Đang tải... (xem toàn văn)
cuốn bài tập toán cao cấp gồm các dạng toán cơ bản trong chương trình toán cao cấp cho sinh viên các trường cao đẳng ĐH, mỗi dạng toán có phương pháp giải toán, ví dụ minh học, bài tập tự luyện có lời giải hoặc hướng dẫn giải
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng CHƯƠNG I. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN + Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận A = (a ij ) mxn và B = (b ij ) mxn Khi đó C = A + B = (a ij + b ij ) mxn + Phép nhân 1 số với Ma trận: Cho Ma trận A = (a ij ) mxn khi đó k.A = (k.a ij ) mxn + Phép nhân 2 Ma trận Ma trận A được gọi là tương thích với ma trận B nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B Cho ma trận A = [a ij ] mxn và ma trận B = [b ij ] nxp , khi đó ma trân C = [c ij ] mxp được gọi là tích của A và B nếu c ij = is sj 1 . n s a b = ∑ và ký hiệu là C = A.B Chú ý: - Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán - Tích của hai ma trận khác 0 có thể bằng ma trận không. + Phép chuyển vị ma trận. Phép toán trên ma trận mà trong đó các hàng của ma trận chuyển thành các cột gọi là phép chuyển vị ma trận, ký hiệu A T . Như vậy nếu A = [a ij ] mxn thì A T = [a ji ] nxm . CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. 1. Cộng hai ma trận A = và B = 2. Nhân ma trận A = với λ = 3 Giải. 1. Theo định nghĩa ta có A + B = 1 5 2 6 6 8 3 7 4 8 10 12 + + = + + 2. λ.A = 3. = = Ví dụ 2. Trong trường hợp nào thì: 1. Có thể nhân bên phải một ma trận hàng với một ma trận cột ? 2. Có thể nhân bên phải một ma trận cột với một ma trận hàng ? Giải. 1 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 1. Ma trận hàng là ma trận có kích thước (1 x n), ma trận cột có kích thước (m x 1). Phép nhân hai ma trận này thực hiện được nếu n = m, tức là (1 x n).(n x 1) = (1 x 1) kết quả của phép nhân là một số cụ thể [a 1 a 2 … a n ]. 1 2 . . n b b b = [a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n ] = c 2. Ma trận cột có kích thước (m x 1) ma trận hàng có kích thước (1 x n) nên phép nhân này luôn thực hiện được, và kết quả là 1 2 . . m a a a . = 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 . . . . n n m m m n a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ví dụ 3. Tính A.B và B.A nếu 1. A = , B = 2. A = , B = Giải. 1. A.B = . = = Tích B.A không tồn tại vì số cột của ma trận B khác số hàng của ma trận A 2. Ta có ma trận A và B tương thích nhau nên A.B = . = = Tương tự, B.A = . = Ví dụ 4. 1. Cho ma trận A = , tìm mọi ma trận X sao cho AX = XA 2. Tìm mọi ma trận giao hoán với ma trận A = 3. Tính tích Giải. 1. Vì A là ma trận vuông cấp 2 nên để tích AX và XA xác định thì X cũng là ma trận cấp 2. Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó 2 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng A.X = . = X.A = = Vì A.X = X.A nên b = 0, a = d, do đó X = ∀a,c ∈ R 2. Tương tự câu 1, Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó A.X = . = X.A = . = Vì A.X = X.A ⇒ ⇔ (b ∈ R) Vậy X = (b ∈ R) 3. Dễ dàng thấy rằng = . Từ ví dụ này suy ra rằng nếu A.B = O thì không nhất thiết ma trận A = O hoặc B = O Ví dụ 5. Tìm ma trận lũy thừa của ma trận A = Giải. Ta có A 2 = . = A 3 =A 2 . A = . = , A 4 = A 3 .A = . = Như vậy các lũy thừa tiếp theo đều bằng ma trận O BÀI TẬP 1. Tính A + B, A.B và B.A nếu a, A = , B = ; b, A = , B = . 2. Tính tích các ma trận a, (ĐS ) b, . (ĐS ) c, . (ĐS ) d, . (ĐS ). e, (ĐS ). f, (ĐS ). 