarit • Một số công thức hay dùng : a a =a ; =a ; (a ) = a *Đạo hàm • Đạo hàm của hàm mũ : (a)’=a lna • Đạo hàm của hàm hợp: Ta có: y=a và u=u(x) , khi đó : y’= u’a lna y= a y= a a>1 0<a<1 3 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI IV, Hàm logarit 1, Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ 2,Ta có: hàm mũ có dạng y= a , do đó hàm logarit có dạng : y= log x trong đó a được gọi là cơ số của hàm lôgarit 3, Hàm lôgarit chỉ được xác định khi x>0 và có giá trị trong khoảng (-∞; +∞) và log x chỉ xác định khi: a>0 và a#1 4, Do hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ nên đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất 5, Đồ thị *Tính chất • Hàm logarit đơn điệu và liên tục trong khoảng (0;+∞) • Hàm logarit đồng biến khi a>1 va nghịc biến khi 0<a<1 • Điểm (0;1) luôn nằm trên đồ thị hàm logarit, nghĩa là log 1=0 • Đặc biệt log a=1 *Một số công thức hay dùng a) vì y=a và y= log x là hai hàm ngược nhau nên ta có : a =x ; log a=x b) Với x,y,z>0 thì ta có : Log xyz=log x+log y+log z Log = log x-log y c) Với m là số thực bất kì ta luôn có : Log x =mlog x d) Giả sử a,b là hai số dương bất kì #1, ta có với x>0 thì log x=log b log x Đặc biệt : log b log a=1 y= log x y= log x 4 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI Lưu ý: logarit với hai cơ số a và b khác nhau của cùng một biến là những đại lượng tỉ lệ với nhau (khi x thay đổi) e) Ta có: với mọi a>0, a#1, với mọi x>0 và với mọi số thực β log x = log x từ đó: log x= log f) Loga Nê pe (Napier) hay loga tự nhiên Người ta gọi lôga với cơ số e là lôga tự nhiên log x=ln x g) Lôga với cơ số 10 được viết đơn giản là: lg x *Đạo hàm: Ta có: y= log x thì y’= Với hàm hợp ta có : y= log u và u=u(x) thì khi đó ta có : y’= Lưu ý : một số đạo hàm đặc biệt : (lnx)’= (ln u)’= (lg x)’= (lg u)’= 5 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI V, Hàm lượng giác 1) Các hàm số có dạng : y=sin x ; y=cos x ; y=tan x ; y=cotg x được gọi là các hàm số lượng giác vì chúng xác định trên R thông qua đường tròn lượng giác 2) Các hàm số : y=sin x và y= cos x có miền xác định là toàn trục số R và có miền giá trị là khoảng đóng [-1 ;1] 3) Hàm số y=tan x xác định tại mọi x # (2k+1)π/2 ;k∈ Z và có miền giá trị là R 4) Hàm số y=cotg x xác định tại mọi x # kπ , k∈ Z và có miền giá trị là R 5) Đồ thị a,đồ thị hàm y= sin x b, đồ thị y= cos x c, đồ thị hàm y= tg x d, đồ thị hàm y= cotg x b, 6 a, c, d, TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI *Tính chất • Hàm số y=sin x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì là 2π • Hàm số y=cos x là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π • Hàm số y= tg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π • Hàm số y=cotg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π * Một số công thức hay dùng a, các công thức cơ bản 1/ 2 2 sin cos 1a + a = 2/ sin tg cos a a = a 3/ cos cot g sin a a = a 4/ 2 2 1 1 tg cos + a = a 5/ 2 2 1 1 cot g sin + a = a 6/ tg .cot g 1a