Đang tải... (xem toàn văn)
môn giải tích 1 của trường ĐH Thăng Long
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 ĐẠI HỌC THĂNG LONG Ngày 27 tháng 1 năm 2008 MỤC LỤC Trang 1 Giải tích trên R 1 1.1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Tô pô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Dãy số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.5 Mở rộng khái niệm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Định nghĩa giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Các tính chất của giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Mở rộng khái niệm giới hạn và một số vấn đề khác . . . . . 23 1.3.5 Định nghĩa hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.6 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.7 Hàm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Các tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.3 Mở rộng khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.4 Vi phân và ứng dụng của vi phân . . . . . . . . . . . . . . 38 i MỤC LỤC ii 1.4.5 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.6 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Giải tích trong R n 56 2.1 Tôpô và các phép toán trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.1 Các phép toán trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.2 Tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.3 Sự hội tụ trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.4 Tôpô trên R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.2 Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.1 Đạo hàm riêng và tính khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . 71 2.3.2 Đạo hàm theo hướng, Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.3 Công thức số gia hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.4 Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4.1 Một số khái niệm và tính chất của hàm vectơ . . . . . . . . 83 2.4.2 Hàm ẩn và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.6 Cực trị của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.6.1 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.6.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến . . 112 2.6.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Chương 1 Giải tích trên R 1.1 Số thực 1.1.1 Định nghĩa số thực Số thực là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học. Các khái niệm toán học như giới hạn, liên tục, vi phân và tích phân đều phải dựa trên khái niệm số thực. Một câu hỏi đặt ra là: số thực là gì và khái niệm số thực xuất hiện như thế nào?. Dưới đây chúng ta sẽ đi giải đáp một phần câu hỏi trên. Trải qua quá trình phát triển dài của lịch sử loài người, do những nhu cầu về đo đạc, tính toán trong thực tế, hệ thống số được mở rộng dần dần. Từ tập các số tự nhiên N = {0, 1, 2, . . . } đến các tập số nguyên Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} rồi được mở rộng thành tập các số hữu tỷ Q = { m n | m, n ∈ Z, n = 0, UCLN(m, n) = 1}. Vào thế kỷ thứ 6 trước công