PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023 BGD TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 27 Bài thi mơn: TỐN (Đề gồm có 06 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên thí sinh:……………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………… Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng vectơ phương đường thẳng d ? Câu 2: Câu 3: x +1 y − z − = = −2 Vectơ ( −3;1; −2 ) C 2x −1 y= x + Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=− A B y = −2 C x = −2 A ( −1; 2;3) d: B ( 3;1; −2 ) D ( 3; −1; −2 ) D y = Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số 1, 2, 3, 4,5, ? 3 A C6 B 3! C D A6 Câu 4: Cho khối trụ có chiều cao h = bán kính đáy r = Thể tích khối trụ cho A 72π B 8π C 12π D 24π Câu 5: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ? A y = − x + x − C y = − x + x − Câu 6: Câu 7: B y = x − x − D y = x − x − f ( x) = 2x +1 Một nguyên hàm hàm số 2 F ( x) = 2x + x F ( x) = x + x F ( x) = A B C y = f ( x) Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ f ( x) − = Số nghiệm phương trình A B Câu 8: Câu 9: log ( x + 1) = Nghiệm phương trình A x = 10 B x = Cho hàm số y = f ( x) D F ( x ) = x2 + C D C x = D x = e − có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? ( −∞; −1) ( 0; ) ( −∞;0 ) ( 0;5) A B C D Câu 10: Cho số phức z1 = − i z2 = + 2i Điểm biểu diễn số phức z1 + z2 điểm đây? M ( 3;1) Q ( −3; −1) P ( 3; −1) N ( −3;1) A B C D Câu 11: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a chiều cao h = 8a Thể tích khối chóp cho A 8a B 48a 3 C 16a D 24a 2 ( S ) : x + y + z − x + y − = Tâm ( S ) có tọa độ Câu 12: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu 2; − 3;0 ) ( 2; − 3; ) ( 2;3; ) ( 4; − 6; ) A B C ( D log ( ab ) Câu 13: Cho a ; b hai số thực dương tùy ý a log b b log a log a log b A B C log a + log b D Câu 14: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x ≤ A B C ∫ Câu 15: Nếu A f ( x ) dx = −2 ∫ g ( x ) dx = −6 B −8 D ∫  f ( x ) − g ( x ) dx C −4 D A ( −2;1; −1) Câu 16: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Ox có toạ độ ( 2; 0;0 ) ( 0;1; −1) ( −2;0;0 ) ( −2;1;0 ) A B C D Câu 17: Số phức liên hợp số phức z = −1 + 2i A z = −1 − 2i B z = − i C z = + 2i Câu 18: Cho khối cầu có bán kính R = Thể tích khối cầu cho 500π 250π A B 100π C − Câu 19: Tập xác định hàm số y = x ¡ \ { 0} A B ¡ Câu 20: Cho hình nón có diện tích xung quanh phần hình nón cho 2 A 11π a B 7π a C S xq = 4π a [ 0; +∞ ) D z = + i D 25π D ( 0; +∞ ) diện tích đáy 3π a Diện tích tồn C 10π a D 12π a ( un ) có u2 = , công sai d = −2 Số hạng u1 B C −6 D −1 ( P ) : 3x − y + z + 10 = Điểm thuộc Câu 22: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng Câu 21: Cho cấp số cộng A ( P) ? Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Q ( 2; −1;3) D Câu 23: Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước 3, 4, A 72 B 24 C 12 D 18 A M ( 2; 2; −3) Câu 24: Cho hàm số B y = f ( x) N ( 1; 2; −3) C P ( 3; −2; ) có bảng biến thiên sau Giá trị cực tiểu hàm số cho A −3 B −1 C D C 10 D 10 Câu 25: Môđun số phức z = − i A B 2 Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (tham khảo hình vẽ) Góc mặt phẳng A 30 C 60 ( SBC ) ( ABCD) B 45 D 90 Câu 27: Tích giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số 65 A B 20 C f ( x) = x + x [ 1;3] 52 D z1 Câu 28: Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = −2 + i Phần ảo số phức z2 −7 −4 −7 −4 i i A B C D f ( x) Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm hàm số cho A B f ′ ( x ) = ( x − 3x + ) ( x + ) ( x − ) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị C D 1 + = Mệnh đề Câu 30: Cho a, b, c ba số thực dương, khác thỏa mãn log a c log b c đúng? 4 3 A a b = B a + b = c C a b = c D a b = c + x −3 > x Câu 31: Tập nghiệm bất phương trình ( 0; +∞ ) ( −∞;0 ) ( −∞;0] A B C D [ 0; +∞ ) Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 32: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x + , y = −2 , x = x = tính công thức đây? A S = π ∫ ( x − 1) dx B S = ∫ ( x − 1) dx Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu C S = ∫ ( x + 3) dx ( S ) : ( x − 1) D S = π ∫ ( x + ) dx + ( y + ) + ( z + 1) = ( α ) : x − y + z − = Phương trình tắc đường thẳng mặt phẳng d qua tâm ( S ) ( α ) vng góc với x −1 y + z +1 x +1 y − z −1 = = = = −1 −1 A B x + y −1 z + x − y +1 z − = = = = −2 −1 −2 −1 C D Câu 34: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB CD Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN tạo thành hình trụ Thể tích khối trụ π a3 A B π a e ln x ∫1 x dx Câu 35: Xét , đặt u = ln x ∫ u du C 2π a D 4π a e ln x ∫1 x dx − ∫ u du e ∫ u du ∫ u du A B C D Câu 36: Một đội văn nghệ trường gồm học sinh nam, có bạn tên An học sinh nữ, có bạn tên Bình Xếp ngẫu nhiên đội văn nghệ thành hàng ngang để biểu diễn tiết mục đồng ca Xác suất để hai bạn nữ liên tiếp có hai bạn nam đồng thời An ln đứng cạnh Bình 1 1 A 1260 B 840 C 210 D Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác · cân A, BAC = 120° , AB = 2a, AA′ = a Gọi M trung điểm cạnh BC (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng C ′M AB 2a 66 A 11 a 66 B 22 a 22 C 11 a 66 D 11 1  x+2 f ( x) =  − x + Câu 38: Cho hàm số ≤ x < e2 ≤ x ≤ Khi ∫ f ( ln x ) dx + ∫ xf x ( ) x + dx Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 37 A B ax + b f ( x) = x − c ( a, b, c ∈ ¡ Câu 39: Cho hàm số 19 C ) 27 D có đồ thị hình vẽ Trong số a , b , c có số dương? A B C D Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = a x + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ  3π   − ;3π ÷  phương trình f ( sin x ) − f ( sin x ) + = Số nghiệm thuộc khoảng  A 13 B C 12 D Câu 41: Cho hàm số f ( x ) = x4 − 2x2 + m m ( tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị f ( x ) < 3min f ( x ) [ −20; 20] cho max [ 0;2] [ 0;2] nguyên m thuộc đoạn Tổng phần tử S A 63 B 51 C 195 D 23 z + ( m + 1) z + m + = m Câu 42: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( tham số thực) z + z2 = 8? Có giá trị m để phương trình có nghiệm z1 , z2 thỏa mãn Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 B A Câu 43: Hàm số y = f ( x) C có đạo hàm f ( x ) + x f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = x − x − x + D liên tục log Câu 44: Có số nguyên thỏa mãn A 46 B 44 ( nhiêu giá trị g ( x ) = f x + 2021x + m ) thỏa mãn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị 2023 log 88 C S = 8π D S = 4π ) ( x + + x > log 2023 log 88 C 43 y = f ( x) y = f ′( − 2x) Câu 45: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ sau: bao y = f ( x) y = f ′( x) hàm số , A S = B S = Có ¡ nguyên tham số ( x2 + − x )? D 45 m ∈ [ −2021; 2021] để hàm số có điểm cực trị? A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 