Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính chất trừu tượng cao, mơn tốn cịn môn công cụ hỗ trợ cho môn khoa học khác Với môn đại số môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả tinh toán, suy luận logic, phát triển tư sáng tạo Đặc biệt rèn luyện cho em học sinh khá,giỏi nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo, linh hoạt cách tìm lời giải tốn mơn đại số có ý nghĩa quan trọng Việc dạy học sinh giải tốn khơng đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc giải tập mà giáo viên cần phải biết rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh biết phân loại dạng tốn Vì nhiệm vụ người thầy giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm phương pháp giải cho dạng tốn Cơ sở thực tiễn Trong q trình giảng dạy tốn trường THCS qua năm công tác giảng dạy trường THCS Trần Quang Khải thuộc phòng Giáo dục đào tạo huyện Hòa Vang, thành phố Đà Nẵng Được trao đổi học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp động viên giúp đỡ lãnh đạo trường, mạnh dạn viết sáng kiến với suy nghĩ mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy “ Một số phương pháp giải các toán chứa thức” chương trình đại số lớp Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo học sinh trước toán, đồng thời giáo viên có thêm kinh nghiệm trình áp dụng phương pháp giảng dạy cho dạng tốn Trên sở tốn cụ thể em học sinh khái qt hóa thành tốn tổng qt xây dựng tốn tương tự Mục đích thứ hai kích thích ham học hỏi học sinh giúp em tự phát huy lực độc lập sáng tạo lúc, nơi Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 1.1 Thực trạng: a) Thuận lợi: Kể từ năm học 2008 – 2009 thân lãnh đạo phịng GD ĐT huyện Hịa Vang phân cơng phụ trách mơn tốn THCS (Tổ trưởng mơn Tốn THCS) đồng thời đạo giúp đỡ trực tiếp phận chuyên môn THCS, hướng dẫn cho tơi nghiên cứu tìm tịi tư liệu để viết thành chuyên đề phục vụ cho công việc dạy chủ đề tự chọn bám sát chủ đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp Đặc biệt hoạt động chuyên môn, lãnh đạo trường tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu dạy học đổi sáng tạo Mặt khác nghiệp giáo dục ngày có nhiều thay đổi đáng kể nên cấp ủy Đảng, quyền địa phương, đoàn thể, bậc phụ huynh, hội khuyến học có nhiều quan tâm nghiệp giáo dục b) Khó khăn: Bên cạnh thuận lợi nêu cịn nhiều khó khăn như: Hầu hết em học sinh vùng nông thôn đời sống kinh tế gặp nhiều khó khăn, việc quan tâm đến học hành nhiều hạn chế tinh thần lẫn vật chất dẫn đến tình trạng học sinh lơ học tập lớp nhà Đối với trường THCS TRẦN QUANG KHẢI nói riêng trường địa bàn huyện Hòa Vang nói chung, việc phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình thành từ lâu Tuy nhiên hiệu chưa cao nhiều nguyên nhân khách quan chủ quan người dạy người học Đa số giáo viên xa trường người địa phương, đời sống giáo viên cịn nhiều khó khăn, phối hợp giáo viên mơn giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh chưa thường xuyên Đa số em học sinh ham chơi, chưa xác định rõ động mục đích học tập Chính q trình dạy học, tơi ln tâm huyết với lịng cần phải nghiên cứu sáng tạo tìm phương pháp giải tốn phù hợp với Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức đối tượng học sinh, em học sinh vùng nơng thơn để em có tài liệu học tập tốt 1.2 Các số liệu thực trạng: Qua thời gian nghiên cứu tham khảo ý kiến bạn đồng nghiệp, đồng thời trực tiếp khảo sát trắc nghiệm hứng thú học toán học sinh lớp 9 tơi dạy có 20% em thực có hứng thú học tốn; 40% học sinh thích học tốn chưa có hứng thú, 30% học sinh thích khơng, 10% cịn lại khơng thích học tốn, em cho học tốn khó q Q trình thực đề tài: 2.1 Giải