Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 1 PHẦN MỞ ðẦU I.Lý do chọn ñề tài Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục ở ñất nước ta ñang diễn ra mạnh mẽ và dần hoàn thiện. ðiều ñó ñòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương pháp tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình mới. Trong chương trình cải cách toán Trung học phổ thông thì phân môn lượng giác ñóng vai trò khá quan trọng. Ngoài ra nó còn khá nhiều ứng dụng trong việc giải các phân môn khác của toán học và một số môn học khác. ðối với các học sinh Trung Học Phổ Thông, một số các bạn sinh viên và giáo viên thì việc học và dạy toán lượng giác tương ñối gặp khá nhiều khó khăn vì tính phức tạp và ña dạng của nó. Là một sinh viên năm 3 của khoa sư phạm vừa trải qua học phần kiến tập sư phạm tôi ñã mạnh dạn chọn ñề tài “ Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập”cho học phần tiểu luận tốt nghiệp của mình. ðể giúp các bạn sinh viên, học sinh và một số giáo viên Trung Học Phổ Thông nắm vững ñược một số phương pháp giải toán phương trình lượng giác hơn. ðồng thời chuẩn bị một lượng kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân trong tương lai và học phần Thực tập sư phạm sắp tới. Nhưng do tính ña dạng, phức tạp của lương giác và thời gian thực hiện ñề tài khá hạn hẹp nên nội dung bài tiểu luận chỉ gói gọn một số phương pháp giải toán lượng giác và lượng bài tập cơ bản. II.Mục ñích nghiên cứu -Hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp - Có ñược một số phương pháp giải toán phù hợp với bản thân góp phần thực hiện tốt hơn học phần tực tập sư phạm sắp tới cũng như trong việc giảng dạy trong tương lai -Làm nguồn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh, sinh viên và các bạn yêu toán khác trong việc giải toán và nghiên cứu các ñè tài khác có liên quan. -Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp các phương pháp giải toán lượng giác Trung học phổ thông. Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 2 III. Thời gian thực hiện ñề tài Từ ngày: 31/12/2008 ñến ngày 12/04/2009 IV. Phạm vi nghiên cứu Vì thời gian thực hiện ñề tài tương ñối ngắn và song song với việc thực hiện nhiều học phần khác nên ñề tài chỉ nghiên cứu chủ yếu các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát và mốt số dạng thương gặp. V.Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình thực hiện ñề tài tôi ñã thực hiện nhiều phương pháp khác nhau ñể nghiên cứu. Ở ñây, chủ yếu tôi sử dụng phương pháp tổng hợp, khái quát các nguồn tư liệu sưu tầm ñược. Trên cơ sở ñó chọn lọc, thống kê lại theo một hệ thống logic sao cho phù hợp. Bên cạnh ñó còn sưu tầm, tham khảo các bài báo cáo, các luận văn khác có liên quan. Nhất là tham khảo cách trình bày, cách bố trí từng ñề mục của những bài nghiên cứu khác sẽ góp phần giúp cho tiểu luận thật sự logic và khoa học. VI. Bố cục ñề tài: gồm ba phần *PHẦN MỞ ðẦU Giới thiệu sơ lược về ñề tài, phương pháp tiếp cận và thực hiện ñề tài. *PHẦN NỘI DUNG A. Lý thuyết: Giới thiệu tổng quát các kiến thức cơ bản cần thiết và các phương pháp giải phương trình lượng giác. I.Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản I.1. Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản I.2. Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết I.3.Công thức cộng I.4.Công thức nhân I.5 Công thức biến ñổi tổng thành tích I.6. Công thức biến ñổi tích thành tổng Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 3 II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác II.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích II.3.Phương pháp ñặt ẩn số phụ II.4 phương pháp ñối lập II.5.Phương pháp tổng bình phương B. Bài tập: Giải một số bài tập giúp nắm vững hơn các phương pháp giải phhương trình lượng giác và một số bài tập tự luyện từ dễ ñến khó có hướng dẫn và ñáp số. C. Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác *PHẦN KẾT LUẬN Nhận ñịnh về khả năng phát triển, tầm quan trọng và lợi ích của ñề tài. Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 4 PHẦN NỘI DUNG A. Lý thuyết I.Các công thức và phép biến ñổi lượng giác cơ bản. I.1 Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos ;cot cos sin .cot 1;sin cos 1 1 1 1 ;1 cot cos sin cot sin ;cos 1 1 cot x x tgx gx x x tgx gx x x tg x g x x x tg x g x x x tg x g x = = = + = + = + = = = + + I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết. I.2.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt. 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 tg x 0 3 3 1 3 ∞ - 3 -1 - 3 3 0 cotg x ∞ 3 1 3 3 0 - 3 3 -1 - 3 ∞ I.2.2 Cung liên kết a.Cung ñối nhau cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx tg(-x) = -tgx cotg(-x) = -cotgx b.Cung bù nhau cos( π -x) = -cosx sin( π -x) = sinx tg(-x) = -tgx cotg ( π -x) = -cotgx Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 5 c. Cung phụ nhau cos( 2 π -x) = sinx sin( 2 π -x) = cosx tg( 2 π -x) = cotgx cotg( 2 π -x) = tgx d. Cung hơn kém π cos( π +x) = -cosx sin( π +x) = -sinx tg( π +x) = tgx cotg( π +x) = cotgx e. Cung hơn kém 2 π cos( 2 π +x) = -sinx sin( 2 π +x) = cosx tan( 2 π +x) = -tanx cotg( 2 π +x) = -cotgx I.3 Công thức cộng sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb – sina.cosb cos(a-b) = cosa.cosb + sina.cosb tg(a+b) = 1 . tga tgb tga tgb − + ;(a,b,a+b , 2 k k π π ≠ + ∈ Z ) tg(a-b) = 1 . tga tgb tga tgb + − ;(a,b,a+b , 2 k k π π ≠ + ∈ Z ) I.4 Công thức nhân I.4.1 Công thức nhân ñôi sin2a =2.sinx.cosx cos2a = cos 2 x– sin 2 x = 2. cos 2 x -1 =1- 2. sin 2 x 2 2 2 ;( , ) 1 2 tga tg a a k k tg a π π = ≠ + ∈ − Z Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 6 I.4.2 Công thức hạ bậc 2 1 sin (1 os2 ) 2 a c a = − 2 1 os (1 os2 ) 2 c a c a = + 2 1 os2 ;( , ) 1 os2 2 c a tg a a k k c a π π − = ≠ + ∈ + Z I.4.3 Công thức tính theo tg 2 a = t; ( 2 a ≠ 2 π +k π , k ∈ Z ) 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 1 t a t t a t t tga t = + − = + = − I.5 Công thức biến ñổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin .cos sin sin 2 1 cos .cos cos cos 2 1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + +     = − + +     = − − −     I.6. Công thức biến ñổi tổng thành tích sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + −     + =         + −     − =         + −     + =         + −     − = −         Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 7 II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác II.2.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản. a. Phương pháp: Dùng phép biến ñổi lượng giác tương ñương ñưa về các dạng phương trình lượng giác cơ bản ñã biết ñể giải. b. Các phương trình lượng giác cơ bản ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x v x k u x v x k u x v x k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  Z ( ) ( ) 2 cos ( ) os ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x v x k u x c v x k u x v x k π π = +  = ⇔ ∈  =− +  Z cos ( ) 0 ( ) ( ) cos ( ) 0 ( ) ( ) , u x tgu x tgv x v x u x v x k k π ≠   = ⇔ ≠   = + ∈  Z c.Ví dụ: * Ví dụ 1: os( ) sin(2 ) 0 3 2 c x x π π + + + = (1) Giải (1) cos( ) sin(2 ) cos( ) cos( 2 ) 3 2 3 2 2 cos( ) cos 2 cos( ) cos( 2 ) 3 3 2 2 2 2 3 9 3 ( ) ( ) 4 ( 2 ) 2 2 3 3 x x x x x x x x x x k x k k k x x k x k π π π π π π π π π π π π π π π π π π ⇔ + = − + ⇔ + = − − − ⇔ + = − ⇔ + = −   + = − + = +   ⇔ ∈ ⇔ ∈     + = − − + = −     Z Z Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 8 Vậy nghiệm của phương trình (1) là: 2 2 9 3 ( ) 4 2 3 x k k x k π π π π  = +  ∈   = −   Z * Ví dụ 2: 3 3 3 sin .cos sin .cos 8 x x x x− = (2) Giải: 2 2 3 1 3 sin .cos (sin cos ) .sin 2 .( cos2 ) 8 2 8 1 3 3 .sin 4 sin 4 4 8 2 sin 4 sin sin 4 sin( ) 3 3 x x x x x x x x x x π π ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − 4 2 3 12 2 ( ) ( ) 4 2 3 2 3 x k x k k k x k x k π π π π π π π π π   = − + = − +   ⇔ ∈ ⇔ ∈     = + = + +     Z Z Vậy phương trình ñã cho có 2 họ nghiệm: 12 2 ( ) 3 2 x k k x k π π π π  = − +  ⇔ ∈   = +   Z II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích. II.2.1 Phương pháp: Sử dụng các phép ñổi tương ñương ñưa phương trình ñã cho về dạng phương trình tích. Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 9 1 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 . . . ( ) 0 n i i n P x A x A x A x A x = ⇔ = =   =   ⇔     =   ∏ Giải các phương trình A i =0; Tìm nghiệm và hợp tất cả các nghiệm ñó chính là nghiệm của phương trình ban ñầu. II.2.2. Bài tập ví dụ: * Ví dụ 3) 6 4 2 os sin cos 2 0 c x x x + + = (3) Giải 4 6 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 (3) 2 os sin 2cos 1 0 2cos (cos 1) sin 1 0 2cos (cos 1) (sin 1)(sin 1) 0 2cos (cos 1) cos (sin 1) 0 cos [2(cos 1) (sin 1)] 0 cos (2cos sin 1) 0 cos (2cos cos ) 0 c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + − = ⇔ + + − = ⇔ + + − + = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ 2 2 4 2 2 1 cos cos 0 2 2cos cos 0 cos 0 cos 0 ; 2 x x x x x x x k k π π   = − =  ⇔   + =  =   ⇔ = ⇔ = + ∈Z Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là: ; 2 x k k π π = + ∈ Z * Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 2 sin 4 sin sin 3 x x x x + = + (4) Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 10 Giải 2 2 2 2 sin 2 sin 4 sin sin 3 1 os4 1 os8 1 os2 1 os6 2 2 2 2 cos4 cos8 cos 2 cos6 4 8 4 8 2 6 2 6 2cos( )cos( ) 2cos( )cos( ) 2 2 2 2 cos6 cos2 cos2 cos 4 cos2 (cos6 cos4 ) 0 cos2 0 cos6 cos4 0 x x x x c x c x c x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + − − − − ⇔ + = + ⇔ + = + + − + − ⇔ = ⇔ = ⇔ − = =  ⇔ − =  cos2 0 cos6 cos 4 2 2 4 2 6 4 2 ,( ) ,( ) 6 4 2 5 x x x x k x k x x k k x k k x x k x k π π π π π π π π =  ⇔   =    = + = +     ⇔ = + ∈ ⇔ = ∈     = − + =     Z Z Vậy phương trình (4) có nghiệm là: ; ; , 4 2 5 x k x k x k k π π π π = + = = ∈ Z III.3. Phương pháp ñặt ẩn số phụ III.3.1 Phương pháp: Có 2 cách ñặt ẩn số phụ + Cách1: ðặt một ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về một phương trình mới dễ giải hơn. + Cách 2: ðặt 2 ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về hệ phương trình ñại số rồi giải. III.3.2 Cách ñặt ẩn phụ ñối với một số loại phương trình lượng giác cơ bản. a) Phương trình bậc nhất ñối với sin và cos +Dạng phương trình: sin cos a x b x c + = (1) +ðặt 2 x t tg = ; Khi ñó: 2 2 2 2 1 sin ;cos (*) 1 1 t t x x t t − = = + + [...]... ra ⇔ x = 0 V y phương trình ñã cho m t nghi m x = 0 II.5 .Phương pháp t ng bình phương II.5.1 Phương pháp Phương pháp này s d ng các h ng ñ ng th c cơ b n như ( a ± b ) ; ( a ± b ± c ) 2 A = 0  ñưa phương trình ñã cho v d ng A + B + C = 0 ⇔  B = 0 C = 0  2 SVTH:Nguy n Th ðông 2 15 2 2 ho c Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p II.5.2 Ví d a) Ví d 9: Gi i phương trình cos2 x −... 2t 2 − 3t − 2 = 0 SVTH:Nguy n Th ðông 12 Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p t = 2 ⇔  ⇔ t = 2 t = − 1 2  1 = 2 tg x ⇔ tg x + c o t g x = 2 ⇔ tg x + ⇔ tg 2 x − 2 tg x + 1 = 0 ⇔ tg x = 1 ⇔ tg x = tg ⇔ x = π π 4 + kπ ; k ∈ Z 4 V y nghi m c a phương trình (6) là x = π 4 + kπ ; k ∈ Z II.4 .Phương pháp ñ i l p II.4.1 Phương pháp ð gi i phương trình f(x)=g(x) ta c n ch ng minh ∀x ∈ D... Thay vào phương trình (2) gi i tìm t tho (*) R i t ñó suy ra x c) Phương trình ñ i x ng lo i 2 n−1 n n −1 +D ng phương trình: f (tg x ± cot g x, tg x ± cot g x, , tgx ± cot gx) = 0 ; n ∈ Z (3) n t = tgx − c otgx, (t ∈ R) +ð t  t = tgx + c otgx, ( t ≤ 2)  Thay vào phương trình (3), ñưa phương trình (3) v phương trình ña th c theo t Gi i tìm t t ñó suy ra x III.2.2 Ví d a)Ví d 5: Gi i phương trình. .. x + 6sin 2 x Bài 6: ch ng minh các ñ ng th c sau không ph thu c vào bi n x:  cot g 2 x − cos 2 x  sin x.cos x A= + cot g 2 x cot gx   B = 3.