nguyên người ta gặp một con số không thể nào biểu diễn được bằng các số hữu tỷ. Con số này xuất hiện liên quan đến định lý Pitago (bình phương độ dài cạch huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương các cạch góc vuông), đó là √ 2, nó biểu thị độ dài cạch huyền của một tam giác vuông cân có độ dài góc vuông là đơn vị. (Việc chứng minh √ 2 không phải là một số hữu tỷ coi như là bài tập cho các bạn sinh viên). Tập số thực là mở rộng của tập số hữu tỷ, nó là tập số hữu tỷ được bổ sung thêm một loại số mới là các số vô tỷ ( √ 2 là một số vô tỷ). Tuy nhiên nó không đơn thuần là tập rời rạc các số hữu tỷ và vô tỷ, tập 1.1. Số thực 2 số thực còn được xây dựng như là một cấu trúc chặt chẽ bao gồm các phép toán và thứ tự của các phần tử. Có nhiều phương pháp xây dựng tập số thực tương đương với nhau, trong đó phương pháp tiên đề là một phương pháp được sử dụng phổ biến trong việc định nghĩa nhiều đối tượng, mô hình khác nhau. Sau đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựng tập số thực. Định nghĩa 1.1.1 Tập số thực R là một tập hợp chứa tập các số hữu tỷ Q. Trên R có hai phép tính cộng, nhân và quan hệ thứ tự tương ứng là mở rộng của hai phép tính cộng, nhân và quan hệ thứ tự trên Q, sao cho hai phép tính và quan hệ thứ tự này thỏa mãn các tiên đề 1., 2., 3. dưới đây: 1. Phép tính cộng + và phép tính nhân . thỏa mãn + : R × R → R (x, y) → x + y (R, +) là nhóm giao hoán, tức là • x + y = y + x với mọi x, y ∈ R, • x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ R, • tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R, • với mọi x ∈ R tồn tại −x ∈ R sao cho x + (−x) = 0, (−x được gọi là phần tử đối của x). . : R × R → R (x, y) → xy = x.y R cùng với phép nhân . thỏa mãn các tính chất sau • xy = yx với mọi x, y ∈ R, • x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ R, • tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho x1 = x với mọi x ∈ R, • với mọi x ∈ R, x = 0 tồn tại x −1 ∈ R sao cho xx −1 = 1, (x −1 được gọi là phần tử nghịch đảo của x). Giữa hai phép tính này có mối liên hệ sau x(y+z) = xy+xz(tính chất phân phối). 2. Quan hệ thứ tự ≤ sao cho đối với hai phần tử bất kì x, y ∈ R ta luôn có x ≤ y hoặc y ≤ x và quan hệ thứ tự ≤ có các tính chất sau: 1.1. Số thực 3 • x ≤ x ∀x ∈ R và nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y (tính phản xứng), • nếu x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z (tính bắc cầu), • x ≤ y khi và chỉ khi x + z ≤ y + z ∀z ∈ R, • nếu 0 ≤ x, 0 ≤ y thì 0 ≤ xy. Ta viết x < y (hoặc y > x) nếu x ≤ y và x = y. 3. Tiên đề về cận trên đúng: Mọi tập A ⊂ R, A = ∅, A bị chặn trên đều có cận trên đúng (các khái niệm: chặn trên, cận trên đúng sẽ được giải thích trong định nghĩa 1.1.3). Bên cạnh tập số thực chúng ta cũng sử dụng khái niệm tập số thực mở rộng. Các khái niệm vô cùng, âm vô cùng, dương vô cùng thường xuyên được sử dụng trong toán học, nên người ta mở rộng tập số thực sao cho nó bao gồm các khái niệm này. Tập số thực mở rộng được ký hiệu là R bao gồm R và hai ký hiệu −∞(đọc là âm vô cùng), +∞ (đọc là dương vô cùng) với quy ước như sau 1. Với mỗi x ∈ R, ta đặt x ± (+∞) = ±∞, x ± (−∞) = ∓∞, x ±∞ = 0. 