Đang tải... (xem toàn văn)
1 Chuẩn bị 1 1.1 Ôn tập về phép tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sai số làm tròn và số học máy tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Ngôn ngữ lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Giải phương trình một biến 4 2.1 Phương pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Phương pháp Newton và mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Lặp điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Phân tích sai số của các phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Tăng tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 Nghiệm của đa thức và phương pháp M ¨ uller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Nội suy và xấp xỉ bằng đa thức 11 3.1 Đa thức nội suy và đa thức Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Nội suy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.3 Đa thức Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Xấp xỉ số liệu và phương pháp Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Sai phân chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5 Nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.6 Nội suy spline bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.7 Đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Đạo hàm và tích phân bằng số 16 4.1 Đạo hàm bằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.1 Công thức hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.2 Công thức ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.3 Công thức bốn điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Ngoại suy Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Tích phân bằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3.1 Quy tắc hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3.2 Quy tắc Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.3 Công thức Newton–Cotes đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3.4 Công thức Newton–Cotes mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Tích phân Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5 Phương pháp cầu phương thích ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.6 Cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.7 Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.8 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Mục lục ii 5 Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường 24 5.1 Lý thuyết cơ bản về bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Phương pháp Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.3 Phương pháp chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.4 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.5 Phương pháp Taylor bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.6 Phương pháp Runge–Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6.1 Phương pháp Runge–Kutta bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6.2 Phương pháp trung điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6.3 Phương pháp Euler cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6.4 Phương pháp Runge–Kutta bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.6.5 Runge–Kutta bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.7 Điều khiển sai số và phương pháp Runge–Kutta–Fehlberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.8 Phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.9 Phương pháp đa bước với bước nhảy biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.10 Phương pháp ngoại suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.11 Phương trình cấp cao và hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.12 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.13 Phương trình vi phân cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 33 6.1 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1.1 