46: Cho lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, cạnh bên có độ dài 2a Gọi 4a M , O trung điểm A ' B ' A ' C ' Biết khoảng cách AM CO Thể tích khối lăng trụ ABD A ' B ' D ' a3 A B 2a ( x; y ) thỏa mãn Câu 47: Có cặp số nguyên ( ) ( ) a3 C ( D a ) log x + y + x + log x + y ≤ log x + log x + y + x ? A B C D Câu 48: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy 3 có góc đỉnh 120° Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho tam giác SAB tam giác vuông, khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) 3 A B C D Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 49: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Mặt cầu ( S) N ( a; b; c )  x = + 2t  ∆ :  y = 1+ t  z = −t  mặt phẳng ( P) : x + y + z − = ( P ) A Điểm có tâm I thuộc ∆ (I có hồnh độ âm ) tiếp xúc với mặt phẳng điểm thay đổi ( S ) , khoảng cách ON lớn giá trị T = a + b − c bao nhiêu, biết diện tích tam giác IAM 3 (M giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng ( P ) ) A + Câu 50: Xét số phức B −2 − z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ lớn Khi 5a − 2b A B ) C −2 + thỏa mãn z − + 3i = C 16 D −2 + z + − 4i + z − đạt giá trị D 12 HẾT Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1.B 11.D 21.A 31.B 41.A Câu 1: 4.D 14.D 24.A 34.B 44.C ( −3;1; −2 ) C Lời giải r u = ( 3;1; −2 ) d Đường thẳng có vectơ phương 2x −1 y= x + Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A ( −1; 2;3) y=− Ta có Câu 3: 3.D 13.C 23.A 33.A 43.A 8.C 18.A 28.A 38.A 48.D 9.A 19.D 29.B 39.D 49.B 10.A 20.B 30.C 40.A 50.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x +1 y − z − d: = = Oxyz −2 Vectơ Trong không gian , cho đường thẳng vectơ phương đường thẳng d ? A Câu 2: 2.D 12.C 22.A 32.C 42.D BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.B 7.D 15.A 16.C 17.A 25.C 26.C 27.B 35.D 36.B 37.D 45.D 46.A 47.A B B y = −2 lim y = lim y = x →+∞ ( 3;1; −2 ) x→−∞ C x = −2 Lời giải D ( 3; −1; −2 ) D y = Vậy y = đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số 1, 2, 3, 4,5, ? A C6 B 3! C Lời giải D A6 Gọi số số tự nhiên có chữ số khác abc Câu 4: Số số tự nhiên có chữ số khác lập từ số cho A6 Cho khối trụ có chiều cao h = bán kính đáy r = Thể tích khối trụ cho A 72π B 8π C 12π D 24π Lời giải V = π r h = 24π Câu 5: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ? A y = − x + x − B y = x − x − C y = − x + x − D y = x − x − Lời giải Đồ thị hình bên hàm trùng phương với hệ số a > có ba điểm cực trị Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 6: f ( x) = 2x +1 Một nguyên hàm hàm số 2 F ( x) = 2x + x F ( x) = x + x F ( x) = A B C Lời giải Ta có Câu 7: ∫ ( x + 1) dx = x Cho hàm số y = f ( x) + x+C D F ( x ) = x2 + có bảng biến thiên hình vẽ f ( x) − = Số nghiệm phương trình A B C D Lời giải f ( x) − = ⇔ f ( x) = Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm Ta có: số Câu 8: Câu 9: y = f ( x) y= 3 1< < Ta thấy nên phương trình có nghiệm đường thẳng log ( x + 1) = Nghiệm phương trình A x = 10 B x = C x = Lời giải D x = e − Điều kiện: x + > ⇔ x > −1 log ( x + 1) = ⇔ log ( x + 1) = log10 ⇔ x + = 10 ⇔ x = Ta có: y = f ( x) Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? ( −∞; −1) ( 0; ) ( −∞;0 ) ( 0;5) A B C D Lời giải ( −∞; −1) ; ( 2; +∞ ) Hàm số cho nghịch biến khoảng Câu 10: Cho số phức z1 = − i z2 = + 2i Điểm biểu diễn số