2. Với mỗi x ∈ R, ta đặt x(±∞) = 0 nếu x = 0, x(±∞) = ±∞ nếu x > 0, x(±∞) = ∓∞ nếu x < 0. 1.1.2 Một số khái niệm cơ bản Trong cuốn sách này chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu về tập hợp sau: • Cho A ⊆ R, ký hiệu A + = {x ∈ A | x > 0}, A − = {x ∈ A | x < 0}, A ∗ = A \ {0}. 1.1. Số thực 4 • Cho a, b là các số thực, ký hiệu (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (a, b)được gọi là một khoảng mở hay khoảng, [a, b ] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, [a, b ]được gọi là một khoảng đóng hay đoạn, [a, b ) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, [a, b ), (a, b]được gọi là các khoảng nửa mở. • Cho a là một số thực. [a, +∞), (−∞, a], (a, +∞), (−∞, a) tương ứng là ký hiệu của các tập các số thực lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng a, lớn hơn a, nhỏ hơn a và được gọi chung là các khoảng vô hạn. Định nghĩa 1.1.2 1. Phần tử lớn nhất: giả sử A ⊆ R, a ∈ A được gọi là phần tử lớn nhất của A nếu x ≤ a ∀x ∈ A. Phần tử lớn nhất của A được ký hiệu là max A (max là chữ viết tắt của từ maximum có nghĩa là lớn nhất). 2. Phần tử nhỏ nhất: giả sử A ⊆ R, b ∈ A được gọi là phần tử nhỏ nhất của A nếu b ≤ x ∀x ∈ A. Phần tử nhỏ nhất của A được ký hiệu là min A (min là chữ viết tắt của từ minimum có nghĩa là nhỏ nhất). Ví dụ: Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. min A = 0, không tồn tại max A. Định nghĩa 1.1.3 1. Tập bị chặn trên, cận trên: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực a sao cho x ≤ a với mọi x ∈ A, phần tử a như vậy được gọi là một cận trên của A. 2. Tập bị chặn dưới, cận dưới: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực b sao cho b ≤ x với mọi x ∈ A, phần tử b như vậy được gọi là một cận dưới của A. 3. Tập bị chặn: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Ví dụ: 1. Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. Ta thấy 2 là một cận trên của A, −2 là một cận dưới của A, A bị chặn trên và bị chặn dưới, vậy A bị chặn. 1.1. Số thực 5 2. Tập A = {x ∈ R | −1 ≤ x}. A có một cận dưới là −2, suy ra A bị chặn dưới. Với mỗi số thực a ta đều tìm được x ∈ A sao cho a < x, vậy a không là cận trên của A, suy ra A không có cận trên nào và A không bị chặn trên. Định nghĩa 1.1.4 1. Cận trên đúng: giả sử A là bị chặn trên, a được gọi là cận trên đúng của A nếu a là số bé nhất trong tất cả các cận trên của A. Cận trên đúng được ký hiệu là sup A (sup là chữ viết tắt của supremum). Nếu A không bị chặn trên ta quy ước sup A = +∞. 2. Cận dưới đúng: giả sử A là bị chặn dưới, b được gọi là cận dưới đúng của A nếu b là số lớn nhất trong tất cả các cận dưới của A. Cận dưới đúng được ký hiệu là inf A (inf là chữ viết tắt của infimum). Nếu A không bị chặn dưới ta quy ước inf A = −∞. Ví dụ: 1. Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. Dễ thấy tập các cận trên của A là [1, +∞), 1 là phần tử nhỏ nhất của tập này suy ra sup A = 1. Tập các cận dưới của A là (−∞, 0], 0 là phần tử lớn nhất của tập này suy ra inf A = 0. 