TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1/ arctan 2 / arctan 1 3 / arcsin 4 / arcsin 1 5 / ln 6 / arcsin 2 2 7 / ln 2 2 dx dx x x C C a a x a x dx dx x x C C a x a x dx x x k C x k x a x a x dx a x C a x k x kdx x k x x k C = + = + + + = + = + − − = + + + + − = − + + + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 2 2 8 / 9 / 10 / 11/ 12 / ln tan sin 2 13 / ln tan cos 2 4 chx dx shx C shx dx chx C dx thx C ch x dx cothx C sh x dx x C x dx x C x π = + = + = + = − + = +   = + +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2 arcsin x C= + 1 2 2 arctan x C= + 2 4 dx x + ∫ 1 3 3 3 1 ( ) ( ) ln x x e dx e C= = + + ∫ 2 4 dx x− ∫ 3 x x e dx ∫ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) ⇒ dx = u’(t) dt ∫f(x) dx = ∫f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t ⇒ u’(x) dx = dt ∫f(u(x))u’(x) dx = ∫f(t) dt 2. Tích phân từng phần: ∫u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ∫u’(x)v(x) dx Ví dụ 3 2 x x e dx ∫ 3 3 1 3 ( ) x e d x= ∫ 3 1 3 x e C= + 2 2 4 arctan x dx x+ ∫ 1 2 2 2 arctan arctan x x d   =  ÷   ∫ Một số lưu ý khi dùng tp từng phần ( ) n P x n n n P x dx P xdx P xdx α ∫ ∫ ∫ .ln( ) .arctan .arcsin n dv P dx= , là đa thức bậc n. x n n P e dx P xdx α ∫ ∫ . .sin ( ), n u P x= dv là phần còn lại u là phần còn lại Ví dụ arcsinI xdx= ∫ 2 arcsin 1 xdx I x x x = − − ∫ 2 2 1 (1 ) arcsin 2 2 1 d x x x x − = + − ∫ 2 1 arcsin 1 2 x x x C= + − + 2 arcsin 1 dx u x du x = ⇒ = − , dv dx chon v x= = & TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản 2 ( ) , ( ) m dx Ax B dx x a x px q + − + + ∫ ∫ Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có ∆ = p 2 - 4q< 0 [...].. .Tích phân các phân thức cơ bản dx ∫ x − a = ln x − a + C dx 1 1 ∫ ( x − a)m = 1 − m ( x − a)m−1 + C (m > 1) Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B)dx ∫ x 2 + px + q Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) A 2x + p dx  B − Ap  = ∫ 2 dx +  ÷∫ 2 2 x + px + q 2  x + px + q  2x + p du ∫ x 2 + px + q dx = ∫ u = ln u + C Tích phân các phân thức cơ bản dx ∫ x 2 + px + q =∫ dx... 2 2na  ( x + a )  ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH p( x ) Hàm hữu tỷ: f ( x ) = m n 2 r ( x − a) ( x − b) ( x + px + q ) Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng A1 A2 Am B1 Bn f (x) = + + + + + + 2 m x − a ( x − a) x −b ( x − a) ( x − b)n C1x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr + 2 + 2 + + 2 2 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q )r MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x − 1 2x − 1... 0  Ví dụ tính tích phân 2x − 1 ∫ ( x − 1)2 ( x + 3)dx 7 / 16 1/ 4 −7 / 16 =∫ dx + ∫ dx + ∫ dx 2 x −1 x +3 ( x − 1) 7 1 1 7 = ln x − 1 − − ln x + 3 + C 16 4 x − 1 16 2x − 1 −dx xdx ∫ ( x 2 + x + 1)( x + 3) dx = ∫ x + 3 + ∫ x 2 + x + 1 = − ln x + 3 1 (2 x + 1)dx + ∫ 2 2 x + x +1 = − ln x + 3 1 2 + ln( x + x + 1) 2 1 dx − ∫ 2 2  1 3 x + ÷ + 2 4  1 2 x +1/ 2 − arctan +C 2 3 3/2 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ... dx x +1 æ 1 2x - 1 1 = ò dx + ç ç2 è 2 x 2 - x +1 ö dx 1÷ ÷ 2 ÷ øò x - x + 1 1 dx 1 2 = ln( x - x + 1) - ò 2 2 æ 1ö 3 2 çx - ÷ + ÷ ç ÷ è 2ø 4 1 x1 1 2 2 2 +C = ln( x - x + 1) - arctan2 2 2 3 3 Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B)dx A (2 x + p)dx Ap dx ∫ ( x 2 + px + q)n = 2 ∫ ( x 2 + px + q) n + (B − 2 ) ∫ ( x 2 + px + q)n (2 x + p)dx du ∫ ( x 2 + px + q)n = ∫ un dx dv ∫ ( x 2 + px + q)n = ∫ (v2... dx = 3 2 t −1 (t − 1) 3 1 t dt dt I = −6 ∫ t 3 = −3 ∫ 3 3 2 t + 1 (t − 1) t −1 +1 3 t −1 2 2 dt dt I = −3∫ 3 = −3∫ 2 (t − 1)(t + t + 1) t −1 dt t+2 = −∫ +∫ 2 dt t −1 t + t +1 Các trường hợp riêng của tích phân Eurler dx ∫ ax + bx + c 2 ∫ ( Ax + B)dx ax + bx + c 2 ∫ ax + bx + cdx ∫ ( Ax + B) 2 ax + bx + cdx 2 Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng 2  b... 1 B 1 = A+ ( x − 1) ⇒ A = x +3 x +3 4 2x − 1 Để tính nhanh, trong biểu thức ( x − 1)( x + 3) Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)⇒ B = 7/4 2x − 1 A B C f (x) = = + + 2 2 ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 2x − 1 A 1/ 4 C f (x) = = + + 2 2 ( x − 1) ( x + 3) x − . TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 2 2. thức bậc 2 có ∆ = p 2 - 4q< 0 Tích phân các phân thức cơ bản ln dx x a C x a = − + − ∫ 1 1 1 1 ( ) ( ) m m dx C m x a x a − = + − − − ∫ (m > 1) Tích phân các phân thức cơ bản 2 ( )+ + + ∫ Ax. −   +   ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n r p x f x x a x b x px q = − − + + Hàm hữu tỷ: Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng 1