pháp thực hiện: a) Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cho tốn, định hướng cách giải tốn, từ hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn phù hợp b) Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức học để giải vấn đề liên quan đến tốn c) Hình thành tình có vấn đề liên quan đến cách giải tốn d) Khai thác tốn để tìm nhiều cách giải e) Hình thành phương pháp giải chung cho dạng toán 2.2 Kiến thức cần truyền đạt: Để rèn luyện khả sáng tạo, tư logic tìm phương pháp giải tốn thức bậc hai cho đối tượng học sinh Điều trước tiên người thầy phải tìm nhiều cách giải hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn Do khn khổ giới hạn đề tài nên tơi đưa số dạng tốn thường gặp số tập điển hình cho dạng tốn * DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa * DẠNG 2: So sánh số * DẠNG 3: Thực phép tính thức bậc hai * DẠNG 4: Rút gọn tính giá trị biểu thức * DẠNG 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức * DẠNG 6: Giải phương trình chứa thức (phương trình vơ tỉ) Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức Tổ chức thực hiện: TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN  DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp: Biểu thức có dạng A có nghĩa A ≥  Ví dụ 1: Tìm điều kiện x để xác biểu thức sau có nghĩa Phan sửa lại word 2003 a) x−2 ; b) − x2 ; x2 − 4x + c) Lời giải: a) x − có nghĩa x-2 ≥  2 b) − x có nghĩa − x ≥ ⇔ ≥ x ⇔ ≥ x ⇔ −2 ≤ x ≤ x2 − 4x + = c) ( x − 2)2 có nghĩa với x (  Ví dụ 2: (dành cho học sinh khá, giỏi) Tìm điều kiện x để y xác định a) y = x − x + ; b) y = x + + x − Lời giải: 2 5  a) y = x − x + =  x −  + có nghĩa ∀x ∈ R Vì  x − ÷ + >  ÷ 2 2   b) y = x + + x − y xác định x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ (vì x ≥ 5 x + + x − > 0) Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức A có nghĩa B>0 B Phương pháp: Biểu thức có dạng * Ví dụ 1: Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa ; x −1 a) −2 b) x2 − ; c) 16 x2 − 4x + Lời giải: a) có nghĩa x >  x > 2 b) có nghĩa x − > ⇔ x > ⇔ x >  x > x < -1 16 c) x2 − 4x + 16 = ( x − 2) 16 x−2 ≠0 x − có nghĩa = ⇔ x−2≠0⇔ x ≠  Ví dụ 2: ( Dành cho học sinh giỏi) Tìm điều kiện x để y xác định: a) y = 4x2 + x +  x−2 + x2 − 2x +    + b) y =  ÷:  − ÷ x +1  x +1  x −1 Lời giải: a) Ta có: y = = 4x2 + x + 1 ( x + 1) + + x−2 x2 − 2x + x−2 ( x − 1)  2 x + ≠ x ≠ − ⇔ Do y xác định khi:  x −1 ≠ x ≠   1    + ÷:  − ÷ x +1  x +1  x −1 b) y =  Nguyễn Đức Toàn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức x ≥ x ≥ x ≥   ⇔ ⇔  x −1 ≠  x ≠ x ≠   Ta có: y xác định khi:   DẠNG 2: So sánh hai số Trường hợp số nguyên với thức Phương pháp: Có thể bình phương hai số  Ví dụ: So sánh hai số sau: (Khơng dùng máy tính) a) 2 ; b) ; c) 10 Lời giải: a) Ta có 32 > (2 2) ⇔ > (BĐT đúng) Vậy > 2 b) Ta có 42 > ( 15 ) ⇔ 16 > 15 (BĐT đúng) Vậy > 15 c) Ta có ( 10 ) > 32 ⇔ 10 > (BĐT đúng) Vậy 10 > Trường hợp tổng hiệu số nguyên với thức: Phương pháp: Có thể chuyển thức riêng số bình phương hai lần Ví dụ: So sánh: a) + + ; b) - - ; c) - - Lời giải: a) Giả sử: + > +  > - 1> -  12 > ( 3− )  > + -2  >4  >2 Nguyễn Đức Toàn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức  ( 6) > 22  > (BĐT đúng) Vậy: + > + b) Giả sử: - > -  – > - 2> - (  22 > 5− )  > + -2 15  >4  ( 15 ) 15 > > 22  15 > (BĐT đúng) Vậy - > − − > 3− c) Giả sử ⇔ + > 3+ ⇔ ( ) + > 52 ⇔ + + 35 > 25 ⇔ 35 > 13 ( ⇔ 35 ) > 132 ⇔ 140 > 169 (BĐT sai) Vậy − < −  DẠNG 3: Thực phép tính thức bậc hai Trường hợp tính tổng, hiệu thức khác Phương pháp: Biến đổi thức thành thức đồng dạng cách đưa thừa số có ngồi dấu * Ví dụ: Tính a) A = 18 − 32 + + 162 b) B = 48 − 27 + 75 + 12 c) C = 80 + 20 − + 45 Lời giải a) A = 18 − 32 + + 162 Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức = 32.2 − 2.2 + + 2.2 = − + + = 18 b) B = 48 − 27 + 75 + 12 = 2.3 − 32.3 + 2.3 + 2.3 = − 12 + + =3 c) C = 80 + 20 − − 45 = 2.5 + 2.5 − + 32.5 = + − − 15 = −10 Trường hợp mẫu tổng hay hiệu số nguyên với thức Phương pháp: Trục thức mẫu cách nhân tử mẫu với lượng liên hợp mẫu * Ví dụ: Tính a) A= −3 + −2 +2 b) B= 1 − 5+2 5−2 c) C= −2 − 5− 10 + Lời giải: a) A= = b) B= = −3 3.