3 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 3. Tính A.B và B.A nếu a, A = , B = (ĐS Tích A.B không tồn tại, B.A = ). b, A = , B = (ĐS Tích A.B không tồn tại, B.A = c, A = , B = (ĐS A.B = , B.A không tồn tại) DẠNG 2: ĐỊNH THỨC + Phương pháp tính định thức - Định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3 được tính theo các công thức = a 11 .a 22 - a 21 .a 12 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 32 .a 21 - a 13 .a 22 .a 31 - a 23 .a 32 .a 11 - a 33 .a 21 .a 12 - Định thức cấp n * Khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc một cột. * Sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đã cho thành định thức mới sao cho phần tử a ij ≠ 0 còn các phần tử khác nằm trên dòng i hoặc cột j bằng 0, khi đó detA = (-1) i+j .a ij .M ij trong đó M ij là định thức con thu được bằng cách bỏ dòng i, cột j của định thức A. * Sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đã cho thành định thức tam giác, khi đó detA = a 11 .a 22 a nn CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. 1, Tính số nghịch thế trong hoán vị (5, 3, 1, 6, 4, 2) 4 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 2, Với những giá trị nào của i và j thì số hạng a 51 a 1j a 2j a 43 a 32 của định thức cấp 5 có dấu trừ. Giải. 1, Các bước để tính nghịch thế - Tính xem có bao nhiêu số đứng trước số 1 (giả sử có k 1 số) rồi gạch bỏ số 1 khỏi hoán vị - Tiếp theo đếm xem có bao nhiêu số đứng trước số 2 (giả sử có k 2 số) rồi ghạch bỏ số 2 vv - Khi đó số hoán vị là inv(α 1 , α 2 , … , α n ) = k 1 + k 2 + … + k n Bằng phương pháp trên ta thấy inv(531642) = 2+ 4 + 1 + 2 = 9. 2, Các chỉ số I và j chỉ có thể nhận được các giá trị sau đây: i = 4, j = 5 hoặc i = 5, j = 4 vì với các giá trị khác của i và j thì tích đã cho chứa ít nhất hai phần tử của cùng một cột. Để xác định dấu của số hạng ta sắp xếp các số hạng của tích theo thứ tự tăng của chỉ số thứ nhất rồi tính số nghịch thế của hoán vị các chỉ số thứ hai. Ta có a 1j a 2j a 32 a 43 a 51 + Giả sử i = 4, j= 5 ⇒ inv(45231) = 8, do đó với I = 4, j = 5 số hạng đã cho có dấu (+) + Giả sử I = 5, j = 4 ⇒ inv(45231) = 9, do đó số hạng đã cho có dấu (-). Vậy số hạng đã cho có dấu (-) khi I = 5, j = 4 Ví dụ 2. Tính các định thức sau đây 1, ∆ 1 = ; 2, ∆ 2 = 3, ∆ 3 = ; 4, ∆ 4 = Giải. 1, Tính ∆ 1 bằng cách khai triển theo hàng hoặc theo cột, ở đây ta khai triển theo hàng 1 ∆ 1 = (-1) 1+4 .a 14 = (-1) 5 .a 14 .(-1) 2+3 .a 23 = a 14 .a 23 .a 32 .a 41 2, Ta khai triển theo cột 1 ∆ 2 = 1. - 2 + 3 - 4 = 1.0 -2.0 + 3.0 - 4.0 = 0 (ở đây các định thức cấp 3 đều có hai cột tỷ lệ với nhau nên chúng bằng 0). 3, Áp dụng các tính chất để thu được các số 0 trong một cột hoặc một hàng. Ta quy ước ký hiệu h 2 - h 1 → h 2 ’ nghĩa là lấy hàng thứ hai trừ đi hàng thứ nhất để thu được hàng thứ hai mới, tương tự như vậy ta ký hiệu các phép biến đổi theo cột. 5 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng ∆ 3 = = = h 2 -h 1 → h 2 ’ = = 1.(-1) 2+2 = -1 4, Tương tự câu 3 ta có ∆ 4 = = = a 13 .A 13 = 1.(-1) 3 = = (-1) 5 . = -264 Như vậy từ việc tính định thức cấp 5 ta đã biến đổi để đưa về định thức cấp 3, việc tính định thức cấp 3 có thể dùng cách biến đổi như trên hoặc áp dung quy tắc sarrus. Ví dụ 3. Tính các định thức sau 1, ∆ 1 = . ∆ 2 = Giải. Ta sẽ tính các định thức trên bằng phương pháp đưa về định thức tam giác. 1, Ta có ∆ 1 = = = 1.3.2.