2. Xét tập A = {. . . 1 4 , 1 3 , 1 2 , 1, 2, 3, 4 . . .}. Tập các cận dưới của A là (−∞, 0], 0 là phần tử lớn nhất của tập này suy ra inf A = 0. Tập A không bị chặn trên suy ra sup A = +∞. Nhận xét 1.1.5 Cho A ⊆ R. Theo tiên đề về cận trên đúng nếu A bị chặn trên thì A có cận trên đúng, còn nếu A không bị chặn trên thì ta quy ước sup A = +∞, vậy sup A bao giờ cũng tồn tại, tương tự inf A bao giờ cũng tồn tại. Trong khi đó không phải lúc nào cũng có max A, min A, nếu tồn tại max A, min A thì có thể dễ chỉ ra rằng max A = sup A, min A = inf A. Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một số là sup A, inf A. Định lý 1.1.6 1. Cho A ⊂ R là tập bị chặn trên, a là một số thực. a = sup A khi và chỉ khi x ≤ a ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a − ε < x ε . 2. Cho A ⊂ R là tập bị chặn dưới, b là một số thực. b = inf A khi và chỉ khi b ≤ x ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho x ε < b + ε. 1.1. Số thực 6 Chứng minh: Ta sẽ chứng minh 1., 2. được chứng minh tương tự. (⇒) Giả sử a = sup A, ta có a là một cận trên của A nên x ≤ a ∀x ∈ A. Bây giờ ta sẽ đi chứng minh với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a − ε < x ε . Thật vậy giả sử điều ngược lại: tồn một giá trị ε > 0 sao cho với mọi x ∈ A ta có a − ε ≥ x, khi đó theo định nghĩa cận trên ta có a −ε là một cận trên của A. Suy ra a không thể là cận trên đúng (cận trên đúng của một là cận trên nhỏ nhất trong tất cả các cận trên của tập đó) của A. Vô lý. Suy ra điều giả sử là sai, vậy với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a − ε < x ε . (⇐) Giả sử số thực a có tính chất: x ≤ a ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a−ε < x ε , ta đi chứng minh a = sup A. Vì x ≤ a ∀x ∈ A nên a là một cận trên của A, suy ra sup A ≤ a (1) ( do sup A là cận trên nhỏ nhất trong các cận trên của A). Theo giả thiết với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a − ε < x ε mà x ε ≤ sup A nên a −ε < sup A (2). Từ (1) và (2) ta có a −ε < sup A ≤ a với mọi giá trị ε > 0. Điều này xảy ra chỉ khi a = sup A. ✷ Ví dụ: Cho A ⊆ R, ký hiệu −A = {−x | x ∈ A}. Sử dụng định lý trên có thể chứng minh được rằng: sup A = −inf(−A). Thật vậy ta xét 2 trường hợp • A không bị chặn trên. Khi đó −A không bị chặn dưới. Ta có sup A = +∞, inf(−A) = −∞, do đó sup A = −inf(−A). • A bị chặn trên. Đặt a = sup A. Theo định lý trên ta có x ≤ a ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x ε ∈ A sao cho a−ε < x ε , hay là ta có −x ≥ −a ∀−x ∈ −A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại −x ε ∈ −A sao cho −a + ε > −x ε . Lại theo định lý trên thì −a = inf(−A), do đó sup A = −inf(−A). Định nghĩa 1.1.7 Cho họ tập hợp A i (i ∈ I) với I là tập chỉ số nào đó có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Giao và hợp của họ tập hợp A i (i ∈ I) tương ứng là các tập được ký hiệu và định nghĩa như sau i∈I A i = { a | a ∈ A i ∀ i ∈ I } , i∈I A i = {a | ∃i ∈ Isao cho a ∈ A i }. Tức là giao của họ tập hợp A i (i ∈ I) là tập bao gồm các phần tử chung của tất cả các tập A i (i ∈ I), hợp của họ tập hợp A i (i ∈ I) là tập bao gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập A i (i ∈ I). 