a = b, các công thức cộng trừ 1/ ( ) sin a b sina.cosb sinb.cosa+ = + 2/ ( ) sin a b sina.cosb sinb.cosa- = - 3/ ( ) cos a b cosa.cosb sina.sinb+ = - 4/ ( ) cos a b cosa.cosb sina.sinb- = + 5/ ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb + + = - 6/ ( ) tga tgb tg a b 1 tga.tgb - - = + 7/ ( ) cot ga.cot gb 1 cot g a b cot ga cot gb - + = + ( ) cot gacotgb 1 8/ cot g a b cot ga cot gb + - = - c, các công thức nhân đôi 1/ ( ) ( ) 2 2 sin2a 2sina.cosa sina cosa 1 1 sina cosa= = + - = - - 2/ 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = - 3/ 2 2tga tg2a 1 tg a = - 4/ 2 cot g a 1 cot g2a 2cot ga - = d, các công thức góc nhân ba 1/ 3 sin3a 3sina 4sin a= - 2/ 3 cos3a 4cos a 3cosa= - 3/ 3 3 3tga tg a tg3a 1 3tg a - = - 4/ 3 2 cot g a 3cot ga cot g3a 3cot g a 1 - = - 7 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI e, các công thức hạ bậc 1/ 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a - = = + 2/ 2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cot g a + = = + 3/ 2 1 cos2a tg a 1 cos2a - = + 4/ 1 sinacosa sin2a 2 = 1/ ( ) 3 1 sin a 3sina sin3a 4 = - 2/ ( ) 3 1 cos a 3cosa cos3a 4 = + f, các công thức nhân ba 1/ 3 sin3a 3sina 4sin a= - 2/ 3 cos3a 4cos a 3cosa= - 3/ 3 3 3tga tg a tg3a 1 3tg a - = - 4/ 3 2 cot g a 3cot ga cot g3a 3cot g a 1 - = - g, Công thức biểu diễn sinx,cosx,tgx qua tgx t 2 = : 1/ 2 2t sinx 1 t = + 2/ 2 2 1 t cosx 1 t - = + 3/ 2 2t tgx 1 t = - 4/ 2 1 t cot gx 2t - = h, công thức biến đổi tổng->tích 1/ a b a b cosa cosb 2cos .cos 2 2 + - + = 2/ a b a b cosa cosb 2sin .sin 2 2 + - - = - 3/ a b a b sina sinb 2sin .cos 2 2 + - + = 4/ a b a b sina sinb 2cos .sin 2 2 + - - = 5/ ( ) sin a b tga tgb cosa.cosb + + = 6/ ( ) sin a b tga tgb cosa.cosb - - = 7/ ( ) sin a b cot ga cot gb sina.sinb + + = 8/ ( ) sin a b cot ga cot gb sina.sinb - - - = 9/ ( ) sin a b tga cot gb cosa.sinb - + = 9/ 2 tga cot ga sin2a + = 10/ ( ) cos a b cot ga tgb sina.cosb + - = 11/ cot ga tga 2cotg2a- = I, công thức biến đổi tích ->tổng 1/ ( ) ( ) 1 cosa.cosb cos a b cos a b 2 é ù = - + + ê ú ë û 2/ ( ) ( ) 1 sina.sinb cos a b cos a b 2 é ù = - - + ê ú ë û 3/ ( ) ( ) 1 sina.cosb sin a b sin a b 2 é ù = + + - ê ú ë û 8 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI * Đạo hàm của hàm số lượng giác • (sin x)’ = cos x • (cos x) = - sin x • (tg x)’ = • (cotg x)’ = VI, Hàm số lượng giác ngược 1, Công thức hàm lượng giác ngược: y=arcsin x ; y=arccos x ; y= arctg x ; y=arccotg x 2, Tập giá trị và tập xác định của các hàm lượng giác ngược • Hàm y= arcsin x xác định với mọi x∈ [-1;1] và có tập giá trị là đoạn [ - ; ] • Hàm y=arccos x xác định và liên tục trong x∈ [-1 ;1] và có tập giá trị là đoạn [0 ;π] • Hàm y=arctg x xác định và liên tục với mọi x∈ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (- ; ) • Hàm y=arccotg x xác định và liên tục với mọi x∈ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (0 ;π) 3, Đồ thị Các hàm lượng giác ngược có đồ thị đối xứng với các hàm lượng giác tương