(-2) = -12 2, ∆ 2 = = = 1.3.4.2.1 = 24 Ví dụ 4. Tính định thức ∆ n = Giải.Triển khai ∆ n+1 theo hàng cuối (hàng thứ n+1) ta có ∆ n+1 = (-1) n+1 a n + x Định thức thứ nhất ở vế phảo là định thức tam giác, địnhthức thứ hai là định thức cùng dạng với ∆ 1 nhưng cấp n. Do vậy định thức ∆ n+1 có thể biểu diễn bởi hệ thức truy hồi sau: ∆ n+1 = a n .(-1) n (-1) n +x∆ n Để thu được biểu thức tổng quát∆ n+1 ta xét ∆ 1 và ∆ 2 ∆ 1 = a 0 ; ∆ 2 = = a 0 x + a 1 Như vậy ∆ 1 là đa thức bậc 0 với hệ số a 0 còn ∆ 2 là đa thức bậc nhất với hệ số a 0 và a 1 Ta chứng tỏ rằng ∆ n+1 có dạng tương tự: ∆ n+1 = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n 6 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng Giả sử đã chứng minh ∆ n = a 0 x n-1 + …+ a n-1 khi đó ∆ n+1 = a n .(-1) n (-1) n +x∆ n = a n + x∆ n = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n BÀI TẬP 1. Xác định số nghịch thế trong các hoán vị a, (1 3 5 7 9 2 4 6 8) (ĐS. 10) b, (9 8 7 6 5 4 3 2 1) (ĐS. 36) c, (2 5 8 1 4 7 3 6 9) (ĐS. 12) d, (7 5 4 6 1 2 3 9 8) (ĐS. 17) 2. Xác định số nghịch thế trong các hoán vị a, (n n-1 n-2 2 1) (ĐS. ) b, (1 3 5 7 2n-1 2 4 6 2n) (ĐS. ) c, (2 4 6 2n 1 3 5 2n - 1) (ĐS. ) 3. Tính các định thức cấp 2 sau a, (ĐS. 0) b, (ĐS. -2b 3 ) c, (ĐS. 1) d, (ĐS. sin(α -β )) e, (ĐS. 0) f, (ĐS a + b +c + d ) 4. Tính các định thức cấp 3 sau a, (ĐS. 8) b, (ĐS. 3abc - a - b - c ) c, (ĐS. -2) d, (ĐS. 0) e, (ĐS. a + b + c +1) 5. Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hoặc theo cột a, (ĐS. abcd) b, (ĐS. 4a - c - d) c, (ĐS. -2858) d, (ĐS. -264) 6. Giải các phương trình sau a, = 0. (ĐS. x 1,2 = ± 3; x 3,4 = ± 3) b, = 0. (ĐS. x 1 = 6; x 2 = 5) c, = 0. (ĐS. x 1 = 2; x 2 = 3; x 3 = 4) 7 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng DẠNG 3: HẠNG CỦA MA TRẬN * Các Phương pháp tìm hạng của ma trận + Phương pháp 1. Dựa vào định nghĩa, gồm các bước sau B 1 : Tìm một định thức con nào đó khác 0, giả sử đó là định thức ∆ r ≠ 0. B 2 : Tính tiếp các định thức con ∆ r+1 cấp r + 1bao định thức ∆ r nếu chúng tồn tại. Nếu tất cả các định thức con cấp r + 1 = 0 thì kết luận rank(A) = r. B 3 : Nếu có một định thức con cấp r + 1 khác 0 thì xét định thức cấp r + 2 và cách tiến hành như B 2 . + Phương pháp 2. Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp chuyển ma trận đã cho về ma trận hình thang, khi đó hạng của ma trận bằng số hàng khác không của ma trận hình thang thu được. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tìm r(A) nếu A = Giải. Áp dụng phương pháp 1, ta có ∆ 2 = = -1 ≠ 0. Ta tính các định thức ∆ 3 bao ∆ 2 ta có ∆ 3 (1) = = 0; ∆ 3 (2) = = -1 ≠ 0. Như vậy có một định thức ∆ 3 (2) ≠ 0, ta tính định thức cấp 4 bao ∆ 3 (2) , ta có ∆ 4 (1) = = 0. Vậy r(A) = 3 Ví dụ 2. Tìm r(A) nếu A = Giải. Áp dụng phương pháp 1, hiển nhiên ma trận A có định thức con ∆ 2 = = -2 ≠ 0. Các định thức con bao ∆ 2 gồm: ∆ 2 (1) = = 0; ∆ 2 (2) = = 0; ∆ 2 (3) = = 0 ∆ 2 (4) = = 0; ∆ 2 (5) = = 0; ∆ 2 (5) = = 0. 8 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng Vậy r(A) = 2 Yêu cầu: Tất cả các định thức cấp 3 trên bạn đọc tự giải. Ví dụ 3. Bằng phương pháp biến đổi sơ cấp, tính hạng các ma trận sau 1, A = ; 2, B = . 3, C = 4, D = Giải. 1, Thực hiện biến đổi sơ cấp theo hàng ta có A = = h 3 -h 2 →h 3 ’ = Là ma trận hình thang có số dòng khác 0 là 2, do đó r(A) = 2. 2, B = = = = Đây là ma trận hình thang có số dòng khác 0 là 3, vậy r(A) = 3. 