phức z1 + z2 điểm đây? M ( 3;1) Q ( −3; −1) P ( 3; −1) N ( −3;1) A B C D Lời giải M ( 3;1) Ta có z1 + z2 = − i + + 2i = + i Vậy điểm biểu diễn số phức z1 + z2 điểm Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 11: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a chiều cao h = 8a Thể tích khối chóp cho 3 3 A 8a B 48a C 16a D 24a Lời giải 1 V = Bh = 6a 8a = 24a 3 Thể tích khối chóp cho bằng: ( S ) : x + y + z − x + y − = Tâm ( S ) có tọa độ Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2; − 3;0 ) ( 2; − 3; ) ( 2;3; ) ( 4; − 6; ) A B C ( D Lời giải 2 ( S ) : x + y + z − x + y − = có tâm I ( 2; − 3;0 ) Mặt cầu log ( ab ) Câu 13: Cho a ; b hai số thực dương tùy ý a log b b log a log a log b A B C log a + log b D Lời giải log ( ab ) = log a + log b Câu 14: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x ≤ B A D C Lời giải log x ≤ ⇔ < x ≤ Mà x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { 1; 2;3; 4} Vậy bất phương trình cho có bốn nghiệm nguyên ∫ f ( x ) dx = −2 Câu 15: Nếu A ∫ g ( x ) dx = −6 B −8 ∫  f ( x ) − g ( x ) dx C −4 Lời giải 4 1 D ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = − −6 = A ( −2;1; −1) Câu 16: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm trục Ox có toạ độ ( 2; 0;0 ) ( 0;1; −1) ( −2;0;0 ) ( −2;1;0 ) A B C D Lời giải A ( −2;1; −1) ( −2;0; ) Ta có hình chiếu vng góc điểm trục Ox có toạ độ Câu 17: Số phức liên hợp số phức z = −1 + 2i A z = −1 − 2i B z = − i C z = + 2i Lời giải Ta có số phức liên hợp số phức z = −1 + 2i z = −1 − 2i Câu 18: Cho khối cầu có bán kính R = Thể tích khối cầu cho 500π 250π A B 100π C Lời giải 4 500π V = π R3 = π ( 5) = 3 Thể tích khối cầu D z = + i D 25π Page 10 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A S = π ∫ ( x − 1) dx B S = ∫ ( x − 1) dx 1 C Lời giải D S = π ∫ ( x + ) dx S = ∫ x + − (−2)dx = ∫ x + 3dx = ∫ ( x + 3) dx Ta có S = ∫ ( x + 3) dx 0 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 1) = 2 ( α ) : x − y + z − = Phương trình tắc đường thẳng mặt phẳng d qua tâm ( S ) ( α ) vng góc với x −1 y + z +1 x +1 y − z −1 = = = = −1 −1 B A x + y −1 z + x − y +1 z − = = = = −2 −1 D −2 −1 C Lời giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) Mặt phẳng + ( y + ) + ( z + 1) = 2 có tâm r n = ( 2; −1; ) (α) I ( 1; −2; −1) có vectơ pháp tuyến r α n = ( 2; −1; ) ( ) Vì đường thẳng d vng góc với nên d nhận làm vectơ phương x −1 y + z +1 = = −1 Vậy phương trình tắc đường thẳng d là: Câu 34: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB CD Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN tạo thành hình trụ Thể tích khối trụ π a3 3 A B π a C 2π a D 4π a Lời giải Khối trụ cần tìm có bán kính r= A M B D N C AB =a , chiều cao h = AD = a 2 Vậy thể tích khối trụ V = π r h = π a a = π a e ln x ∫1 x dx Câu 35: Xét , đặt u = ln x e ln x ∫1 x dx Page 14 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A ∫ u du B du = − ∫ u du e ∫ u du C Lời giải ∫ u du D dx x Đặt u = ln x , ta có Khi x = u = , x = e u = e ln x d x = ∫1 x ∫0 u du Vậy Câu 36: Một đội văn nghệ trường gồm học sinh nam, có bạn tên An học sinh nữ, có bạn tên Bình Xếp ngẫu nhiên đội văn nghệ thành hàng ngang để biểu diễn tiết mục đồng ca Xác suất để hai bạn nữ liên tiếp có hai bạn nam đồng thời An ln đứng cạnh Bình 1 1 A 1260 B 840 C 210 D Lời giải Ω = 10! Không gian mẫu: Biến cố A là: xếp 10 