Hệ ba đường chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2 Chiến thuật chốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Đại số tuyến tính và ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.4 Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.5 Phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.6 Các dạng ma trận đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Kỹ thuật lặp trong đại số tuyến tính 35 7.1 Chuẩn của véctơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.2 Giá trị riêng và véctơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.3 Lặp điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4 Kỹ thuật lặp Jacobi và Gauss–Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.5 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.6 Kỹ thuật giảm dư giải hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.7 Giới hạn sai số và tinh chỉnh phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.8 Phương pháp gradient liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8 Lý thuyết xấp xỉ 41 8.1 Xấp xỉ bình phương nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.1.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.1.2 Xấp xỉ hàm rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.1.3 Xấp xỉ hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.2 Đa thức trực giao và xấp xỉ bình phương nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.3 Đa thức Chebyshev và Economization chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.4 Xấp xỉ hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.5 Xấp xỉ đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.6 Biến đổi Fourier nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9 Xấp xỉ giá trị riêng 44 9.1 Đại số tuyến tính và giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.2 Ma trận trực giao và biến đổi đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.3 Phương pháp lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.4 Phương pháp Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.5 Thuật toán QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.6 Phân tích giá trị kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 thinhndnuce.edu.vn ii Nguyễn Đức Thịnh Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Mục lục iii 10 Nghiệm số của hệ phương trình phi tuyến 45 10.1 Điểm bất động của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10.2 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10.3 Phương pháp tựa Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10.4 Phương pháp độ dốc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10.5 Đồng luân và các phương pháp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 11 Bài toán giá trị biên của phương trình vi phân thường 46 11.1 Phương pháp bắn tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11.2 Phương pháp bắn cho bài toán phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11.3 Phương pháp sai phân hữu hạn cho bài toán tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11.4 Phương pháp sai phân hữu hạn cho bài toán phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11.5 Phương pháp Rayleigh–Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12 Nghiệm số của phương trình đạo hàm riêng 47 12.1 Phương trình đạo hàm riêng Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 12.2 Phương trình đạo hàm riêng Parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 12.3 Phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 12.4 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn .
lOMoARcPSD|2935381 Mục lục Chuẩn bị 1.1 Ôn tập phép tính 1.2 Sai số làm trịn số học máy tính 1.3 Thuật toán hội tụ 1.4 Ngơn ngữ lập trình 1 1 Giải phương trình biến 2.1 Phương pháp chia đơi 2.2 Phương pháp Newton mở rộng 2.3 Lặp điểm bất động 2.4 Phân tích sai số phương pháp lặp 2.5 Tăng tốc độ hội tụ ă 2.6 Nghim ca a thc v phng phỏp Muller 4 9 Nội suy xấp xỉ đa thức 3.1 Đa thức nội suy đa thức Lagrange 3.1.1 Nội suy tổng quát 3.1.2 Đa thức nội suy 3.1.3 Đa thức Lagrange 3.2 Xấp xỉ số liệu phương pháp Neville 3.3 Sai phân chia 3.4 Nội suy Hermite 3.5 Nội suy Newton 3.6 Nội suy spline bậc ba 3.7 Đường cong tham số 11 11 11 11 12 13 13 13 13 15 15 Đạo hàm tích phân số 4.1 Đạo hàm số 4.1.1 Công thức hai điểm 4.1.2 Công thức ba điểm 4.1.3 Công thức bốn điểm 4.2 Ngoại suy Richardson 4.3 Tích phân số 4.3.1 Quy tắc hình thang 4.3.2 Quy tắc Simpson 4.3.3 Cơng thức Newton–Cotes đóng 4.3.4 Cơng thức Newton–Cotes mở 4.4 Tích phân Romberg 4.5 Phương pháp cầu phương thích ứng 4.6 Cầu phương Gauss 4.7 Tích phân bội 4.8 Tích phân suy rộng 16 16 17 17 18 19 19 20 21 23 23 23 23 23 23 23 i Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Mục lục ii Bài tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường 5.1 Lý thuyết toán giá trị ban đầu 5.2 Phương pháp Picard 5.3 Phương pháp chuỗi Taylor 5.4 Phương pháp Euler 5.5 Phương pháp Taylor bậc cao 5.6 Phương pháp Runge–Kutta 5.6.1 Phương pháp Runge–Kutta bậc hai 5.6.2 Phương pháp trung điểm 5.6.3 Phương pháp Euler cải biên 5.6.4 Phương pháp Runge–Kutta bậc cao 5.6.5 Runge–Kutta bậc bốn 5.7 Điều khiển sai số phương pháp Runge–Kutta–Fehlberg 5.8 Phương pháp đa bước 5.9 Phương pháp đa bước với bước nhảy biến thiên 5.10 Phương pháp ngoại suy 5.11 Phương trình cấp cao hệ phương trình vi phân 5.12 Sự ổn định 5.13 Phương trình vi phân cứng 24 25 25 27 28 29 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính 6.1 Hệ phương trình tuyến tính 6.1.1 Hệ ba đường chéo 6.2 Chiến thuật chốt 6.3 Đại số tuyến tính ma trận nghịch đảo 6.4 Định thức ma trận 6.5 Phân tích ma trận 6.6 Các dạng ma trận đặc biệt 33 33 33 34 34 34 34 34 Kỹ thuật lặp đại số tuyến tính 7.1 Chuẩn véctơ ma trận 7.2 Giá trị riêng véctơ riêng 7.3 Lặp điểm bất động 7.4 Kỹ thuật lặp Jacobi Gauss–Seidel 7.5 Ma trận nghịch đảo 7.6 Kỹ thuật giảm dư giải hệ tuyến tính 7.7 Giới hạn sai số tinh chỉnh phép lặp 7.8 Phương pháp gradient liên hợp 35 35 36 36 38 39 40 40 40 Lý thuyết xấp xỉ 8.1 Xấp xỉ bình phương nhỏ 8.1.1 Bài toán tổng quát 8.1.2 Xấp xỉ hàm rời rạc 8.1.3 Xấp xỉ hàm khả tích 8.2 Đa thức trực giao xấp xỉ bình phương nhỏ 8.3 Đa thức Chebyshev [Economization] chuỗi lũy thừa 8.4 Xấp xỉ hàm hữu tỷ 8.5 Xấp xỉ đa thức lượng giác 8.6 Biến đổi Fourier nhanh 41 41 41 42 43 43 43 43 43 43 Xấp xỉ giá trị riêng 9.1 Đại số tuyến tính giá trị riêng 9.2 Ma trận trực giao biến đổi đồng dạng 9.3 Phương pháp lũy thừa 9.4 Phương pháp Householder 9.5 Thuật toán QR 9.6 Phân tích giá trị kỳ dị 44 44 44 44 44 44 44 thinhnd@nuce.edu.vn ii Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Mục lục iii 10 Nghiệm số hệ phương trình phi tuyến 10.1 Điểm bất động hàm nhiều biến 10.2 Phương pháp Newton 10.3 Phương pháp tựa Newton 10.4 Phương pháp độ dốc 10.5 Đồng luân phương pháp mở rộng 45 45 45 45 45 45 11 Bài toán giá trị biên phương trình vi phân thường 11.1 Phương pháp bắn tuyến tính 11.2 Phương pháp bắn cho toán phi tuyến 11.3 Phương pháp sai phân hữu hạn cho tốn tuyến tính 11.4 Phương pháp sai phân hữu hạn cho toán phi tuyến 11.5 Phương pháp Rayleigh–Ritz 46 46 46 46 46 46 12 Nghiệm số phương trình đạo hàm riêng 12.1 Phương trình đạo hàm riêng Elliptic 12.2 Phương trình đạo hàm riêng Parabolic 12.3 Phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic 12.4 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn 47 47 47 47 47 thinhnd@nuce.edu.vn iii Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Chương Chuẩn bị 1.1 Ơn tập phép tính 1.2 Sai số làm trịn số học máy tính 1.3 Thuật tốn hội tụ 1.4 Ngơn ngữ lập trình Để phục vụ tốt cho việc tính tốn cho ví dụ cụ thể, hay khó hơn, xây dựng cơng thức cho tốn tổng qt, ta dùng ngôn ngữ MATLAB, Mathematica, Python Thông tin MATLAB Mathematica Python Năm đời, tác giả Tác giả, công ty Hệ điều hành: Windows (1), macOS (2), Linux (3), Android (4), iOS (5), Raspberry Pi (6) Phiên năm 2021 1989 MathWorks 1986 Wolfram Research 1989 Guido van Rossum 1, 2, 1, 2, 3, tất R2021a (9.10) 49 – 150$ không kèm Toolbox 12.2 177 – 780$/năm, miễn phí (6) 3.9.5 miễn phí, mã nguồn mở 20.8 – 30.5GB 4.3 – 11.9GB 27 – 100.6MB Giá Dung lượng tải – cài đặt Windows Độ phổ biến theo số PYPL1 Độ phổ biến theo số TIOBE 1.71% 1.23% 29.9% 11.87% Python, ngồi ưu điểm mơ tả bảng trên, cịn khả tính tốn mạnh mẽ, ngơn ngữ dễ hiểu, dễ lập trình, nhiều mơi trường phát triển tích hợp (IDE), cộng đồng sử dụng lớn, Hầu hết toán đề cập sách, với hỗ trợ Python, giải ngắn gọn, mà khơng địi hỏi ta phải nhớ q nhiều kiến thức toán học Để sử dụng Python, ta thực bước: 1) Tải cài đặt Python từ địa https://www.python.org/downloads/ 2) Một IDE Python, phổ biến gồm Anaconda Pycharm, hai có phiên miễn phí có phí Trong Anaconda tích hợp Spyder có chức tương tự Pycharm Tuy nhiên, phải làm việc thường xuyên với biểu thức toán học, ta lựa chọn Jupyter Notebook, tích hợp Anaconda Bản miễn phí Anaconda địa https://www.anaconda.com/products/individual Số liệu lấy từ https://statisticstimes.com/ Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Chương Chuẩn bị Jupyter Notebook có đặc điểm: a) Chạy web, chẳng hạn, Chrome Firefox, mà lý khiến ta sử dụng khả kết xuất cơng thức tốn học trông biểu diễn lý thuyết chúng b) Thực thi cơng việc theo nhóm lệnh, thường gọi môđun Mỗi tệp gồm nhiều môđun Sau thi thực môđun này, số đối tượng lưu vào nhớ, mơđun khác sử dụng ô nhớ này, kể môđun tệp khác Điều hữu dụng ta cần kiểm thử tính tốn lập trình, cách chạy số môđun định mà biên dịch tồn tệp Tuy nhiên, đơi ta gặp trục trặc, hai môđun dùng chung ký hiệu lại có chức khác c) Jupyter Notebook có vài nhược điểm Thứ nhất, mặc định khơng có chế độ hồn thiện từ khóa gõ Ta khắc phục điều cách cài đặt Jupyter TabNine, quản lý phần mở rộng Nbextensions Các bước sau: i) Trong thực đơn Start Windows, mở Anaconda Promp, gõ lệnh cài Jupyter TabNine: python -m pip install jupyter - tabnine user ii) Gõ tiếp lệnh sau để tích hợp Jupyter TabNine vào Nbextensions: jupyter nbextension install py j up y te r_ t ab n in e user iii) Mở Jupyter Notebook, chọn thẻ Nbextensions, bỏ chọn vơ hiệu hóa Nbextensions, chọn kích hoạt Jupyter TabNine, hình d) Nhược điểm thứ hai Jupyter Notebook khả duyệt file hạn chế Cụ thể, duyệt file thư mục gốc, thư mục thư mục gốc Để khắc phục điều này, ta thay đổi thư mục gốc Nhấp chuột phải vào biểu tượng Jupyter Notebook, chọn Properties, mục Target, dò tới đoạn cuối, thay xâu nằm dấu nháy kép “ ” đường dẫn tới thư mục mà ta cần định, hình thinhnd@nuce.edu.vn Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Chương Chuẩn bị Và cuối cùng, để chạy mơđun Jupyter Notebook, mơđun trạng thái chọn, trỏ đặt đó, nhấn tổ hợp phím Shift + Enter thinhnd@nuce.edu.vn Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Chương Giải phương trình biến 2.1 Phương pháp chia đơi Xét phương trình f (x) = 0, x ∈ [a, b] Giả sử a) f ∈ C [a, b] b) f (a) f (b) < Khi a) ∃x ∗ ∈ [a, b] , f x ∗ = b) Xét dãy đoạn [an , bn ] xác định i) [a0 , b0 ] = [a, b] an + bn Nếu f (an ) f (cn ) < 0, đặt [an+1 , bn+1 ] = [an , cn ]; ngược lại, tức f (cn ) f (bn ) ≤ 0, đặt [an+1 , bn+1 ] = [cn , bn ] ii) Đặt cn = i) an , bn −−−→ x ∗ n→∞ ii) ∀xn ∈ [an , bn ] : |xn − x ∗ | ≤ bn − an = b−a (thường chọn xn = an ) 2n [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ khoảng chứa nghiệm x ∗ bn − an = bn − − an − = b−a 2n Ví dụ 2.1 Xét phương trình x + 2x − = 0, x ∈ [0, 2] a) Kiểm tra điều kiện thực phương pháp b) Xây dựng dãy đoạn chứa nghiệm sau bước c) Cho nghiệm gần với sai số 10−2 d) Cần thực bước lặp để thu nghiệm có sai số 10−6 Giải a) f (x) = x + 2x − Dễ thấy f ∈ C [0, 2]; f (0) = −1 < 0, f (2) = 11 > b, c) Bảng tính khoảng gần đánh giá sai số Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Chương Giải phương trình biến bn f (an ) n an 0 0.25 0.375 0.5 0.5 0.5 cn 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.4375 0.4375 0.453125 0.5 0.46875 0.46875 0.46875 0.453125 0.460938 0.453125 0.460938 0.457031 − − − − − − − − − f (bn ) + + + + + + + + + f (cn ) + + − − − + − + + εn 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 Khoảng chứa nghiệm sau bước [0.4375, 0.5] Nghiệm gần với sai số 10−2 x8 = a8 = 0.453125 d) 2.2 b−a 2n < 10−6 ⇒ n > log2 b−a 10−6 = 20.9316 Chọn n = 21 Phương pháp Newton mở rộng Xét phương trình f (x) = 0, x ∈ [a, b] Giả sử a) f ′ , f ′′ không đổi dấu [a, b] b) f (a) f (b) < Khi a) ∃!x ∗ ∈ (a, b) , f x ∗ = b) Xét dãy {xn }: i) x0 ∈ [a, b] saochof (x0 ) f ′′ > (thường chọn x0 a b) ii) Công thức lặp f (xn ) , n = 0, 1, xn+1 = xn − ′ f (xn ) y y = f (x) a x∗ x3 x x2 x1 (2.1) y y = f (x) a x∗ x x3x2 x1 x0 = b x0 = b i) {xn } đơn điệu lim xn = x ∗ n→∞ ii) Công thức sai số |xn − x ∗ | ≤ M 2m |xn − xn−1 | , n = 1, 2, (2.2) M ≥ |f ′′ (x)|, < m ≤ |f ′ (x)| , ∀x ∈ [a, b] thinhnd@nuce.edu.vn Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Chương Giải phương trình biến Cơng thức Newton cải biên f (xn ) xn+1 = xn − ′ f (x0 ) (2.3) có số phép tính bước tốc độ hội tụ chậm công thức Newton Nếu f ′′ không đổi dấu [a, b] f ′ đơn điệu Khi f ′ khơng đổi dấu f ′ (a) f ′ (b) > 0; kéo theo m = min{|f ′ (a)| , |f ′ (b)|} Để xác định M, khảo sát hàm số |f ′′ (x)| [a, b], thông qua miền giá trị hàm sơ cấp tính chất hàm trị tuyệt đối, đánh giá “thơ” cách đọc mức giá trị đồ thị hàm số |f ′′ (x)| Ví dụ 2.2 Cho phương trình x = x + (∗) với x ∈ [1, 4] a) Kiểm tra điều kiện thực phương pháp b) Tìm nghiệm gần sau bước (tới x3 ) c) Tìm sai số nghiệm gần ý d) Tìm nghiệm gần với sai số 10−6 , cho biết số bước lặp thực e) Tìm nghiệm gần sau bước theo công thức Newton cải biên Giải a) (∗) ⇔ f (x) = x − x − = Ta có f ′ (x) = 3x − 2x, f ′′ (x) = 6x − ≥ > 0, ∀x ∈ [1, 4] Mặt khác f ′ (1) = > 0, f ′ (4) = 40 > ⇒ f ′ (x) > 0, ∀x ∈ [1, 4] f (1) = −3 < 0, f (4) = 45 > b–d) f (4) f ′′ > ⇒ x0 = Công thức lặp f (xn ) xn3 − xn2 − xn+1 = xn − ′ = xn − f (xn ) 3xn2 − 2xn sai số |xn − x ∗ | ≤ M 2m |xn − xn−1 | =: εn |f ′′ (x)| = f ′′ (x) = 6x − ≤ 22, ∀x ∈ [1, 4] ⇒ M = 221 m = min{|f ′ (1)| , |f ′ (4)| = min{1, 40} = n xn 2.875 2.21883 1.92841 1.86641 1.86371 1.86371 εn 13.9219 4.73619 0.927734 0.0422842 0.0000803536 2.76859 · 10−10 Nghiệm gần có sai số 10−6 : x6 = 86371 f (xn ) xn3 − xn2 − d) Công thức Newton cải biên: xn+1 = xn − ′ = xn − f (x0 ) 40 Đánh giá đồ thị M = 20 + 2.5 = 22.5 thinhnd@nuce.edu.vn Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh lOMoARcPSD|2935381 Chương Giải phương trình biến n xn 2.875 2.56255 2.38103 Một ứng dụng đơn giản cơng thức Newton, tìm nghịch đảo x = f (x) = Ta có f ′ (x) = − x2 x a số thực a Xét phương trình − a = , f ′′ (x) = Theo công thức Newton x f (xn ) xn+1 = xn − ′ = xn − f (xn ) xn − −a (∗ ) = xn (2 − axn ) xn2 x0 chọn cho |1 − ax0 | < Khi − axn+1 = − a 2xn − axn2 = (1 − axn )2 n ⇒ − axn = (1 − ax0 )2 ⇒ a n − xn = (1 − ax0 )2 −−−→ a n→∞ ⇒ xn −−−→ n→∞ Ví dụ 2.3 Tính gần dấu phảy 9.347 a dãy lặp tới có hai phần tử dãy trùng tới chữ số sau Giải Với a = 9.347, chọn x0 = 0.1, ta có |1 − ax0 | = 0.0653 < Công thức lặp (∗) cho ta bảng giá trị n Một ứng dụng khác, khai x = công thức lặp √ xn 0.10653 0.106984 0.106986 a Xét phương trình f (x) = x − a = Ta có f ′ (x) = 2x, f ′′ (x) = 2, xn2 − a f (xn ) = = xn − xn+1 = xn − ′ f (xn ) 2xn Ví dụ 2.4 Tính gần √ xn + a xn Giải Chọn x0 = Ta có dãy nghiệm gần tới hai phần tử liên tiếp trùng tới chữ số sau dấu phảy: n thinhnd@nuce.edu.vn xn 1.5 1.41667 1.41422 1.41421 1.41421 Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) Nguyễn Đức Thịnh