3, C = = - (Đổi chỗ hàng 2 và hàng 3). = - = Vậy r(A) = 2. 4, D = = = = Vậy r(A) = 3. BÀI TẬP Tìm hạng các ma trận sau 1. A = . (ĐS. r(A) = 2) 2. A = . (ĐS r(A) = 1) 3. A = . (ĐS r(A) = 2) 4. A = . (ĐS r(A) = 2) 5. A = . (ĐS r(A) = 2) 6. A = . (ĐS r(A) = 1) 7. A = . (ĐS r(A) = 3) 8. A = . (ĐS r(A) = 5 9. A = . (ĐS r(A) = 3) 10. . (ĐS r(A) = 4) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tìm hạng của các ma trận sau: 11. A = . (ĐS r(A) = 2) 12. A = . (ĐS r(A) = 3) 9 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 13. A = . (ĐS r(A) = 3) 14. A = . (ĐS r(A) = 4) 15. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 1. (ĐS a = ) 16. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 3. (ĐS a ≠ 2) DẠNG 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO * Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa, gồm các bước sau B 1 : Tính detA - Nếu detA = 0 thì không tồn tại A -1 , - Nếu detA ≠ 0 thì chuyển sang bước 2. B 2 : Tìm ma trận phụ hợp P A , từ đó áp dụng định nghĩa ta thu được A -1 . Phương pháp 2: (phương pháp Gauss-Jordan) B 1 : Viết ma trận đơn vị cùng cấp vào bên phải với ma trận A thu được ma trận M = B 2 : Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận M để đưa khối ma trận A về ma trận đơn vị E n còn khối E n thành ma trận B, tức là → Khi đó A -1 = B CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo đối với các ma trận sau: 1. A = . 2. A = Giải: 1. Ta có detA = 10 ≠ 0. Do đó ma trận A có ma trận nghịch đảo, phần bù đại số của các phần tử là a 11 = -5; a 12 = 15; a 13 = 25; a 21 = 1; a 22 = 3; a 23 = 9; a 31 = 4; a 32 = -8; a 33 = -14 Vậy A -1 = = 2. Ta có det(A) = h 3 + h 1 → h 3 ’ = Vì định thức A có 2 hàng giống nhau nên detA = 0 do đó không tồn tại A -1 . 10 [...]... thì ta có thể giản ước phân thức cho x-a một hoặc một số lần CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính giới hạn các hàm số 1 2 3 4 Giải: 1 Ta có = = 2 Ta có = =- = = ⇒ = = 18 Bài tập toán cao cấp 3 = Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng = = = 4 Ta có = = = - = + = + ⇒ = (+)= + = (n ∈ N) Ví dụ 2 Tìm Giải: Ta có = = = [1 + (x + 1) + + (xn-1+xn-2+ +x + 1)] = 1 + 2 + + n = Ví dụ 3 Tính các giới hạn 1 2 3 4 Giải: 1 Ta có = (x4... 16 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng Bài 2 Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ phương trình sau a ĐS: Nếu a ≠ 1, a ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu a = 1 thì hệ có vô số nghiệm Nếu a = 2 thì hệ vô nghiệm b ĐS: Nếu a ≠ 1 hệ có nghiệm duy nhất Nếu a = 1 hệ vô nghiệm c ĐS: Nếu a ≠ -3, a ≠ 1 thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu a = -3 hệ có vô số nghiệm Nếu a = 1 thì hệ vô nghiệm Bài. .. Giải: 1 Ta ký hiệu A = , X = , H = Khi đó (1) có dạng A.X = H Vì detA = 2 nên A có ma trận nghịch đảo, do vậy (1) có nghiệm duy nhất X = A-1.H Ta có A-1 = , do đó = Thực hiện phép nhân ma trận ở vế phải ta được x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1 2 Ta có A = ⇒ A-1 = , H = 14 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng tương tự câu 1 ta có phương trình (2) có nghiệm duy nhất X = A-1.H và = ⇒ x1 = 8, x2... chuyển vị ta có (A.A-1)T = E ⇒ (A-1)TAT = E ⇒ (A-1)T = (AT)-1 Ví dụ 4 11 (đpcm) Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 1 Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A - 3A + E = 0 thì A = 3E - A 2 Chứng minh rằng (E - A) = E + A + A nếu A = 0 Giải 1 Từ điều kiện