PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023 BGD TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 25 Bài thi mơn: TỐN (Đề gồm có 06 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên thí sinh:……………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………… Câu 1: x Tính đạo hàm hàm số y = Câu 3: 5x ln B y′ = x.5 Phương trình log ( x − 5) = có nghiệm A x = B x = 15 A Câu 2: y′ = x −1 x C y′ = ln x D y′ = C x = 37 D x = 30 Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài cạnh 3a, 4a, 5a 3 B 60a A 12a C 80a D 20a π Câu 4: Câu 5: Câu 6: Tập xác định hàm số y = ( x + 27) A D = (−3; +∞) B D = ¡ \ {−3} C D = ¡ Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2, u4 = −54 Tìm cơng bội q A −9 B C −3 D D = [ −3; +∞) D −27 Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) C Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y = f ( x) số , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức b A Câu 8: V = π ∫ f ( x ) dx a Môđun số phức A b V = 2π ∫ f ( x ) dx B z = ( −4 + 3i ) i B a b C V = π ∫ f ( x ) dx a b D V = π ∫ f ( x ) dx a C D Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 9: Với a số thực dương tùy ý, −3 A a a bằng? B a C a − D a Câu 10: Cho số phức z = −2 + i Trong hình dưới, điểm biểu diễn số phức z B Q D N SA ⊥ ( ABCD ) Câu 11: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AB = a , SA = 2a Thể tích khối chóp cho A M C P a3 2a 3 A 2a B C D 6a Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = Diện tích xung quanh hình trụ cho A 12π B 24π C 36π D 42π Câu 13: Cho số phức z = − 2i Phần ảo số phức z là? A B −2 C 2i D −2i Câu 14: Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số , , , ? A B 4! C C4 D 4!− 3! Câu 15: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) < ( −∞;9 ) ( −∞;10 ) ( 1;10 ) ( 1;9 ) A B C D Câu 16: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y = x − 3x − 4 B y = − x + x − C x − x − x Câu 17: Tìm họ nguyên hàm hàm số y = e + x D y = − x + x − Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 x +1 e + x2 + C x A e + x + C B e + + C C x + D e + x + C 3x − y= x −1 Câu 18: Tìm đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y = B x = C y = D x = x x Câu 19: Giá trị cực tiểu hàm số y = − x + 3x + A yCT = B yCT = C yCT = y = f ( x) Câu 20: Cho hàm số Phương trình A f ( x) = D x = có bảng biến thiên sau: có nghiệm? B C D 1   ; e Câu 21: Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số y = x − ln x đoạn   Giá trị M − m e − ln − 2 D e − Câu 22: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M (3; −1;1) trục Oz có tọa độ A (3;0;0) B (3; −1;0) C (0; 0;1) D (0; −1; 0) Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (α ) : x − y − z + = nhận vectơ sau làm vectơ pháp tuyến? uu r uu r uu r r n = (5; − 7;1) n = ( − 5; − 7;1) n = ( −5;7;1) n = (5;7;1) A B C D A B e − ln − C f ( x ) dx = e x + sin x + C f ( x) Câu 24: Nếu ∫ x x x A e − cos x B e + sin x C e − sin x π ∫  f ( x ) + cos x  dx = Câu 25: Biết A x D e + cos x π Khi ∫ f ( x ) dx B C D Câu 26: Một hộp chứa cầu xanh, cầu vàng (các cầu đôi khác nhau) Chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp, tính xác suất