Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP THỂ TÍCH TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN NÂNG CAO 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỂ TÍCH 1. Tính chất thể tích Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau ; Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ ; Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1. 2. Một số công thức tính thể tích khối đa diện Thể tích khối lập phương cạnh a 3 V=a Thể tích khối hộp chữ nhật V=abc Thể tích khối lăng trụ V=Bh Thể tích khối chóp 1 V= Bh 3 Thể tích khối chóp cụt 1 V= (B+B'+ BB')h 3 Tỉ số thể tích tứ diện ABC A'B'C' V SASBSC = V SA'SB'SC' Đường chéo của hình vuông cạnh a Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật 3 kích thước a, b, c là 2 2 2 a +b +c Đường cao của tam giác đều cạnh a là a 3 2 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều có các cạnh bên bằng nhau và có đỉnh chiếu vuông góc xuống mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của đa giác đáy ; Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều ; 1 Các dạng bài tập Thể tích hình lăng trụ 1. Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy ; 2. Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; 3. Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng ; 4. Khối lăng trụ xiên. Thể tích khối chóp 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ; 2. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy ; 3. Khối chóp đều ; 4. Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích. 2 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ CHIỀU CAO HAY CẠNH ĐÁY 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh 2BC a= và biết A’B=3a. Tính thể tích khối lăng trụ 3 V=a 2 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. 3 V=18a 3. Lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a=4, biết diện tích tam giác A’BC=8. Tính thể tích khối lăng trụ. V=8 3 3 4. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích hộp này. 3 V=4800cm 5. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và góc nhọn bằng 60 0 , đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tinh thể tích hình hộp. 3 a 6 V= 2 6. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a, tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. HD : 3 2 a 3 V= ;S=3a 4 4 7. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết BD'=a 6 . Tính thể tích lăng trụ HD : 3 V=2a 8. Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ HD : 3 2 V=240cm ;S=248cm 9. Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm. 13cm, 30cm và tổng diện tích các mặt bên là 480cm 2 . Tính thể tích lăng trụ. HD : 3 V=1080cm 10.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA’B’B có đường chéo 5a, tính thể tích lăng trụ. HD : 3 V=24a 5 11.Cho lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96cm 2 . Tính thể tích lăng trụ. HD : 3 V=64cm 12.Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5, 10, 13 , tính thể tích khối hộp này. HD :V=6 6 LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với AB=BC=a, biết A’B hợp với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích lăng trụ 3 a 3 V= 2 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A với AC=a, ACB=60 0 biết BC’ hợp với AA’C’C một góc 30 0 . Tính AC’ và thể tích lăng trụ. 3 V=a 6 3. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ tạo với đáy ABCD một góc 30 0 . Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. 3 a 6 V= 3 7 4. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và BAD=60 0 , biết AB’ hợp với đáy một góc bằng 30 0 . Tính thể tích hình hộp. 3 1 V= a 2 8 LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a, biết A’BC hợp với đáy ABC một góc bằng 60 0 . Tính thể tích lăng trụ. 3 a 3 V= 2 2. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác đều. Mặt phẳng A’BC tạo với đáy một góc bằng 30 0 , diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. V=8 3 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có đáy cạnh a và mặt phẳng BDC’ hợp với đáy ABCD.A'B'C'D' một góc bằng 60 0 . Tính thể tích hình hộp chữ nhật. 3 a 6 V= 2 9 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA’=2a, mặt phẳng A’BC hợp với đáy ABCD một góc 60 0 , A’C hợp với đáy ABCD một góc 30 0 . Tính thể tích khối hình hộp chữ nhật. 3 16a 2 V= 3 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. a. Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ 3 a 3 V= 3 a. Tính thể tích khối OBB’C’. 3 a 3 V= 12 b. Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. 2a 3 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. 3 a V= 3 10 [...]... rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của ∆ đều, tính thể tích hình chóp đều V= a 3 11 12 2 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh có độ dài là a, chứng minh khối khóp là tứ giác đều và tính thể tích khối chóp a3 2 V= 6 3 Cho khối tứ diện ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của DC Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD, tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC suy ra thể tích hình chóp... Tính thể tích của khối chóp MBCD V= 3 6 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB (KA-2006) a3 3 V= 12 F Bài toán này học sinh cần chú ý cách xác định mặt phẳng đáy, đường cao Nếu vẽ hình tốt bài toán được giải quyết đơn giản hơn... là AOO’ và đường cao BH Cách 2 Hạ B vuông góc xuống đường tròn tâm O tại F rồi chứng minh thể tích cần tìm cũng bằng thể tích AOBF, hai thể tích bằng nhau và tính ra kết quả 17 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD=ABCD=900 , AB=BC=a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp... (SAC) hợp với (ABC) một góc 450 Tính thể tích của SABC a3 HD: V= 12 9 Cho hình chóp SABC có BAC=900 ;ABC =300 ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) vuông góc (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC a2 2 HD: V= 24 10 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao SH =h và (SBC) vuông góc (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30 0 Tính thể tích hình chóp SABC 4h 3 3 HD: V= 9... 600 Tính thể tích hình chóp a3 3 V= 8 16 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 0 Tính thể tích hình chóp S.ABCD ; Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD a3 3 V= 3 a 3 AH= 2 5 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc giữa SC và đáy bằng 600 và M là trung điểm của SB 8a 3 6 Tính thể tích của... tại F Hãy xác định mp(AEMF) a3 6 Tính thể tích khối chóp S.ABCD V= 6 3 a 6 Tính thể tích khối chóp S.AEMF V= 18 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA=a 2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ a3 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD V= 3 Chứng minh SC vuông góc (AB ' D ') 2a 3 2 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ V= 9 27 6... SAMNP a 2h HD: V= 9 9 Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m 3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diện ABCDMN HD: V = 4m3 10 Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 Lấy A'trên SA sao cho SA =3SA' Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' HD: V=1m3 11 Cho... trùng với O 1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật Tính diện tích AA’B’B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ HD: 11 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a 1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ 2) Tính thể tích lăng trụ 14 HD: 12 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có cạnh bên BB’=a; BB’... chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, chứng minh rằng SABCD là 1 hình chóp đều, tính các cạnh của hình chóp nếu thể tích của nó bằng 9a 3 2 2 x=3a 8 Cho hình chóp tam giác đều SABC, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng d, góc giữa AB và mặt phẳng SBC bằng α, tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp 1 V= SABC SH 3 d SH= 2 3(3-4sinα) d2 3 2 4sinα Sxq =3SABC SABC = 9V 3d 2 Sxq= = 2 2 d... 3 27a 3 tanα 2 4 3tanα-1 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI CẠNH ĐÁY 1 Cho hình chóp SABC có SB=SC=BC=CA, hai mặt ABC và ASC cùng vuông góc với SBC, tính thể tích hình chóp a3 3 V= 12 2 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là ∆ vuông cân tại B với AC=a, biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60 Chứng minh các mặt bên là ∆ vuông, tính thể tích hình chóp a3 6 V= 24 . MỘT SỐ BÀI TOÁN THỂ TÍCH 1. Tính chất thể tích Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau ; Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó. tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ ; Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1. 2. Một số công thức tính thể tích khối đa diện Thể tích khối lập phương cạnh a 3 V=a Thể tích khối. 3 V=a Thể tích khối hộp chữ nhật V=abc Thể tích khối lăng trụ V=Bh Thể tích khối chóp 1 V= Bh 3 Thể tích khối chóp cụt 1 V= (B+B'+ BB')h 3 Tỉ số thể tích tứ diện ABC A'B'C' V