của bài toán đã cho ta có E = 3A - A = A(3E - A) Do vậy detA.det(3E - A) = detE = 1 ⇒ detA ≠ 0, tức là A có ma trận... phương pháp Gauss giải các hệ phương trình sau 1 2 Giải: 1 Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi = → h3-5h2→h3’ → Từ đó suy ra ⇒ x1 =1; x2 = 1; x3 = 2 2 Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp ta có = h1 ↔ h2 → → h2 ↔ h3 → → h4-3h3→h4’→ Từ đó ta có hệ ⇒ x1 = 1, x2 = -2, x3 = 2, x4 = 1 Ví dụ 4 Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ 15 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung... ta có thể biến đổi f(x) về dạng vô định 0.∞ nhờ phép biến đổi: f(x) = [f(x)]g(x) = e Do tính liên tục của hàm mũ nên [f(x)]g(x) = e CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 Tính Giải: Ta có dạng vô định 0/0 Áp dụng quy tắc Lôpitan ta thu được = = = Ví dụ 2 Tính Giải Ta có dạng vô định ∞ / ∞, áp dụng quy tắc Lôpitan n lần ta thu được 33 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng = = = = = = 0 Ví dụ 3 Tính x.lnx Giải. .. = D2 = D3 = 0, khi đó nghiệm của hệ có dạng hệ có vô số nghiệm Ví dụ 5 Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ Giải: Vì số phương trình bé hơn số ẩn nên tập nghiệm của hệ phương trình là vô hạn Vì hạng của ma trận của hệ bằng 2 vì có = 6 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương với hệ ⇒ x1 = , x3 = x4 Vậy tập nghiệm của hệ là { ; a; b; b/ ∀ a, b ∈ R} BÀI TẬP Bài 1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:... tính gần đúng 31 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng - Chỉ ra biểu thức giải tích mà giá trị gần đúng của nó cần phải tính - Chọn điểm M0(x0) sao cho giá trị của hàm và đạo hàm cấp 1 của nó tại điểm đó có thể tính mà không cần bảng - Áp dụng công thức f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f’(x0).∆x CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 Viết biểu thức vi phân của các hàm số 1 y = e 2 y = sine Giải 1.Ta có y’ = cosx e, khi... giải các phương trình nếu A = ; B = Giải: 1, Nhân bên trái hai vế của phương trình AX = B với A -1 và thực hiện phép tính đại số tương ứng ta có A-1 A.X = A-1.B ⇒ EX = A.B ⇒ X = A.B Tương tự phương trình Y.A = B nhân bên phải hai vế với B ta được Y =B.A 12 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 2, Với A = ⇒ A = = Từ đó X = A.B = = Y = B.A = = BÀI TẬP Bài 1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma... các hàm số 1 5 2 6 3 7 4 8 Giải: 1 = = = 2 = = 3 = = = 2 4 = = = 2 5 = = = = 6 = = 2.( + 1) = 4 7 = = 4 = 4 8 = = = = =1 Ví dụ 2: Tính giới hạn các hàm số 20 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 1 2 3 Giải: Đặt = ⇒ 2z = x - 1, vì x → ∞ nên z → ∞ 1 ⇒ = = = (1+)3 = e 1 = e 2 Đặt =α, khi x → ∞ thì α → 0 ⇒ x = ⇒ (1+α) = [(1+α)].(1+α)c = e 3 = [ ] = 1 1 = BÀI TẬP Tính giới hạn các hàm . phải hai vế với B ta được Y =B.A 12 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng 2, Với A = ⇒ A = . = Từ đó X = A.B = . = Y = B.A =. = BÀI TẬP Bài 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma. trận O BÀI TẬP 1. Tính A + B, A.B và B.A nếu a, A = , B = ; b, A = , B = . 2. Tính tích các ma trận a, (ĐS ) b, . (ĐS ) c, . (ĐS ) d, . (ĐS ). e, (ĐS ). f, (ĐS ). 3 Bài tập toán cao cấp. ∆ 2 (5) = = 0. 8 Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng Vậy r(A) = 2 Yêu cầu: Tất cả các định thức cấp 3 trên bạn đọc tự giải. Ví dụ 3. Bằng phương pháp biến đổi sơ cấp, tính hạng