ứng qua đường phân giác thứ nhất 9 y=arcsin x y= arccos x TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI * Tính chất : • Các hàm y=arcsin x và y= arctg x là các hàm tăng. Các hàm y=arccosx và y=arccotg x là các hàm giảm • Tập hợp tất cả các nhánh của một hàm lượng giác ngược được kí hiệu là Arc của hàm lượng giác tương ứng * Các trị số hay gặp : • arcsin 0=0 ; arcsin 1= ; arcsin = ; arcsin = ; arcsin = • arccos 0= ; arccos 1=0; arccos = ; arccos = ; arccos = • arctg 0=0; arctg 1= ; arctg = ; arctg = • Tương tự đối với hàm arccotg sao cho: arctg x+arccotg x= * sai lầm: A arctan x =kп 10 y=arctg x y= arccotg x [...]...TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI * Các công thức hay dùng • • • • • • • • • • • VII, Hàm hypebolic 1, Các hàm hypebolic gồm: shx= ; chx= ; thx= = ; cothx= = 2, Tập gái trị và tập xác định của các hàm hypebolic • Hàm shx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là R • Hàm chx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là [1;+∞] • Hàm thx xác định với mọi x∈ R và có tập giá trị là (-1;+1) • Hàm cothx... 13, ch3a = 4ch a- 3cha VIII, Hàm hypebolic ngược: 1, Công thức các hàm hypebolic ngược là: y=argshx; y=argchx; y=argthx; y=argcotcothx ( với arg là viết tắt của acsgumen) 2, Vì hàm y=ch x là hàm chẵn nên tồn tại hàm ngược y= argch x với x∈[0; +∞) 3, Hàm y=argsh x liên tục trên R=(-∞;+∞) 4, Hàm y=argch x xác định và liên tục khi x∈ [1;+∞) và có tập giá trị là : [0;+∞) 5, Hàm y=argth x xác định và liên... với mọi x∈ R và có tập giá trị là (-1;+1) • Hàm cothx xác định với mọi x∈ R\{o} và có tập giá trị là (-∞;-1) ∪ (1;+∞) 3, Các hàm hypebolic đều liên tục trên tập xác định của chúng 4, Đồ thị 11 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI 12 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI * Một số công thức hay dùng 1, ch a + sh a=1 2, sh(a+b)=shachb+shbcha 3, sh(a-b)=shachb-shbcha 4, ch(a+b)=chachb+shashb 5, ch(a-b)=chachb-shashb... tục khi x∈ [1;+∞) và có tập giá trị là : [0;+∞) 5, Hàm y=argth x xác định và liên tục trên (-1;1) và có tập giá trị là R=(-∞;+∞) 6, Hàm y=argcoth x xác định với x1 và có tập giá trị là R\{0} 7, Đồ thị * Tính chất: • Dạng loga của hàm hypebolic ngược: 13 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ-ĐHQG HÀ NỘI argsh x= ln (x+ ) argch x = ln (x+ ) argth x = ln argcoth x= ln THE END ! 14 . thức hạ bậc 1/ 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a - = = + 2/ 2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cot g a + = = + 3/ 2 1 cos2a tg a 1 cos2a - = + 4/ 1 sinacosa sin2a 2 = 1/ ( ) 3 1 sin a 3sina. cơ bản 1/ 2 2 sin cos 1a + a = 2/ sin tg cos a a = a 3/ cos cot g sin a a = a 4/ 2 2 1 1 tg cos + a = a 5/ 2 2 1 1 cot g sin + a = a 6/ tg .cot g 1a a = b, các công thức cộng trừ 1/ ( ) sin. thức nhân đôi 1/ ( ) ( ) 2 2 sin2a 2sina.cosa sina cosa 1 1 sina cosa= = + - = - - 2/ 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = - 3/ 2 2tga tg2a 1 tg a = - 4/ 2 cot g a 1 cot g2a 2cot