(sin8 x − cos4 x) + 4(cos6 x − 2sin 6 x) + 6sin 4 x SVTH:Nguy n Th ðông 28 Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p Chú ý: Bài toán này ngoài cách gi i tr c ti p ta còn có th s d ng phương pháp ñ t n ph : t =sin2x cos2x = 1-t Bài 7: Cho sinx... 2 + (sin x − ) =0 2 SVTH:Nguy n Th ðông 16 Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p  π x = + k 2π  4    x = 3π + k 2π  2  π sin x =  4 ⇔ (k ∈ Z) ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z 2 ⇔ 4 sin x = cos x   x = π − x + k 2π   2    x = π + x + k 2π  2  B .Bài t p I .Các công th c và phép bi n ñ i lư ng giác cơ b n I. 1Bài t p và gi i Bài 1: Ch ng minh r ng: cos a(tg 2 a + sin.. .Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p Thay (*) vào (1) gi i tìm t T ñó suy ra x Chú ý: Trư c khi ñ t t = tg x π ta c n ph i xét x = + kπ , k ∈ Z có ph i là 2 4 nghi m c a phương trình (1) hay không b) Phương trình ñ i x ng lo i 1 n m +D ng phương trình: a (sin x ± cos x) + b(sin x cos x) + d = 0; m, n ∈ (2) t = s... phương trình lư ng giác cơ b n II.1.1 Bài t p và gi i Gi i các phương trình sau: Bài 1) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =2 Gi i: 1 + cos2 x 1 + cos4x 1 + cos6x 1 + cos8x + + + =2 2 2 2 2 ⇔ cos2 x + cos4x + cos6x + cos8x = 0 ⇔ ⇔ 2cos3 x.cos x + 2cos7 x.cos x = 0 ⇔ cos x(cos3 x + cos7 x) = 0 SVTH:Nguy n Th ðông cos x = 0 ⇔ cos3 x = −cos7 x 30 Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p  x =... a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ (a 21 + a 2 2 + + an 2 )(b 21 + b 2 2 + + bn 2 ) D u “=” x y ra khi và ch khi SVTH:Nguy n Th ðông a a1 a2 = = = n b1 b2 bn 13 có b t ñ ng th c Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p + Cách 3: Dùng phương pháp kh o sát hàm s II.4.2 Ví d 3 4 a)Ví d 7: Gi i phương trình sin x + cos = 1 (7) Gi i 2  3 sin x ≤ 1 sin x ≤ sin x ⇒ 4 ⇒ cos 4 x + sin 3 x ≤ 1 Ta... 1 SVTH:Nguy n Th ðông 27 Các phương pháp gi i phương trình lư ng giác và bài t p I.2 .Bài t p t luy n: Bài 1: Ch ng minh các bi u th c sau: a) sin 4 x + 6cos 2 x + 3cos 4 x + cos 4 x + 6sin 2 x + 3sin 4 x = 4 sin 2 a 1 − sin 2 a + + sin a.cos a + 2sin 2 a.cos 2 a b) sin a − 2cos a + 3cos a = 1 + cot ga 1 + t ga 2 4 4 Hư ng d n: Câu b) ñưa v ph i và v trái v cùng m t bi u th c Bài 2: ch ng minh r ng:... 2sin 2a Bài 14: Rút g n A = 2 + 2 + + 2 + 2 cos a Bài 15: Cho tam giác ABC: Ch ng minh r ng: a) sin A + sin B + sin C = 4cos A B C cos cos 2 2 2 2 2 2 b) sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A.cos B.cos C c) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A B C sin sin 2 2 2 d) cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A.cos B.cos C 2 2 2 II M t s phương pháp gi i phương trình lư ng giác: II.1 Phương pháp ñưa v phương trình . tổng Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 3 II .Các phương pháp giải phương trình lượng giác II. 1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản.    Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập SVTH:Nguyễn Thị ðông 7 II .Các phương pháp giải phương trình lượng giác II.2. 1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ. II.2 .Phương pháp ñưa về phương trình tích II.3 .Phương pháp ñặt ẩn số phụ II.4 phương pháp ñối lập II.5 .Phương pháp tổng bình phương B. Bài tập: Giải một số bài tập giúp nắm vững hơn các phương