1.1. Số thực 7 Ví dụ: Xét họ tập A n = [− 1 n , n](n ∈ N, n = 0). Ta có n∈N,n=0 A n = [0, 1], n∈N,n=0 A n = [−1, +∞). Định lý 1.1.8 (Nguyên lý Cantor) Cho A n = [a n , b n ], n ∈ N là dãy các đoạn lồng nhau, tức là A 0 ⊇ A 1 ⊇ A 2 . . Ta có dãy đoạn A n , n ∈ N có ít nhất một phần tử chung , hay n∈N A n = ∅. Nếu dãy đoạn này thắt lại tức là giới hạn lim n→∞ (b n − a n ) = 0 (khái niệm giới hạn sẽ được nghĩa trong phần sau của chương này) thì phần tử chung này là duy nhất, hay tập n∈N A n chỉ có một phần tử. 1.1.3 Tô pô trên tập số thực Giả sử x ∈ R , A ⊆ R , ta định nghĩa a. Lân cận. Cho δ ∈ R , δ > 0, khoảng mở (x − δ, x + δ) được gọi là δ− lân cận của x. Một tập N ⊆ R được gọi là lân cận của x nếu nó chứa một δ− lân cận nào đó của x. Như vậy mỗi δ− lân cận của x cũng là một lân cận của x. Tập N là lân cận của +∞ nếu có số thực m sao cho (m, +∞) ⊂ N. Tương tự N là lân cận −∞ nếu có số thực m sao cho (−∞, m) ⊂ N. Ví dụ: (−3, −1) là 1− lân cận của −2, (0, 9; 1, 1) là 0, 1− lân cận của 1, [−0, 5; 6) là một lân cận của 1 vì nó chứa 0, 1− lân cận của 1. (100, +∞) là một lân cận của +∞. (−∞, 100) là một lân cận của −∞. b. Điểm giới hạn. Điểm x được gọi điểm giới hạn của tập A nếu mỗi lân cận của x đều chứa ít nhất một điểm y ∈ A và y = x. Ví dụ: 0 là điểm giới hạn của các tập A = {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . .}, B = [0, 1). Thật vậy mỗi lân cận N của 0 đều chứa một δ− lân cận nào đó của 0, tức là chứa tập (−δ, δ). Chọn y = 1 n ∈ A, B với n đủ lớn sao cho 1 n < δ, ta có 1 n ∈ (−δ, +δ) ⊆ N. Vậy theo định nghĩa 0 là điểm giới hạn của A và B. [...]... + 1 lim xnk = lim k→∞ 1. 2.3 Dãy Cauchy Định nghĩa 1. 2 .12 (Dãy Cauchy) Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mỗi ε > 0 đều tìm được Nε ∈ N sao cho |xm − xn | < ε với mọi n > Nε và mọi m > Nε 15 1. 2 Dãy số thực Ví dụ: 1 Dãy xn = 1 + 1 1 + + 2 là dãy Cauchy Thật vậy ta có 22 n 1 1 1 + + + 2| (n + 1) 2 (n + 2)2 m 1 1 1 ≤| + + + | n(n + 1) (n + 1) (n + 2) (m − 1) m 1 1 1 1 1 1 =|... 5 ax − 1 lim = ln a, x→0 x (1 + x)a − 1 lim = a x→0 x 1 + tgx 13 ) sin x Ta có x→0 1 + sin x tgx − sin x 13 1 + tgx 13 A = lim ( ) sin x = lim (1 + ) sin x x→0 x→0 1 + sin x 1 + sin x tgx−sin x 1+ sin tgx − sin x tgx−sinxx (1+ sin x) sin3 x = lim (1 + ) x→0 1 + sin x 1 tgx − sin x tgx − sin x Đặt y = ,z = , ta có A = lim [ (1 + y) y ]z x→0 1 + sin x (1 + sin x) sin3 x Vì 0−0 lim y = = 0, x→0 1+ 0 Ví... 1 1 =| − + − + + − | n n +1 n +1 n+2 m 1 m 1 1 1 =| − |< n m n |xm − xn | = | Ở trên ta giả sử m ≥ n Với mỗi ε > 0 ta chọn Nε ∈ N sao cho với m ≥ n > Nε ta có |xm − xn | < 1 < ε, khi đó Nε 1 1 < ε < n Nε 2 Dãy xn = ( 1) n không là dãy Cauchy Thật vậy với ε = 1 thì với mọi N1 ∈ N đều tìm được m chẵn, n lẻ, m > N1 , n > N1 sao cho |xm − xn | = |1 − ( 1) | = 2 > ε Định lý 1. 