học sinh cho để hai bạn nữ liên tiếp có hai bạn nam đồng thời An ln đứng cạnh Bình Đánh số thứ tự vị trí đứng từ đến 10 Vì để hai bạn nữ liên tiếp có hai bạn nam đứng nên nữ phải đứng vị trí 1, 4, 7,10 nam đứng vị trí 2,3,5, 6,8,9 Trường hợp 1: Bình đứng vị trí Khi An bắt buộc phải đứng vị trí nên An có cách đứng Xếp nữ cịn lại nam cịn lại vào vị trí: 5!.3! cách ⇒ 5!.3! cách xếp 10 học sinh theo u cầu tốn Trường hợp 2: Bình đứng vị trí 10, tương tự trường hợp có 5!.3! cách xếp 10 học sinh theo yêu cầu tốn Trường hợp 3: Bình đứng vị trí Khi An có cách chọn vị trí vị trí Xếp nữ cịn lại nam cịn lại vào vị trí: 5!.3! cách ⇒ 2.5!.3! cách xếp 10 học sinh theo yêu cầu tốn Trường hợp 4: Bình đứng vị trí 7, tương tự trường hợp ta có 2.5!.3! cách xếp 10 học sinh theo yêu cầu toán ⇒ A = ( 5!.3!) + ( 2.5!.3!) = 4320 A 4320 P ( A) = = = Ω 10! 840 Vậy · Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân A, BAC = 120° , AB = 2a, AA′ = a Gọi M trung điểm cạnh BC (tham khảo hình vẽ) Page 15 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Khoảng cách hai đường thẳng C ′M AB 2a 66 A 11 a 66 B 22 a 22 C 11 Lời giải a 66 D 11 Gọi N trung điểm AC , ta có MN // AB (vì M trung điểm BC ) ⇒ AB // ( C ′MN ) ⇒ d ( AB, C ′M ) = d ( AB, ( C ′MN ) ) = d ( B, ( C ′MN ) ) = d ( C , ( C ′MN ) ) Trong tam giác CMN , kẻ CK ⊥ MN NC = AC = a ·CNM = CAB · · = 120° ⇒ CNK = 60° ; Ta có a · CK = CN sin CNK = Xét ∆CKN vng K , ta có  MK ⊥ CK ⇒ MK ⊥ ( CC ′K ) ⇒ MK ⊥ CH  ′ MK ⊥ CC ′ ′ ∆ CKC CH ⊥ C K  Trong , kẻ Ta có ⇒ CH ⊥ ( C ′MN ) ⇒ d ( C , ( C ′MN ) ) = CH Page 16 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 CH = CK CC ′ CK + CC ′ 2 Trong tam giác C ′CK vng C , ta có = a a 2 a 3  ÷ + a   ( = ) a 66 11 a 66 11 Vậy 1 e2  x + ≤ x < f ( ln x ) f ( x) =  d x + ∫1 x ∫ xf x + dx − x + ≤ x ≤ Câu 38: Cho hàm số Khi 37 19 27 A B C D Lời giải Ta có d ( AB, C ′M ) = ( e f ( ln x ) dx = ∫ f ( ln x ) d ( ln x ) ⇔ I1 = ∫ f ( u ) du x e2 +) ) I1 = ∫ 2 1  ⇔ I1 = ∫ f ( x ) dx = ∫  x + ÷dx =  0 I2 = +) ∫ xf ( ) x + dx = ∫ x + f ) ( ( x2 + d 5 2 x2 + ⇔ I = ∫ u f ( u ) du = ∫ x f ( x ) dx ⇔ I = ∫ x ( − x + ) dx = e Vậy ∫ f ( ln x ) dx + ∫ xf x Câu 39: Cho hàm số f ( x) = ( ax + b x−c ) x + dx = + ( a, b, c ∈ ¡ ) 27 37 = 2 ) 27 có đồ thị hình vẽ Trong số a , b , c có số dương? A B C Lời giải D Page 17 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 b ⇔ 0 Suy a, b, c > Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = a x + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ  3π   − ;3π ÷  phương trình f ( sin x ) − f ( sin x ) + = Số nghiệm thuộc khoảng  A 13 B C 12 D Lời giải Đặt t = sin x , với  3π  x ∈  − ; 3π ÷⇒ t ∈ [ −1;1]   , ta phương trình:  f ( t) =  f ( t ) = ±2 f ( t) − f ( t) + = ⇔  ⇔  f ( t ) =  f ( t ) = ±3 Xét phương trình: f ( t ) = −2 khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] t = a ∈ ( 0;1) f ( t) = ⇔  t = b ∈ ( −1; ) Xét phương trình: +) sin x = a cho nghiệm +) sin x = b cho nghiệm Xét phương trình: f ( t ) = −3 khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] Xét phương trình: f ( t ) = ⇔ t = phương trình có nghiệm Vậy phương trình cho có 13 nghiệm Page 18 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) = x4 − 2x2 + m m ( tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị f ( x ) < 3min f ( x ) [ −20; 20] cho max [ 0;2] [ 0;2] nguyên m thuộc đoạn Tổng phần tử S A 63 B 51 C 195 D 23 Lời giải f ( x) = x − 2x + m Xét hàm số đoạn [ 0;2] x = f ′ ( x ) = ⇔ x3 − x = ⇔  f ′ ( x ) = 4x − 4x x = Ta có: ; f ( 1) = m − 1; f ( ) = m + 8; f ( ) = m max f ( x ) = m + 8; f ( x ) = m − [ 0;2] [ 0;2] max f ( x ) = m + f ( x ) = m − [ 0;2] , [ 0;2] 11 max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ + m < ( m − 1) ⇔ m > [ 0;2] Khi đó: [ 0;2] +) Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ +) Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −8 Khi đó: +) Nếu max f ( x ) = m − f ( x ) = −m − [ 0;2] , [ 0;2] max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ − m < ( − m − ) ⇔ m < − [ 0;2] [ 0;2] 25 ( m − 1) ( m + 8) < ⇔ −8 < m < max f ( x ) = max { m + , m − } = max { m + 8,1 − m} > 0; f ( x ) = [ 0;2] [ 0;2] max f ( x ) < 3min f ( x ) [ 0;2] Khi đó, khơng thỏa điều kiện [ 0;2] 25  m < −  25   11    m > 11 m ∈  −20; − ÷∪  ; 20 m ∈ − 20; 20 [ ]  2   Do đó:  kết hợp với ta có Mà m ∈ z ⇒ S = { −20; −19; −18; ; −13; 6; 7; , 20} Tổng phần tử S + + + + 10 + 11 + 12 = 63 z + ( m + 1) z + m + = m Câu 42: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( tham số thực) z + z2 = 8? Có giá trị m để phương trình có nghiệm z1 , z2 thỏa mãn A B C D Lời giải 2 z + ( m + 1) z + m + = ( 1) Phương trình có ∆′ = 2m − Trường hợp : ∆′ > ⇔ m >  z1.z = m + >  z + z = −2 ( m + 1) < Theo Vi-et ta có:  (do m > ) Suy phương trình ( 1) z + z2 = z ,z có nghiệm âm phân biệt thỏa mãn Page 19 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ⇒ − z1 − z2 = ⇒ z1 + z2 = −8 ⇒ m = (thỏa mãn) Trường hợp : ∆′ = ⇔ m = ( 1) trở thành z + z + = ⇔ z1 = z2 = −3 (khơng thỏa mãn) Suy phương trình Trường hợp : ∆′ < ⇔ m < ( 1) có nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z2 = z1 Suy phương trình ⇒ z1 + z2 = ⇒ z1 + z1 = ⇒ z1 = ⇒ z1 = 16 ⇒ z1 z1 = 16 ⇒ z1 z2 = 16 ⇒ m + = 16 ⇒ m = ± 11 Kết hợp điều kiện m < suy m = − 11 thỏa mãn Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 43: Hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x ) + x f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = x − x − x + liên tục ¡ thỏa mãn y = f ( x) y = f ′( x) hàm số , A S = B S = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C S = 8π Lời giải D S = 4π f ( x ) + x f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ′ Ta có Nên f ( x ) + x f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = x − x − x + ⇔ x − x − x + = ( x + 1) f ( x ) ′ ⇒ ( x + 1) f ( x ) = x − x − x + x + C ( 1) ( 1) ta C − = ⇔ C = Suy ( x + 1) f ( x ) = x − x3 − x + x + Thay x = −1 vào ⇒ f ( x ) = x3 − x + x + f ′ ( x ) = 3x2 − x + Khi x = ⇔  x = 2  x = Xét phương trình x − 3x + x + = 3x − x + ⇔ x − x + x = ⇒ S = ∫ x − x + x dx = log Câu 44: Có số nguyên thỏa mãn A 46 B 44 log Đặt 2023 log88 ( ) 2023 log 88 ( C 43 Lời giải x + + x > log 2023 log 88 ( ) x + + x > log 2023 log x2 + − x 88 ( x2 + − x )? D 45 ) (1) Page 20 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 log  881  log 88 Điều kiện:  ( ( ( 1) ⇔ log 2023 log 88  ⇔ log 2023  log  88 ⇔ log88 Khi ( ( ( 2 2 2 2023 ) x + − x log88 ) ( x + + x < ⇔ < log88 < log88 log 88 ( ) 0 < x + − x <  x < x + < x + ⇔ ⇔ ⇔ x>0 x + + x > x + > − x     x +1 + x) > ( x + − x ) + log log ( x + + x ) < x2 + − x > ) 88 ) (  x2 + + x ÷<  ) x2 + + x < x2 + + x ⇔ x > ) x + + x < ⇔ x + + x < 88 ⇔ x + < 88 − x 88 − x > 7743 ⇔ ⇔ x< 176  x + < 7744 + x − 176 x Khi  7743  S =  0; ÷  176  Vậy tập nghiệm bất phương trình Số nghiệm nguyên bất phương trình 43 nghiệm y = f ( x) y = f ′( − 2x) Câu 45: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ sau: Có giá trị ngun tham số điểm cực trị? A 2019 Vì m ∈ [ −2021; 2021] B 2020 ( g ( x ) = f x + 2021x + m trị dương ) để hàm số ( g ( x ) = f x + 2021x + m C 2021 Lời giải hàm số chẵn nên số điểm cực trị ) có D 2022 g ( x) lần số cực f ( x3 + 2021x + m ) Với x > 0, ta có cộng với g ( x ) = f ( x + 2021x + m ) ; g ′ ( x ) = ( x + 2021) f ′ ( x + 2021x + m ) Page 21 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 x = t = ±2 f ′ ( x ) = f ′ ( − 2t ) = ⇔  ⇔  x = 3− x t =  t=  x = −1 Đặt x = − 2t ta có  x + 2021x + m =  x + 2021x = − m (1)   g ′ ( x ) = ⇔  x + 2021x + m = ⇔  x + 2021x = − m (2) 3  x + 2021x + m = −1  x + 2021x = −1 − m (3)   Suy g ( x) Hàm số có điểm cực trị có phương trình (1), (2), (3) có nghiệm dương Xét hàm số h ( x ) = x + 2021x Ta có BBT h ( x) có h′ ( x ) = x + 2021 sau: Vì − m > − m > −1 − m nên ta có − m > ⇔ m < m ∈ [ −2021; 2021] ∩ ¢ m ∈ { −2021; ;0} Mà nên Vậy có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 46: Cho lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, cạnh bên có độ dài 2a Gọi 4a M , O trung điểm A ' B ' A ' C ' Biết khoảng cách AM CO Thể tích khối lăng trụ ABD A ' B ' D ' a3 A B 2a a3 C Lời giải D a Page 22 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 *Gọi N , I trung điểm D′C ′ B′C ′ Gọi P đối xứng M qua I , AMPC hình bình hành ⇒ AM // ( COP ) ⇒ d ( AM ; OC ) = d ( AM ; ( COP ) ) = d ( M ; ( COP ) ) = d ( N ; ( COP ) ) ⇒ d ( C '; ( COP ) ) = = 2d ( C ′; ( COP ) ) = 4a 2a Gọi K hình chiếu C ′ cạnh OP , gọi J hình chiếu C ′ CK ⇒ d ( C '; ( COP ) ) = C ' K *Gọi độ dài cạnh đáy x 1 x x OP =  x  + x = x SC ' OP = S NOP = x =  ÷  2 2 ; Ta có: x2 2S x ⇒ C ' K = C ' OP = = OP x 1 81 1 a = + ⇔ = 2+ ⇒ C 'K = 2 2 CC ' C ' K 4a 4a C ' K 10 Trong tam giác CC ' K có: C ' J ⇒ x a a = ⇔x= 10 2 a3 a V = 2a  ÷ = 2 Vậy Câu 47: Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Page 23 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ( ) ( ) ( ) log x + y + x + log x + y ≤ log x + log x + y + x ? A B C D Lời giải ⇔ log Ta có bất phương trình Đặt x2 + y + x x2 + y + 2x ≤ log x x2 + y x2 + y2 + x log = t ⇒ x + y + x = x.3t x Khi bất phương trình x2 + y + 2x x2 + y2 + 2x x.3t + x t ⇔ log ≥t ⇔ ≥2 ⇔ ≥ 2t 2 2 t x +y x +y x.3 − x t t t 3t + 1 1 1 ⇔ t ≥ 2t ⇔ 3t + ≥ 2t ( 3t − 1) ⇔ 3t + + 2t ≥ 6t ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ ( 1) −1  2  6  3 t t t  1 1 1 f ( t) =  ÷ +  ÷ +  ÷       hàm số nghịch biến ¡ Xét hàm số Bất phương trình log Khi ta có ( x − 1) Ta có ( 1) ⇔ f ( t ) ≥ f ( 1) ⇔ t ≤ x2 + y + x ≤ ⇒ x + y + x ≤ x ⇔ ( x − 1) + y ≤ x ≤1 ⇔ ≤ x ≤ Với x = ⇒ y = Với x = ⇒ y = ±1 Với x = ⇒ y = Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn điều kiện tốn Câu 48: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy 3 có góc đỉnh 120° Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho tam giác SAB tam giác vng, khoảng cách từ tâm đường trịn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) 3 3 A B C D Lời giải + Gọi O tâm đường tròn đáy CD đường kính vng góc với dây cung AB + Ta có OA = OB = OC = OD = R = 3 · + Do khối nón có góc đỉnh 120° nên OSD = 60° Page 24 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  OD 3 3 · ⇔ tan 60° = ⇔ SO = =3  tan OSD =  SO SO tan 60°  OD 3 3  sin OSD · = ⇔ sin 60 ° = ⇔ SD = =6  SD SD sin 60° + Tam giác vuông SOD có:  ⇒ Khối nón có chiều cao h = đường sinh l = + Do tam giác SAB vuông cân S , có SA = SB = l = nên AB = SA = + Gọi M giao điểm AB CD ta có M trung điểm AB (tính chất đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây cung đó) Suy MA = MB = AB = =3 2 + Tam giác vng MOA có OM = OA2 − AM = ( 3) − ( ) 2 =3 + Kẻ OH vng góc với SM H ta có: OH ⊥ SM    AB ⊥ SO  ⇒ OH ⊥ ( SAB)  OH ⊥ AB   AB ⊥ OM ⇒ AB ⊥ ( SOM ) ⇒ AB ⊥ OH ÷     + Suy d ( O, ( SAB ) ) = OH Tam giác SOM vng O có OH đường cao ứng với cạnh 1 1 1 = + ⇔ = + ⇔ OH = 2 2 OS OM OH 3 huyền SM nên ta có: OH  x = + 2t  ∆ :  y = 1+ t  z = −t ( P) : x + y + z − =  Câu 49: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng mặt phẳng Mặt cầu ( S) N ( a; b; c ) ( P ) A Điểm có tâm I thuộc ∆ (I có hồnh độ âm ) tiếp xúc với mặt phẳng điểm thay đổi ( S ) , khoảng cách ON lớn giá trị T = a + b − c bao nhiêu, biết diện tích tam giác IAM 3 (M giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng A + ( P ) ) B −2 − C −2 + D −2 + Page 25 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Lời giải ( P ) ta có: Áp dụng cơng thức tính góc đường thẳng ∆ mặt phẳng rr 2.1 + 1.2 + ( −1) u n sin ( ∆ , ( P ) ) = r r = = u.n ° · 2 + 12 + ( −1) 12 + 2 + 12 Suy góc IMA = 30 ( S ) , ta có: IA = R Tam giác IAM vuông A có: Gọi R bán kính mặt cầu · IMA = 30° ⇒ AM = R S IAM = 3 ⇔ IA AM = 3 ⇔ R = −1 t< I t + 1;1 + t ; − t ( ) I ∈ ∆ ⇒ Giả sử ,  t = −1 = 6⇔ ⇒ I ( −1; 0;1) 12 + 2 + 12 t = ( L ) 3t − d ( I,( P) ) = R ⇔ ( S ) : ( x + 1) Phương trình mặt cầu + y + ( z − 1) = ⇒ N ∈ OI ∩ ( S ) Khoảng cách ON lớn  x = −t  y = z = t Đường thẳng OI có phương trình:  Tham số t ( −t + 1) ứng với giao điểm OI t = + 2 + 02 + ( t − 1) = ⇔ ( t − 1) = ⇔  t = − ( ( S) nghiệm phương trình: ) ( ( S ) hai điểm X −1 − 3;0;1 + ; Y −1 + 3;0;1 − Suy đường thẳng OI cắt OX = OY = ( −1 − ) + ( + ) ( −1 + ) + ( − ) 2 2 ) ( ) 2( − 3) = 4+2 = Do OX > OY nên điểm N thỏa mãn toán N trùng điểm X Page 26 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 a = −1 −  ⇒ N −1 − 3;0;1 + ⇒ b = ⇒ a + b − c = −2 −  c = + ( ) Câu 50: Xét số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn lớn Khi 5a − 2b A B Đặt z1 = −1 + 4i, z2 = z − + 3i = z + − 4i + z − C 16 Lời giải đạt giá trị D 12 z, z1 z Gọi M , B, C điểm biểu diễn số phức Khi M ( a; b ) , B ( −1; ) Ta có z − + 3i = ⇔ ( a − ) + ( b + 3) = 16 C ( 9;0 ) H ( 4; ) Gọi H trung điểm BC 2 ( C ) tâm I ( 2; −3) , nên M thuộc đường trịn bán kính R = Dễ thấy IB > R, IC > R nên hai điểm B, C nằm ngồi đường trịn uuu r uuur uuu r uuu r IH = ( 2;5 ) , BC = ( 10; −4 ) Do nên IH BC = Suy I thuộc trung trực BC ( C) ( C ) điểm M cho I nằm M H MB + MC lớn Do đó, IH cắt ( C ) Vì với điểm N khác M thuộc đường tròn NB + NC ≤ ( NB + NC 2 )  BC  2 =  NH + ÷ = NH + BC    BC  2 2 MB + MC = MH +  ÷ = 4MH + BC > NH + BC   Chú ý nên MB + MC > NB + NC Vậy điểm M uuu r r R uuu IM = − IH IH thỏa mãn (1) Page 27 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 uuur uuu r IM = ( a − 2; b + 3) , IH = ( 2;5 ) , R = 4, IH = 29  a − =  b + =  Do (1) tương với  Vậy 5a − 2b = 16 −4  5a = 10 − 29  ⇒ −4 2b = −6 −  29 40 29 ⇒ 5a − 2b = 16 40 29 HẾT Page 28