để chọn có xanh 7 21 A 11 B 11 C 44 D 220 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 2 Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + = Tâm mặt cầu ( S ) có tọa độ A (8; −2; 0) B (4; −1; 0) C ( −8; 2; 0) D (−4;1;0) Câu 28: Phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ ) có nghiệm phức + 4i Giá trị a + b bằng: A 31 B D 29 Câu 29: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M , N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng: A 2π B 3π C 19 D 8π C 4π Câu 30: Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Giá trị A C D  x = −1 + t  d :  y = − 3t z = t  Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình điểm A ( 2;3;1) B ∫ f ( x ) dx −2 ( P) qua điểm A , vng góc với đường thẳng d có phương trình B x − y + z + = C x − y + z − = D − x + y − z + = ( P ) : x + y − z + = đường thẳng Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng Mặt phẳng x + y + z+6=0 A d: x −1 y +1 z − = = −1 Đường thẳng qua A ( 1; 2; −1) cắt B, C ( a; b; c ) A −15 ( P) d cho C trung điểm AB Giá trị biểu thức a + b + c bằng: B −12 C −5 D 11 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A ( 1;0;0 ) B ( 0; 2;0 ) C ( 0;0; ) Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , , Viết phương trình đường thẳng ∆ qua trực tâm H tam giác ∆ABC vng góc với mặt phẳng ( ABC ) x −1 y z = = −4 A x y z ∆: = = C x −1 y −1 z = = −1 B x y −1 z +1 ∆: = = −2 D x x x Câu 34: Tính tổng T tất nghiệm thực phương trình 4.9 − 13.6 + 9.4 = 13 T= T= A B T = C D T = y = x3 − mx − (2m − 3) x − m + Câu 35: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số đồng biến ¡ ? ∆: A ∆: B D C Câu 36: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi M trung điểm cạnh SC , tính cơsin góc ϕ đường thẳng BM mặt phẳng ( ABC ) cos ϕ = cos ϕ = 10 14 A B C D Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có mặt đáy ABC tam giác vng B có cos ϕ = 21 cos ϕ = AB = a, AC = a 3, A′B = 2a Gọi M trung điểm cạnh AC Tính khoảng cách từ M đến ( A′BC ) a A a 3a 3a B C D Câu 38: Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi V ' thể tích khối tám mặt có đỉnh V' trung điểm cạnh khối đa diện ABCD Tính tỉ số V bằng: 1 A B C f ( x) Câu 39: Cho hàm số A I = − 2e liên tục ¡ có −2 B I = − 2e f ( −2 ) = 2; f ( ) = I= Tính D f ′( x) − f ( x) ∫ −2 ex dx −2 D I = + 2e Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với C I = + 2e đáy, SC = a Gọi M , N , P, Q trung điểm SB, SD, CD, BC Thể tích khối chóp A.MNPQ a3 A a3 B a3 C a3 D 12 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 z = ( + 3i ) z − 25 Câu 41: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường thẳng có phương trình A x − y − 25 = B x − y + 25 = C x + y + 25 = D x − y = Câu 42: Cho hàm số f ( x) F ( x) ,G ( x) f ( x) liên tục R Gọi hai nguyên hàm R thỏa e2 ∫ f ( ln x ) dx F ( ) − G ( ) = F ( ) − 2G ( ) = F ( 1) − G ( 1) = −1 x mãn , Tính A −2 B −4 C −6 D −8 y = f ( x) Câu 43: Cho hàm số có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + xf ′( x) = x + x + 3, ∀x ∈ ¡ Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ′ ( x ) thuộc khoảng ( 28; 29 ) ( 29;30 ) C D z − ( m − 1) z + m = m Câu 