( + 2) − 3.( − 2) + = −2 +2 ( + 2).( − 2) + − + 12 = =4 7−4 1 5−2 −5−2 − = + − (5 + 3).(5 − 3) −4 −4 = 25 − 12 13 Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức C= c) −2 ( − ) 9( 10 − 1) − = − 5− 10 + 5− ( 10 + 1)( 10 − 1) = 10 − 9( 10 − 1) = 10 − ( 10 − 1) = 10 − 10 + = 10 − Trường hợp dấu bình phương nhị thức Phương pháp: Lấy giá trị tuyệt đối nhị thức ý đến BĐT hay sai * Ví dụ: Tính a) A= ( 1− ) b) B= (2 − ) c) C= (3 − ) ( − 3) + 2 − (3 + ) + (2 −5 ) Lời giải a) A = ( 1− ) ( − 3) + = 1− + − = − + − =1 b) B = ( 2− 7) − ( 3+ 7) = − − (3 + ) (vì − < − > ) = 2− − 3+ (vì − < − > ) = − − − = −5 c) C = (3 − ) + (2 = 3− + −5 −5 ) = 3− + −5 (vì − > − > ) = −2 Trường hợp dấu có tổng hay hiệu số với thức: Phương pháp: Biến đổi lượng dấu thức thành bình phương nhị thức * Ví dụ: Tính Nguyễn Đức Tồn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức a) A = 3−2 b) B = 7+4 c) C = 21 + + 21 − Lời giải a) A = − 2 = = ( 2) − 2 + 12 = −1 = −1 (vì ( ) −1 2 −1 > ) b) B = + = + 2.2 + = 2 + 2.2 + = (2 + ) = 2+ = + ( 3) (vì + > ) c) C = 21 + + 21 − = 16 + 2.4 + + 16 − 2.4 + = + + = (4 + ) + ( 5) + − 2.4 + (4 − ) ( 5) = 4+ + 4− = 4+ +4− =8 (vì + > − > ) Trường hợp đặt thành tích tổng hay hiệu số nguyên với thức tổng hay hiệu hai thức Phương pháp: + Biến đổi số thành thức + Biến đổi thành thức đồng dạng + Đặt nhân tử chung * Ví dụ: Phân tích thành nhân tử (đặt thành tích) a) + b) + 18 ; ; c) 50 − 30 Lời giải: a) + = ( 3) ( ) + = 3 +1 b) + 18 = 4.2 + 9.2 = 2 + = ( + 3) = ( c) 50 − 30 = 10.5 − 6.5 = 10 − ) Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải 10 Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức (hoặc: 50 − 30 = 10.5 − 10.3 = 10 ( − ) ) Trường hợp đặc thành tích thức chứa chữ: Phương pháp: + Vận dụng đẳng thức (nếu được) để biến đổi thành thức đồng dạng + Đặt nhân tử chung * Ví dụ: Phân tích thành nhân tử (Đặt thành tích) a) x + y − x2 − y2 (với x ≥ y ≥ ) b) x y − x + x (với x ≥ 0; y ≥ ) c) ay + ax + bx + by (với a,b,x,y không âm) Lời giải: a) x + y − x − y = x + y − ( x − y )( x + y ) ( = x + y − ( x − y) ( x + y) = ( x + y) − ( x − y) b) x y − x + x = x y − x + c) ay + ax + bx + by = a = hoặc: ( ( ( x) = x ) ( )( ) x) y + x −1 y+ x + b y+ x ) ( a+ b y+ ) ay + ax + bx + by = ay + by + ax + bx = y ( ) a+ b + x ( ) ( a+ b = y+ x )( a+ b )  DẠNG 4: Rút gọn tính giá trị biểu thức Rút gọn biểu thức có chứa chữ Phương pháp: + Trong trình biến đổi biểu thức luôn nhớ với điều kiện nào? + Đơn giản tử mẫu cho ước chung (nếu có) Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải 11 Đề tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức * Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau a) A = x với x ≠ x2 b) B = ab c) C = a b4 với a ≠ ; b ≠ x2 − 4x + 16 Lời giải: 2  neáu x>0  = x = x x − neáu x  = =  a b a b a − neáu a <  x − 4x + = 16 ( x − 2) 42 x−2 neáu x ≥ x−2   = =  − x neáu x0 B Phương pháp: Biểu thức có dạng * Ví dụ 1: Tìm điều kiện x để biểu... tài: Một số phương pháp giải các toán chứa thức x ≥ x ≥ x ≥   ⇔ ⇔  x −1 ≠  x ≠ x ≠   Ta có: y xác định khi:   DẠNG 2: So sánh hai số Trường hợp số nguyên với thức Phương pháp: