NỘI DUNG ÔN TẬP ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM Chương Ơn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp hàm số Chương Hệ thống số dạng tốn tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp đổi biến số Chương Hệ thống số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến số phương pháp đổi biến số Các dạng toán: a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến b Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y tốn tìm GTLN, NN biểu thức đối xứng theo biến số x, y c Phương pháp đổi biến số biểu thức đối xứng theo biến số x, y, z d Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến) CHƯƠNG ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ 1.1/ Phương pháp giải tốn: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lưu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau: - Tính đạo hàm y’ - Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận giá trị 1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có hàm số sau: f ( x) = x + − x f ( x) = x + + − x f ( x ) = ( x + 1) − x f ( x) = x ( − x2 + x ) f ( x) = − x + + x 2x + f ( x) = x2 +  π π f ( x ) = sin x − x, x ∈  − ;   2 π π f(x)=5cosx–cos5x, − ≤ x ≤ 4 x , x ∈ 0; π  f ( x) =  2 x   cosx+2sin y = 2x + 2x + − x + − x y = x + x + − x − x + 1, x ∈ [ − 1;1] y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 s inx+2cos CHƯƠNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.1/Phương pháp giải Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định hàm số thuộc tập số cho trước) Bước Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x Bước Chuyển ĐK biến số x sang ĐK biến số t Giả sử tìm t ∈ K Bước Chuyển toán ban đầu thành toán đơn giản Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN hàm số f(t) tập số K 1.2/ Ví dụ minh họa Trước tiên lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán phương pháp đổi biến số nói chung, tốn tìm GTLN, GTNN phương pháp đổi biến nói riêng thơng qua ví dụ sau: Ví dụ • Tìm GTNN, GTLN hàm số y = sin x + sin x + sin x + Sai lầm thường gặp t +1 t + t +1 t = −t − 2t ’ ⇔ f ' (t ) = Ta có: ; xlim f ( x) = , f (t) = →±∞ (t + t + 1) t = −2 Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: f (t ) = Bảng biến thiên hàm số f(t) sau: −∞ t -2 ’ f (t + ) 0 +∞ - f(t) Từ BBT suy ra: M inf(t ) = f (−2) = − ; Maxf (t ) = f (0) = Từ có GTNN, GTLN hàm số ban đầu − − • Phân tích sai lầm Theo lời giải hàm số f(x) nhận GTNN − khi: sinx = -2, điều không xảy Mặc dù lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí chưa tìm điều kiện cho dẫn đến tốn tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số f (t ) = t +1 khơng tương thích với t + t +1 tốn ban đầu (ngồi ví dụ xét ví dụ sau phải lưu ý điều này) • Lời giải Đặt t = sinx, điều kiện −1 ≤ t ≤ Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số f (t ) = t +1 đoạn [ −1;1] t + t +1 Bảng biến thiên hàm số f(t) đoạn [ −1;1] sau: t -1 f’(t) + 1 +∞ f(t) Từ bảng biến thiên suy GTNN, GTLN hàm số f(t) đoạn [ −1;1] (khi t = -1) (khi t = 0) Từ có: Maxy = đạt khi: x = kΠ , Miny = khi: − Π + k 2Π Nhận xét Nếu biểu thức xác định hàm số phân chia thành nhóm số hạng chúng có mối liên hệ cho hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua ta đưa tốn tốn đơn giản phương pháp đổi biến số Mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức xác định hàm số ví dụ rõ ràng dễ thấy, điều giúp ta phát cách đổi biến số không khó khăn, nhiên có trường hợp mối liên hệ nhóm số hạng ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều phép biến đổi có cách nhìn tinh phát Ví dụ Tìm GTNN GTLN hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx Nhận xét hướng dẫn giải Xét mối liên hệ hai nhóm số hạng: sinx + cosx sinx cosx, Chúng có mối liên hệ với hệ thức dễ thấy sau (sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + 2sinx cosx,   Nhận xét gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u = sin x + cos x = sin  x + biến số − ≤ u ≤ Π ÷ , với điều kiện 4 Khi sin x cos x = u2 −1 u2 −1 tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số f (u ) = u + 2 đoạn  − 2;    Trên đoạn  − 2;  dễ dàng tìm GTNN, GTLN hàm số f(u) -1 (khi   u = -1) 2+ (khi u = 2 ) Từ có GTNN, LN hàm số ban đầu Ví dụ Tìm GTNN, GTLN hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1 Nhận xét hướng dẫn giải 2 Ta có: sin4x + cos4x = − sin 2 x sin x cos x = sin x Từ phân tích ta thấy đặt t = sin2x (điều kiện −1 ≤ t ≤ ) ta có hàm số theo biến số t 2 sau: h(t ) = − t + t + Và tốn trở thành tìm GTNN, GTNN hàm số h(t) đoạn [-1; 1] Đáp số: Maxy = Ví dụ 17 Π 5Π ⇔ x = + k Π x = + k Π ; Miny = 12 12 ⇔ x= Π + k Π ( k ∈ Z ) Tìm GTNN, GTLN hàm số y = x + − − x − ( x + 1)(3 − x) Nhận xét hướng dẫn giải Tập xác định hàm số D = [ −1;3] Để ý rằng: ( x +1 − − x ) = − ( x + 1)(3 − x) , Vì đặt t = x + − − x g (t ) = ( x + 1)(3 − x) = − t2 ta có hàm số theo biến t sau: t2 +t −2 2 Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý t = − ( x + 1)(3 − x) ≤ 4, ∀x ∈ [ −1;3] , từ suy −2 ≤ t ≤ (hoặc lập BBT hàm số t ( x) = x + − − x D = [ −1;3] để suy −2 ≤ t ≤ ) t2 Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số g (t ) = + t − đoạn [ −2; 2] Đáp số: Maxy = ⇔ x = 3; Miny = − ⇔ x = − 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm GTLN, GTNN hàm số sau phương pháp đổi biến số: y= cos x + cos x + cos x + y = + sin x + + cos x y= cos x + sin x sin x + cos x ( ) y = x + − x , x ∈ [ −1;1] y = x3 + 1 − x2 − + x + x x x y= 1 − sin x + cos x − y = y = 2(1 + sin x cos x) − + sin x + cos6 x + sin x + cos x y = − x2 + ( − x2 ) f(x)= (với a tham số) (cos x − cos x) cos x Π y= , với < x ≤ sin x(2 cos x − sin x) y = 3sin x + 3cos x+1 y = sin x + cos x + a.sin x.cos x x − x + 8x − 8x + x − 2x + y = (4cos α + 3sin α )(4sin α + 3cos2 α ) + 25sin α cos α f ( x) = − x4 + − x2 + + x2 + − x2 + + x2 + CHƯƠNG TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 2.1/Phương pháp giải Để tìm GTLN, GTNN biểu thức có chứa nhiều biến số ta dùng phương pháp đổi biến số sau: Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a + b ≥ 2ab /(a + b) ≥ ab / 2( a + b ) ≥ ( a + b) / a + b + c ≥ ab + bc + ca /(a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) / 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c) 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c khơng âm, ta có: a + b ≥ ab , a + b + c ≥ 3 abc , ( a + b + c ) ≥ 27 abc 2.2/ Ví dụ minh họa a Căn vào mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến Ví dụ Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức P = Nhận xét hướng dẫn giải xyz x+ y+z + xyz x+ y+z Dễ thấy x+ y+z x + y + z xyz = , đặt t = ta biểu thức theo biến số t là: xyz xyz x+ y+z P (t ) = t + t x + y + z 3 xyz ≥ =3 xyz xyz Do tốn quy tìm GTNN hàm số P(t ) = t + khoảng [ 3; +∞ ) t t −1 Vì P ' (t ) = > 0, ∀t ≥ nên hàm số P(t) đồng biến khoảng [ 3; +∞ ) t 10 Từ có Min P(t ) = P (3) = , GTNN biểu thức P [ 3;+∞ ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: t = Ví dụ Cho x, y khác Tìm GTNN biểu thức T = x4 y  x2 y  x y + −  + ÷+ + y x4  y x2  y x Nhận xét hướng dẫn giải Ta có: x2 y  x y  + = + ÷ −2 y x2  y x  (2a) 2   x y 2  x4 y  x2 y  + =  + ÷ − =  + ÷ − 2÷ −  y x  ÷ y x x  y   Từ (2a) (2b) ta thấy đặt t = (2b) x y + thì: T = t − 5t + t + , y x x2 y Cũng từ (2a) có: t = + + ≥ ⇒ t ≥ y x Bài toán trở thành: Tìm GTNN hàm số T (t ) = t − 5t + t + miền D = (−∞; − 2] ∪ [2; + ∞) Ta có: T ' ( x) = 4t − 10t + = 4t (t − 4) + 6t + , để ý t − ≥ 0, ∀x ∈ D nên suy dấu T’(t) D có bảng biến thiên sau: t T’(t ) +∞ -2 +∞ - + +∞ +∞ T(t) -2 Từ bảng biến thiên suy GTNN T(t) D -2 khi: t = -2 Từ có: Min(T) = -2, đạt x = - y (x y khác 0) Ví dụ 1 1 Tìm GTLN, NN H = ( x + y )  +  Biết x, y thoả mãn điều kiện ≤ x ≤ y ≤ x y   Nhận xét hướng dẫn giải 1 1 x y Ta có H = ( x + y )  +  = + + x y y x   x ta có hàm số theo biến số t sau: H (t ) = + t + y t x 1  Từ điều kiện ràng buộc ≤ x ≤ y ≤ ta suy ra: ≤ ≤ , t ∈  ;1 y 2  Vì đặt t = Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số H (t ) = + t + 1  đoạn  ; 1 t 2  1− t2 1  ≤ ∀t ∈  ;1 nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn t 2  1  Từ có GTLN H(t) đoạn  ; 1 khi: t = , GTNN đoạn 2 2  Vì H ' (t ) = H(t) khi: t = Đáp số: Max(H) = ⇔ (x; y) = (1; 2) ; Ví dụ  Tìm GTNN Q = xy    ( x − y) Min(H) = ⇔ x = y (với ≤ x, y ≤ 2) + 1  + ÷ với x, y dương x khác y x2 y ÷  Nhận xét hướng dẫn giải x2 + y x y x y + = + + 2 x y +t x + y − xy xy y x Đặt t = + , theo t ta có: Q(t ) = Biến đổi: + −2 y x t −2 y x xy x y Hơn dễ thấy + > (với x, y dương x khác y) nên ta có t > y x + t khoảng ( ; + ∞ ) Vì quy tốn quen thuộc: Tìm GTNN hàm số Q(t ) = t −2 t = t − 4t + Q'' (t ) = , Q'' (t ) = ⇔  Ta có BBT Q(t) khoảng ( ; + ∞ ) sau: (t − 2) t = +∞ t Q= Q'(t ) - + Q(t) Từ bảng biến thiên suy GTNN Q(t) khoảng ( ; + ∞ ) Q(3) = Đáp số: Min(P) = đạt x2 + y2 – 3xy = b Tìm GTLN, NN biểu thức M đối xứng với biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn đẳng thức đối xứng với x y Cách giải: x + y = S (ĐK S ≥ P ), xy = P  Đặt  Biểu diễn giả thiết M theo S P (1) Biểu diễn biểu thức M theo S P kết hợp với (1) để biểu diễn M theo biến S P Tìm ĐK cho S P (M theo biến tìm ĐK cho biến đó) cách kết hợp (1) điều kiện S ≥ P Tìm GTLN, NN biểu thức M với điều kiện tìm biến số tìm bước Lưu ý: Cách tìm ĐK bước áp dụng cho x, y Ví dụ giả thiết cho thêm x > 0, y > phải lưu ý S > P > để tìm ĐK cho xác Ví dụ Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN M = (x3 + 1)(y3 + 1) Nhận xét hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + = (xy)3 – 3xy + = P3 – 3P + Lại có = S2 ≥ 4P suy ra: P ≤ Vậy tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số M(P) = P3 – 3P + với P ≤  1 Ta lập bảng biến thiên M(P) khoảng  −∞;  sau: 4  P −∞ -1 M’(P ) + - M’(P ) −∞ 81 64 Từ bảng biến thiên suy GTNN khơng tồn cịn GTLN Q 4, đạt  + −   − +   x + y =   , giải hệ ta ( x; y ) =   ; ÷,  ; ÷ ÷ ÷  xy = −1        Ví dụ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN M = (x3 + y3) – 3xy Nhận xét hướng dẫn giải Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a), Ngoài biến đổi giả thiết tốn ta có: x2 + y2 = ⇔ (x + y)2 – 2xy = (6b) Qua phân tích thấy đặt t = x + y biểu diễn xy theo biến t, từ biểu diễn biểu thức M theo t Thật vậy, từ (6b) có: xy = ( x + y)2 − t − = , kết hợp với (6a) ta biểu diễn biểu thức 2 3 ban đầu theo t là: M (t ) = −t − t + 6t + Để x, y tồn ta phải có: (x + y)2 ≥ 4xy nên t2 ≥ 2(t2 – 2) từ có −2 ≤ t ≤ Từ có GTNN, GTLN M (t ) [-2; 2] là: Max(M) = 13 , Min(M) = -7 c Tìm GTLN, NN biểu thức M có tính chất sau: Tính chất 1: M phụ thuộc vào đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2 Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2 Cách giải: Giả sử biểu thức M có mặt đại lượng nêu trên, đặt hai đại lượng biểu thức M ẩn phụ t dùng giả thiết toán cho kết hợp đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng lại theo t Tìm ĐK cho t ta thường dùng ba BĐT sau: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 Quy tốn đơn giản Ví dụ Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN R = x3 + y3 + z3 – 3xyz Nhận xét hướng dẫn giải Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) Viết lại giả thiết toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = Đặt t = x + y + z từ (7b) ta có xy + yz + zx = biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = (7a), (7b) t −1 , kết hợp với (7a) ta biểu diễn (3t – t3) Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, từ suy t −1 ≤ suy − ≤ t ≤ Tìm GTLN, NN R(t) đoạn  − 3;  , được: Max(R) = ; Min(R) = -1   d Trường hợp biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến, quy việc tìm GTNN, GTLN cách đổi biến số biểu thức trung gian Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số đánh giá M ≥ N thay tìm GTLN, NN M ta thực tốn: tìm GTLN, NN biểu thức trung gian N Ví dụ x y z Cho x, y , z > x + y + z ≤ Tìm GTNN M = x + y + z + + + Nhận xét hướng dẫn giải Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho tốn theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cơ si ta có 1 M = x + y + z + x + y + z ≥ 3 xyz + , đẳng thức xảy ⇔ x = y = z (8a) xyz 10 + Để tìm T = 3 xyz + GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức xyz Đặt u = 3 xyz việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN hàm số T (u ) = u + khoảng u  3  0;  (vì < u = xyz ≤ x + y + z ≤ )  2   15  3 Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng  0;  , nên MinT (u ) = T  ÷ = (0; ]    2 Suy GTNN biểu thức trung gian T Tức T = 3 xyz + 15 (đạt ⇔ x = y = z) 15 ≥ , đẳng thức xảy ⇔ x = y = z (8b) xyz + Từ kết (8a) (8b) suy GTNN biểu thức M ban đầu 15 đạt x = y = z Ví dụ Cho số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) Tìm GTNN biểu thức N = x2 + y2 + z2 Nhận xét hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) ⇔ xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz (9a) x+ y+z  , từ (9a) suy ra:   Áp dụng BĐT Cauchy ta xyz ≤  x+ y+z N ≥ − 2( x + y + z ) + ( x + y + z ) − 4  , đẳng thức có ⇔ x = y = z (9b)   4t = f (t ) Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) từ (9b) ta có: N ≥ − 2t + t − 27 Đến đây, cách khảo sát hàm số ta GTNN hàm số f(t) khoảng (0 ; 3) 3 , đạt t = Từ có: Min(N) = , đạt x = y = z = 4 Ví dụ 10 Cho số thực dương thoả mãn: x + y = Tìm GTNN biểu x y thức: P = − x + − y Nhận xét hướng dẫn giải Vì P > với x, y > nên P đạt GTNN P2 đạt GTNN Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có: 11 P2 = = [ ] x2 y2 xy x2 y 2 xy ( x + y ) ( x + y )3 − xy + + = + + = + xy 1− x 1− y y x xy (1 − x)(1 − y ) − x − y + xy 1 + xy − = + t − = f (t ) (t = xy ) xy t  1 Chứng minh hàm số f(t) nghịch biến đoạn  0;  , suy GTNN hàm số  4 (chính GTNN P2) f ( ) = , từ có kết tốn Từ giả thiết BĐT ( x + y ) ≥ xy > ⇒ < t = xy ≤ BÀI TẬP Bài (PP thế) 1/ Cho x + y = Tìm GTLN, NN P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x + y) 2/ Cho x, y ≥ x + y = Tìm GTNN P = 32x + 3y 3/ Cho x, y > x + y =5/4 Tìm GTNN P = + x 4y 4/ Cho y ≤ 0, x + x = y + 12 Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17 Bài (Dựa vào tính đẳng cấp) 1/ Tìm GTLN GTNN M = x + xy − y biết: a x − xy + y = b x − xy + y ≤ 2( x + xy ) 2/ Cho x + y = Tìm GTNN, GTLN P = + xy + y 2 Bài (Dấu hiệu đổi biến đơn giản) 1/ Cho x, y > Tìm GTNN P = xy x+ y + xy x + y x y ≤ Tìm GTNN biểu thức H = + y y x 3/ Cho x, y dương x + y ≤ Tìm GTLN, NN của: C = xy + xy 2/ Cho số dương x, y thỏa: x + 12 Bài (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P S = x2 + y2, P = xy ĐK S2 >= 4P2) 1/ Cho số dương x y thoả mãn x + y = Tìm GTLN GTNN biểu thức sau: a A = 1 + , x +y xy b B = x y + , y +1 x +1 c D = x2y2(x2 + y2) 2/ Cho x, y khác thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy Tìm GTLN N = 3/ Cho số x, y thỏa mãn: – y2 = x(x – y) Tìm GTLN, NN F = 1 + 3 x y x6 + y − x3 y + y3 x 4/ Cho số thực không âm x, y không âm thỏa mãn x + y = Tìm GTNN, GTLN của: ( )( ) S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy 2 5/ Cho x, y > thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy Tìm GTNN: A = x + y + (2 xy + 1) − xy 6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm GTNN N = x3 + y3 – 3x – 3y 7/ Cho x, y không âm x2 + y2 + xy =3 Tìm GTLN, NN P = x3 + y – x2 – y2 8/ Cho x, y > x2 - xy + y2 = Tìm GTLN, GTNN P = x4 + y + x2 + y + 9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = Tìm GTLN, NN của: P = x 2(x2 – 4) + y2(y2 – 4) + 2(x2y2 – 4) 10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + Tìm GTLN, GTNN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2 11/ Cho x, y hai số thực dương thỏa x + y = Chứng minh: x + y ≤ 12/ Cho x, y dương xy + x + y = CMR: 3x 3y xy + + ≤ x2 + y + y +1 x +1 x + y Bài (PP Thế) Cho x, y, z thỏa x + y + z = x + y2 + z2 = Tìm GTLN M = x + y5 + z5 Bài (Đổi biến) 1/ Cho x, y > x + 2y – xy = Tìm GTNN M = x2 y2 + + 8y 1+ x 2/ Cho a, b ≥ -1 Tìm GTLN của: P = a + + b + 3/ Cho số thực x, y thoả mãn: x − x + = y + − y Tìm GTLN, GTNN x + y 2 4/ Cho số x, y thỏa mãn: x + 4y = Tìm GTLN, NN M = ( x + 1) + y ( x + y + 1) x + ( y + 1) 5/ Cho số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = Tìm GTLN, NN biểu thức P = x3 + 8y3 – 9xy Bài 1/ Cho số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx 2/ Cho x, y, z không âm x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx + 2 3/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN M = x + y + z + 13 xy + yz + zx x2 + y2 + z x+ y+ z Bài (Đánh giá trung gian) 1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) 2/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2012 x + y + xy 1 + + + 3/ Cho x, y > x + y ≤ Tìm GTNN A = x+ y x y xy 4/ Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn x + y ≥ Tìm GTNN của: ( ) ( ) A = x + y4 + x y2 – x + y2 +    1     5/ Cho x, y, z > có tổng Tìm GTNN của: Q =  x + ÷ y + ÷ z + ÷ y z x 6/ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: x y 1 B = x + y + z + + + z x y z 7/ Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN M = a + b + c + abc 1 36 8/ Cho ba số dương x, y, z CMR: + + ≥ 2 x y z + x y + y z + x2 z 1 9/ Cho a, b, c > 0, CMR: + + ≥ a b c + abc 18 xyz 10/ Cho x, y, z > thỏa x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx > + xyz 18 xyz 11/ Cho x, y, z > x + y + z = CMR: xy + yz + zx > + xyz A = xy + yz + zx + + + a − 2a + a b5 − 2b3 + b c − 2c + c 12/ Cho a, b, c > a + b + c = CMR: + + ≤ b2 + c a2 + c2 a + b2 2 14 15 ... THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.1/Phương pháp giải Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định hàm số thuộc tập số cho trước)... Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện Một số bất đẳng thức... t2 Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số g (t ) = + t − đoạn [ −2; 2] Đáp số: Maxy = ⇔ x = 3; Miny = − ⇔ x = − 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm GTLN, GTNN hàm số sau phương pháp đổi biến số: y= cos x + cos