44: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( tham số thực) Có bao A ( 27; 28 ) B ( 26; 27 ) z + z2 = nhiêu giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn A B C D Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 45: Cho hàm số đa thức bậc ba hình vẽ Có giá trị nguyên tham số y = f ( f ( x) + m) A C Câu 46: Biết log ( m để hàm số có điểm cực trị? B D tập nghiệm ) bất x − x + + + log ( x − x + ) < a + 2b A B phương ( a; b ) trình Khi tổng C D z + z + | z − z∣= Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn , Gọi M , m giá trị lớn nhầt, giá trị nhỏ biểu thức P =| z − − 3i | Giá trị cùa M + m A + 58 C 10 + 58 B 10 D 10 + 34 A ( 1;1;0 ) B ( 1;1;10 ) C ( 4;5;6 ) Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Xét điểm M · thay đổi cho tam giác ABM có AMB ≥ 90° có diện tích 15 Giá trị lớn độ dài đoạn thẳng MC thuộc khoảng đây? A ( 7;8 ) B ( 8;9 ) C Câu 49: Có giá trị nguyên thuộc đoạn ( 9;10 ) [ −2023; 2023] y = x − ( m + ) x + 3m ( m + ) x đồng biến khoảng B 4045 C 4046 A 4044 Câu 50: Có ( x; y ) với x, y nguyên D ( 10;11) tham số thực m để hàm số ( 0; ) ? D 4047 ≤ x, y ≤ 2023 thỏa mãn  2y   2x +1  ÷ ≤ ( x + y − xy − ) log  ÷  x −3 ?  y+2 ( xy + x + y + 8) log  A 4040 B 2023 C 4046 HẾT D 2020 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1.C 11.C 21.D 31.B 41.B Câu 1: 3.B 13.A 23.D 33.C 43.C 4.A 14.B 24.D 34.D 44.D y′ = 5x ln x −1 B y′ = x.5 x Ta có: y′ = ln Phương trình log ( x − 5) = có nghiệm A x = B x = 15 log ( x − 5) = ⇔ x − = 25 ⇔ x = 37 Câu 3: 8.B 18.C 28.C 38.A 48.C 9.D 19.A 29.C 39.A 49.B 10.D 20.B 30.A 40.C 50.A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x Tính đạo hàm hàm số y = A Câu 2: 2.C 12.B 22.C 32.C 42.B BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.C 7.D 15.D 16.D 17.A 25.C 26.A 27.B 35.A 36.A 37.A 45.A 46.D 47.A x C y′ = ln Lời giải x D y′ = C x = 37 Lời giải D x = 30 Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài cạnh 3a, 4a, 5a A 12a B 60a C 80a Lời giải D 20a Thể tích khối hộp chữ nhật V = 3a.4a.5a = 60a π Câu 4: Tập xác định hàm số y = ( x + 27) A D = (−3; +∞) B D = ¡ \ {−3} C D = ¡ Lời giải D D = [ −3; +∞) Hàm số xác định ⇔ x + 27 > ⇔ x > −3 Vậy D = ( −3; +∞) Câu 5: Câu 6: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2, u4 = −54 Tìm cơng bội q A −9 B C −3 Lời giải 3 Ta có: u4 = −54 ⇔ u1.q = −54 ⇔ q = −27 ⇔ q = −3 D −27 Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) C Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) Lời giải Câu 7: ( 1; +∞ ) Dựa vào đồ thị, suy hàm số nghịch biến khoảng y = f ( x) [ a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm Cho hàm số liên tục đoạn y = f ( x) số , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A Câu 8: V = π ∫ f ( x ) dx a Mơđun số phức A Ta có: Câu 9: b B V = 2π ∫ f ( x ) dx a z = ( −4 + 3i ) i B a a D C Lời giải z = ( −4 + 3i ) i = −4i + 3i = −3 − 4i ⇒ z = −3 A a Ta có: C Lời giải b V = π ∫ f ( x ) dx a B Với a số thực dương tùy ý, b V = π ∫ f ( x ) dx ( −3) D + ( −4 ) = a bằng? C a Lời giải − D a − −3 = a = a a Câu 10: Cho số phức z = −2 + i Trong hình dưới, điểm biểu diễn số phức z A M B Q C P Lời giải N ( −2; −1) Ta có: z = −2 − i nên có điểm biểu diễn điểm D N SA ⊥ ( ABCD ) Câu 11: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AB = a , SA = 2a Thể tích khối chóp cho a3 2a 3 A 2a B C D 6a Lời giải Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1 2a V = S ABCD SA = a 2a = 3 Ta có Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy r = chiều cao h = Diện tích xung quanh hình trụ cho A 12π B 24π C 36π D 42π Lời giải S = 2π rh = 24π Diện tích xung quanh hình trụ cho xq Câu 13: Cho số phức z = − 2i Phần ảo số phức z là? A B −2 C 2i D −2i Lời giải Ta có: z = − 2i ⇒ z = + 2i Phần ảo số phức z Câu 14: Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số , , , ? A B 4! C C4 D 4!− 3! Gọi số tự nhiên gồm chữ số có dạng a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Lời giải abcd ( a ≠ ) d có cách chọn Theo quy tắc nhân, có 4.3.2.1 = 4! số Câu 15: Tập nghiệm bất phương trình A ( −∞;9 ) B log ( x − 1) < ( −∞;10 ) ( 1;10 ) C Lời giải D ( 1;9 ) Điều kiện: x > Khi log ( x − 1) < ⇔ x < Kết hợp với điều kiện ta có < x < log ( x − 1) < ( 1;9 ) Tập nghiệm bất phương trình Câu 16: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? Page 10 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 24: f ( x ) dx = e Nếu ∫ f ( x) x x x A e − cos x B e + sin x C e − sin x Lời giải f ( x ) = ( e x + sin x + C ) ′ = e x + cos x Ta có: x + sin x + C π ∫  f ( x ) + cos x  dx = Câu 25: Biết A π Khi ⇔ π 0 π C Lời giải ∫  f ( x ) + cos x  dx = ∫ f ( x ) dx + 2sin x ∫ f ( x ) dx B π Ta có x D e + cos x π π 0 D ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ cos x dx = π π 0 = ⇔ ∫ f ( x ) dx + = ⇔ ∫ f ( x ) dx = Câu 26: Một hộp chứa cầu xanh, cầu vàng (các cầu đôi khác nhau) Chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp, tính xác suất để chọn có xanh 7 21 A 11 B 11 C 44 D 220 Lời giải Chọn ngẫu nhiên cầu từ 12 cầu Số phần tử không gian mẫu Gọi biến cố A : “3 chọn có xanh” TH1: xanh, vàng TH2: xanh n ( A ) = C72 C51 + C73 Khi P ( A) = 11 Xác suất cần tìm n ( Ω ) = C123 2 Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + = Tâm mặt cầu ( S ) có tọa độ A (8; −2; 0) B (4; −1; 0) C ( −8; 2; 0) D (−4;1;0) Lời giải Tâm mặt cầu ( S ) có tọa độ (4; −1; 0) Câu 28: Phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ ) có nghiệm phức + 4i Giá trị a + b bằng: A 31 B C 19 D 29 Lời giải Ta có + 4i nghiệm phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ ) ⇔ (3 + 4i) + a(3 + 4i ) + b = ⇔ −7 + 24i + 3a + 4ai + b = 3a + b − = a = −6 ⇔ ⇔ ⇔ 3a + b − + (4a + 24)i = 4a + 24 = b = 25 ⇒ a + b = 19 Page 13 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 29: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M , N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng: A 2π B 3π D 8π C 4π Lời giải Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN ta hình trụ có đường cao h = AB = , bán kính đường trịn đáy R = BN = AD = Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp = 2π Rh + 2π R = 4π Câu 30: Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Giá trị A C Lời giải B ∫ f ( x ) dx −2 D  x + x < f ( x) =  x ≥ 1 Từ hình vẽ ta có Nên ∫ −2 f ( x ) dx = −2 ∫ ( x + 1) dx + ∫ 1.dx = Page 14 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình A ( 2;3;1) điểm ( P) Mặt phẳng A x + y + z + = d có VTCP Mặt phẳng  x = −1 + t  d :  y = − 3t z = t  r u = ( 1; − 3;1) ( P) qua điểm A , vng góc với đường thẳng d có phương trình B x − y + z + = C x − y + z − = D − x + y − z + = Lời giải r ⇒ ( P) u = ( 1; − 3;1) d vng góc với đường thẳng nhận mơt vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng ( P) 1( x − ) − ( y − 3) + 1( z − 1) = ⇔ x − y + z + = ( P ) : x + y − z + = đường thẳng Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng d: x −1 y +1 z − = = −1 Đường thẳng qua A ( 1; 2; −1) cắt ( P) d B, C ( a; b; c ) cho C trung điểm AB Giá trị biểu thức a + b + c bằng: A −15 B −12 C −5 D 11 Lời giải C ∈ d ⇒ C ( 2t + 1; −t − 1; t + ) Ta có ⇒ B ( 4t + 1; −2t − 4; 2t + ) Do C trung điểm AB −9 −1   B ∈ ( P ) : 4t + + ( −2t − ) − ( 2t + ) + = ⇔ t = ⇒ C  −8; ; ÷ 2   Ta có A ( 1;0;0 ) B ( 0; 2;0 ) C ( 0;0; ) Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm , , Viết phương trình đường thẳng ∆ qua trực tâm H tam giác ∆ABC vng góc với mặt phẳng ( ABC ) x −1 y z = = −4 A x y z ∆: = = C x −1 y −1 z = = −1 B x y −1 z +1 ∆: = = −2 D Lời giải x y z + + = ⇔ 4x + y + z − = ABC ) ( Mặt phẳng có phương trình theo đoạn chắn là: r ( ABC ) có n = ( 4; 2;1) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng ∆: ∆: OH ⊥ ( ABC ) Vì H trực tâm ∆ABC nên Vậy đường thẳng ∆ qua O ( 0; 0;0 ) nhận r n = ( 4; 2;1) làm vectơ phương nên có x y z ∆: = = phương trình tắc là: x x x Câu 34: Tính tổng T tất nghiệm thực phương trình 4.9 − 13.6 + 9.4 = Page 15 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A T= 13 T= B T = C Lời giải x D T = x 9 6 4.9 − 13.6 + 9.4 = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = 4 4 PT: 2x x x  3 3  3 ⇔  ÷ − 13  ÷ + = t =  ÷ ( t > 0)  2 2  2 Đặt x x x t = 4t − 13t + = ⇔  t =  ( thỏa mãn) Phương trình trở thành: x 3 t =1 ⇔  ÷ =1 ⇔ x = 2 +) x 9 3 t= ⇔ ÷ = ⇔ x=2 4 2 +) Vậy T = + = Câu 35: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số đồng biến ¡ ? A B y= x − mx − (2m − 3) x − m + D C Lời giải Ta có y ' = x − 2mx − 2m + Để hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ x − 2mx − 2m + ≥ 0; ∀x ∈ ¡ 1 > a > ⇔ ⇔ ∆ ' ≤ m + 2m − ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Vì m ngun nên m có giá trị −3; −2; −1;0;1 ( a = ≠ 0) Câu 36: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi M trung điểm cạnh SC , tính cơsin góc ϕ đường thẳng BM mặt phẳng A ( ABC ) cos ϕ = 21 B cos ϕ = 10 cos ϕ = C Lời giải 14 D cos ϕ = Page 16 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Gọi N trung điểm cạnh AC , dễ thấy MN đường trung bình tam giác SAC , suy MN ⊥ ( ABC ) · ( ABC ) góc MBN Góc đường thẳng BM mặt phẳng góc ϕ Xét tam giác BMN vuông N : cos ϕ = BN = BM BN BN + MN 2 = BN  SA  BN +  ÷   = a 2  3 a ÷ +a   = 21 Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB = a, AC = a 3, A′B = 2a Gọi M trung điểm cạnh AC Tính khoảng cách từ M đến ( A′BC ) a A a B 3a C Lời giải 3a D Gọi I hình chiếu A lên SB  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( ABA′ ) ⇒ BC ⊥ AI  ′ BC ⊥ AA  Khi AI ⊥ SB   ⇒ AI ⊥ ( A′AB ) ⇒ d ( A, ( A′AB ) ) = AI AI ⊥ BC  Ta có AA′2 = A′B − AB = 4a − a = 3a ⇒ AA′ = a ABA′ : Xét tam giác vuông 1 a 3.a a = + ⇒ AI = = 2 2 AI AA′ AB 3a + a Page 17 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 AM ∩ ( A′BC ) = { C} ⇒ Ta có d ( M , ( A′BC ) ) d ( A, ( A′BC ) ) = CM = CA 1 a ⇒ d ( M , ( A′BC ) ) = d ( A, ( A′BC ) ) = AI = 2 Câu 38: Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi V ' thể tích khối tám mặt có đỉnh V' trung điểm cạnh khối đa diện ABCD Tính tỉ số V bằng: 1 A B C Lời giải D Gọi M , M , M , M , M , M trung điểm cạnh AB, AC , AD, BD, BC CD VAM1M M AM AM AM V = ⇒ VAM1M M = AB AC AD 8 Ta có VABCD V VAM1M M = VBM1M M = VCM M M = VDM M M = Tương tự có V V V ' = V − 4VAM1M M = V − = Ta có = f ′( x) − f ( x) dx ex ∫ f ( x) f ( −2 ) = 2; f ( ) = −2 Câu 39: Cho hàm số liên tục ¡ có Tính −2 −2 A I = − 2e B I = − 2e C I = + 2e D I = + 2e Lời giải Ta có: 0 0 f ′ ( x ) e x − f ( x ) ( e x ) ′ f ′( x) − f ( x) f ( x)  f ( x ) ′ I=∫ dx = ∫ dx = ∫  x ÷ dx = x = − 2e x 2x e e e  e −2 −2 −2 −2  I= Page 18 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SC = a Gọi M , N , P, Q trung điểm SB, SD, CD, BC Thể tích khối chóp A.MNPQ a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D 12 Gọi O = AC ∩ BD; G = AC ∩ PQ   MQ //SC  NP //SC  ⇒ MQ = NP; MQ //NP  MQ = NP = SC   Ta có ⇒ MNPQ hình bình hành ⇒ S MNPQ = 2S ∆NPQ 2 2 2 Ta có SA = SC − AC = 3a − 2a = a ⇒ SA = a Mà PQ = ⇒ S ∆APQ a 3 3a BD = ; AG = AC = a = 2 4 1 a 3a 3a = AG.PQ = = 2 1 3a a VA.MNPQ = 2.VANPQ = 2.VN APQ = VS APQ = SA.S ∆APQ = a = 3 8 Khi z = ( + 3i ) z − 25 Câu 41: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường thẳng có phương trình A x − y − 25 = B x − y + 25 = C x + y + 25 = D x − y = Gọi z = x + yi, ( x; y ∈ ¡ Khi đó: ) Lời giải z = z − 25 Page 19 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ⇔ z = + 3i z − 25 + 3i ⇔ x + yi = x + + ( y − 3) i ⇔ x2 + y = ( x + 4) + ( y − ) ⇔ x + y = x + x + 16 + y − y + ⇔ x − y + 25 = Câu 42: Cho hàm số f ( x) F ( x) ,G ( x) f ( x) liên tục R Gọi hai nguyên hàm R thỏa e2 ∫ f ( ln x ) F ( ) − G ( ) = F ( ) − 2G ( ) = F ( 1) − G ( 1) = −1 2x mãn , Tính A −2 B −4 C −6 D −8 Lời giải G ( x) = F ( x) + C Ta có: dx 2 F ( ) − G ( ) =  F (0) − C =  F (0) =     F ( ) − 2G ( ) = ⇔ − F (2) − 2C = ⇔  F (2) = −6  C =   C =  F ( 1) − G ( 1) = −1 Do e Vậy ∫ ∫ f ( x ) dx = F ( ) − F ( ) = −8 f ( ln x ) f ( ln x ) dx = ∫ d ( ln x ) = ∫ f ( u ) du = −4 2x 20 e2 y = f ( x) hàm số có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + xf ′( x) = x + x + 3, ∀x ∈ ¡ Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường Câu 43: Cho y = f ( x ) y = f ′ ( x ) thuộc khoảng ( 28; 29 ) ( 29;30 ) C D Lời giải 4 Ta có: f ( x ) + x f ′( x) = x + x + ⇔ ( x )′ ×f ( x ) + x f ′( x ) = x + x + A ( 27; 28 ) B ( 26; 27 ) ⇔ [ x f ( x )]′ = x + x + ⇔ x f ( x) = x + x + x + C Vì f ( x) ⇔ f ( x) = x5 + 3x + 3x + C x liên tục ¡ nên C = Suy f ( x) = x + x + ⇒ f ′( x ) = x + Page 20 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ′( x ) , ta có: ( ) x + 3x + = x3 + ⇔ x x3 − x + = x = x =1   ⇔ x ( x − 1) x − 3x − = ⇔  x = + 21   − 21 x =  ( ) Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ′( x ) là: S= 3+ 21 ∫ f ( x) − f ′( x) dx ≈ 28,87 3− 21 Câu 44: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − ( m − 1) z + m = m ( tham số thực) Có bao z + z2 = nhiêu giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn A B C D Lời giải 2 z − ( m − 1) z + m = ( 1) Xét phương trình , ta có ∆ ' = − 2m ∆ ' > ⇔ − 2m > ⇔ m < , S = ( m − 1) < ; P = m ≥ phương Trường hợp 1: trình ( 1) có nghiệm khơng dương phân biệt Ta có: z1 + z2 = ⇔ −2 ( m − 1) = ⇔ m = Trường hợp 2: ∆ ' < ⇔ − 2m < ⇔ m > z1 = ( m − 1) + − 2m , z2 = ( m − 1) − − 2m (nhận) Khi phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt z1 = ( m − 1) + − 2m i , z2 = ( m − 1) − − 2m i m = ( n ) ⇔ ( m − 1) + ( 2m − 1) = ⇔  z + z2 =  m = −1 ( l ) Ta có: m ∈ { ;1} Vậy thỏa yêu cầu toán Câu 45: Cho hàm số đa thức bậc ba hình vẽ Page 21 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 y = f ( f ( x) + m) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải y′ = f ′ ( f ( x ) + m ) f ′ ( x )  f ′( x) =  f ′( x) =   y′ = ⇔  f ( x ) + m = ⇔  f ( x ) = − m f x +m=2  f x = −m +  ( )  ( ) x = f ′( x) = ⇔  x = *  −m ≤  −m ≤   m ≥ −1    1 < − m + < 1 < − m + < −3 < m <   ⇔ ⇔ ⇔   < −m <   < −m <  −5 < m < −2    −m + ≥ −m + ≥    m ≤ −3     Hàm số có điểm cực trị ⇒ m ∈ { −1;0; −3; −4} Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán log Câu 46: Biết tập nghiệm bất phương trình Khi tổng a + 2b A Xét hàm số B f ( x ) = log  f ′ ( x ) = ( x − 1)  2 ⇒  ( ( ) ( C Lời giải x − x + + + log ( x − x + ) ) x2 − x + + ) x − x + + + log ( x − x + ) < ( a; b ) D  ÷ + ÷ x − x + ln ( x − x + ) ln ÷  Page 22 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 g ( x) = Dễ đánh giá ( ) x2 − x + + >0 x − x + ln ( x − x + ) ln + , ∀x ∈ Ă ổử 1ữ fỗ ữ ỗ ữằ 2,989 ỗ Ta lại có f (- 3) = f (4) = , è2 ø Bảng biến thiên: Có f ( ) = f ( 1) = dựa vào bảng biến thiên ta có a = 0; b = Vậy ; suy a + 2b = f ( x ) < ⇔ x ∈ ( 0;1) z + z + | z − z∣= Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn , Gọi M , m giá trị lớn nhầt, giá trị nhỏ biểu thức P =| z − − 3i | Giá trị cùa M + m A + 58 Giả sử C 10 + 58 Lời giải B 10 z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) Ta có D 10 + 34 z + z + | z − z ∣= x + yi = ⇔ x + y = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm cạnh hình thoi ABCD P =| z − − 3i |= x − + ( y − 3) i = ( x − 3) + ( y − 3) ⇒ ( x − 3) + ( y − 3) = P uu r IA = ( 7;3) ⇒ IA = 58 IH = d ( I , ∆ : x + y − = ) =  M = IA = 58  I 3;3 ( ) m = IH = P bán kính đường trịn tâm Dựa vào hình vẽ ta  2 2 Page 23 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A ( 1;1;0 ) B ( 1;1;10 ) C ( 4;5;6 ) Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Xét điểm M · thay đổi cho tam giác ABM có AMB ≥ 90° có diện tích 15 Giá trị lớn độ dài đoạn thẳng MC thuộc khoảng đây? A ( 7;8 ) B ( 8;9 ) ( 9;10 ) C Lời giải D ( 10;11) 30 AB.d ( M , AB ) = 15 ⇔ d ( M , AB ) = =3 AB Ta có Do điểm M thuộc mặt trụ có trục đường thẳng AB có bán kính r = (1) S∆ABM = 15 ⇔ MH = d ( M , AB ) = Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB , ta có Dễ · thấy H khơng thuộc đoạn AB AMB < 90° (khơng thỏa mãn giả thiết) Do H thuộc