2 .13 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)... sin2 x 1 1 − cos x 2 lim z = lim = lim x→0 x→0 (1 + sin x) cos x sin2 x x→0 sin2 x (1 + sin x) cos x sin2 x x2 1 1 = 2 lim x 2 = 2 .12 1 2 x→0 4 ( )2 4 sin x (1 + sin x) cos x 2 1 = , 2 26 1. 3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số nên ta có 1 lim z 1 A = (lim (1 + y) y )x→0 = e 2 y→0 1. 3.5 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1. 3 .18 Giả sử f là một hàm số xác định trên (a, b), x0 ∈ (a, b) Ta nói 1 f liên... khác 1 e = lim (1 + )n n→∞ n 1 1 2 Xét dãy {xn } cho bởi công thức truy hồi sau x0 = 2, xn +1 = (xn + ) (n ≥ 2 xn 0) Bằng quy nạp ta có thể chứng minh xn > 0 ∀n ≥ 0 Theo bất đẳng thức 1 1 − x2 1 n Cauchy ta có xn = (xn 1 + ) ≥ 1 ∀n ≥ 1 Ta có xn +1 −xn = ≤ 2 xn 1 2xn 18 1. 2 Dãy số thực 0 ∀n ≥ 0 Vậy {xn } là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 1, suy ra nó hội tụ Giả sử a là giới hạn của {xn }, ta có a ≥ 1 Để... đóng nào chứa A 1 1 1 1 1 1 Ví dụ: A = {1, , , , }, Ao = ∅, A = {0, 1, , , , }, ∂A = A 2 3 4 2 3 4 o B = (0, 1] , B = (0, 1) , B = [0, 1] , ∂B = {0, 1} h Tập compact Tập A là tập compact nếu A đóng và bị chặn Ví dụ: [0, 1] là tập compact [1, +∞) không là tập compact 9 1. 2 Dãy số thực i Tập trù mật Tập A được gọi là trù mật trong tập B ⊆ R nếu B ⊆ A Ví dụ: (0, 1) trù mật trong [0, 1] Tập số hữu tỷ... ≥ 1} = n→∞ − inf{xn | n ≥ 1} Hay ta có lim xn = inf{xn | n ≥ 1} n→∞ 2 Ví dụ: 1 Xét dãy 1 1 1 + + + 1! 2! n! Dễ thấy {xn } là dãy đơn điệu tăng, hơn nữa xn = 1 + xn < 1 + 1 + 1 1 + + n 1 = 1 + 2 (1 − 2(−n) ) < 3 2 2 Vậy dãy {xn } bị chặn, suy ra {xn } hội tụ Ký hiệu e = lim xn n→∞ Số e được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật Người ta chứng minh được rằng e là số vô tỷ, e xấp xỉ bằng 2, 718 28... số các phần tử của {xn } Ký hiệu đoạn đó là [a1 , b1 ] và chú ý a1 + b1 a1 + b1 b−a Lại chia [a1 , b1 ] thành hai đoạn [a1 , ] và [ , b1 ] rằng b1 − a1 = 2 2 2 Một trong hai đoạn này sẽ chứa vô số các phần tử của {xn } Ký hiệu đoạn đó là b1 − a1 b−a [a2 , b2 ] và ta có b2 − a2 = = 2 Cứ làm như vậy ta sẽ được dãy các đoạn 2 2 lồng nhau [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ [ak , bk ] ⊃ , Theo... của {xn }, ta có a ≥ 1 Để tìm a ta dựa vào nhận xét sau 1 1 1 1 ), (xn + ) = ( lim xn + n→∞ 2 xn 2 n→∞ lim xn lim xn +1 = lim n→∞ n→∞ hay 1 1 a = (a + ) 2 a Giải ra ta được a = 1, loại trường hợp a = 1 (do a ≥ 1) Vậy a = 1 và lim xn = 1 n→∞ 1. 2.5 Mở rộng khái niệm giới hạn Định nghĩa 1. 2 .16 (Giới hạn vô cùng) Cho {xn } là dãy số thực Ta nói rằng 1 dãy này có giới hạn là +∞ nếu với mọi số thực x đều... chọn Nε bằng bao cho |xn − 0| = n4 − 1 n3 − 1 : nhiêu Muốn vậy ta làm trội n4 − 1 n3 − 1 < n4 − 1 n3 = n4 − 1 Vậy chỉ cần chọn Nε sao cho n 3 n4 < n 4 n4 − 1 2 < n 2 Nε 2 2 < ε hay Nε > 2 thì với mọi n > Nε ta có Nε ε n3 − 1 < n4 − 1 2 < ε Nε 11 1. 2 Dãy số thực Một dãy số có thể hội tụ đến nhiều giá trị khác nhau trong R hay không? Câu trả lời sẽ có sau đây Định nghĩa 1. 2.3 (Dãy số bị chặn) Dãy {xn }