đoạn AB Đặt AH = x , ta có BH = 10 − x ; 2 MA2 + MB = ( x + ) + ( 10 − x ) +  = x + ( 10 − x ) + 18   2 · · Hơn nữa, ta có AMB ≥ 90° nên cos AMB ≤ , suy MA + MB − AB ≤ ⇔ x + ( 10 − x ) + 18 − 100 ≤ ⇔ x − 20 x + 18 ≤ ⇔ ≤ x ≤ (2) Từ (1) (2) suy điểm M thuộc hình trụ có trục đoạn A′B′ , bán kính r = (như hình vẽ) với A′ ( 1;1;1) ∈ AB; B′ ( 1;1;9 ) ∈ AB C ′ ( 1;1;6 ) ⇒ d ( C , AB ) = CC ′ = Gọi C ′ hình chiếu vng góc C lên AB , ta có Do C nằm ngồi hình trụ ( A′,3) lớn khoảng cách từ C Ta có khoảng cách từ C đến mặt phẳng chứa hình trịn đáy đến mặt phẳng chứa hình trịn đáy ( B′,3) ( B′,3) nên ta tìm điểm M thuộc hình tròn đáy Page 24 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ( A′,3) cho MCmax Gọi K hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng chứa hình trịn đáy ( A′,3) M ′ , với M ′ nằm đoạn A′K (như hình vẽ) Ta có hình trụ Kẻ A′K cắt CK = , M ′K = M ′A′ + A′K = M ′A′ + CC ′ = 2 2 Dễ thấy M ′C = M ′K + CK = + = 89 khoảng cách lớn từ điểm thuộc hình trụ đến điểm C Do MCmax = 89 ∈ ( 9;10 ) Câu 49: Có giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2023; 2023] y = x − ( m + ) x + 3m ( m + ) x đồng biến khoảng B 4045 C 4046 Lời giải A 4044 f ( x ) = x − ( m + ) x + 3m ( m + ) x tham số thực m để hàm số ( 0; ) ? D 4047 ( 0;2 ) Xét hàm số khoảng 2 f ′ ( x ) = 3x − ( m + ) x + 3m ( m + ) =  x − ( m + ) x + m ( m + )   x=m ⇔ f ′( x) = x = m + Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x) qua điểm O ( 0;0 ) * Trường hợp 1: Nếu m > Từ bảng biến thiên, suy y = f ( x) ( 0; ) ⇔ ( 0; ) ⊂ ( 0; m ) ⇔ m ≥ hàm số đồng biến khoảng Kết hợp với m > , ta có m ≥ * Trường hợp 2: Nếu m ≤ < m + ⇔ −4 < m ≤ Từ bảng biến thiên, suy y = f ( x) ( 0; ) ⇔ ( 0; ) ⊂ ( 0; m + ) ⇔ m + ≥ ⇔ m ≥ −2 hàm số đồng biến khoảng Page 25 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Kết hợp với −4 < m ≤ , ta có −2 ≤ m ≤ * Trường hợp 3: Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −4 Từ bảng biến thiên, suy hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) nên hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng ( 0; ) với m ≤ −4  m≥2  −2 ≤ m ≤   m ≤ −4 [ −2023; 2023] nên có 4045 giá trị m thỏa mãn Vậy  Mà m nguyên thuộc khoảng u cầu tốn Câu 50: Có ( x; y ) với x, y nguyên ≤ x, y ≤ 2023 thỏa mãn  2y   2x +1  ÷ ≤ ( x + y − xy − ) log  ÷  x −3 ?  y+2 ( xy + x + y + 8) log  A 4040 B 2023 ìï x, y Î ¥ * : x, y £ 2023 ïï Û í x +1 2y ïï > 0, >0 ï x- y +2 Điều kiện ïỵ C 4046 Li gii ỡù x, y ẻ Ơ * : x, y £ 2023 ïí ỵïï x > 3, y > D 2020  y−2  x+4  + 1÷+ ( x + ) ( y + ) log  + 1÷ ≤ x − y +     BPT cho có dạng (*)  x+4  − ( x − 3) log  + 1÷+ ( x + ) log3 ≤  x −3  TH1: Xét y = (*) thành , rõ ràng BPT ( x − 3) ( y − ) log  nghiệm với x >  x+4  − ( x − 3) < 0, log  + 1÷ > log ( + 1) = 0, ( x + ) > 0, log <  x −3  Như trường hợp cho ta 2020 ( x; y ) = ( x;1) với ≤ x ≤ 2023, x ∈ ¥ ( x + ) log ≤ TH2: Xét y = (*) thành , BPT ln với x mà ≤ x ≤ 2023, x ∈ ¥ Trường hợp cho ta 2020 cặp ( x; y ) VT ( *) > TH3: Xét y > 2, x > nên (*) không xảy Page 26 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Vậy có 4040 số ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu toán HẾT Page 27