Đang tải... (xem toàn văn)
Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình Parabolic suy biến
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. TS. Cung Thế Anh (HD1) 2. TS. Nguyễn Đình Bình (HD2) Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh và TS. Nguyễn Đình Bình. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các thầy TS. Cung Thế Anh và TS. Nguyễn Đình Bình. Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với các thầy. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Seminar Bộ môn Toán cơ bản, Đại học Bách khoa Hà Nội; Seminar Bộ môn Giải tích, Đại học Sư phạm Hà Nội và Seminar Giải tích đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường khoa học sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Cơ bản, trường Đại học Điện lực đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, các anh chị em và bạn bè. Gia đình, bạn bè luôn luôn là nguồn động viên và động lực to lớn đối với tác giả. Tác giả MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . . 26 1.4 Tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị . . . . . . . . 29 1.5 Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Một số bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 35 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . 37 3 2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L 2 (Ω) . . . . . . . . . . 43 2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Tính trơn của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L 2p−2 (Ω) . . . . . 49 2.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong D 2 0 (Ω, σ) . . . . . 56 2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . 59 Chương 3. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN 64 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . 66 3.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục . . . . . . . . 70 3.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L 2 (R N ) . . . . . 74 3.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L p (R N ) . . . . . 80 3.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong H 1 0 (R N , σ) ∩L p (R N ) 83 Chương 4. TẬP HÚT ĐỀU ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM 86 4.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Sự tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3 Sự tồn tại tập hút đều trong L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 Tính trơn của tập hút đều trong trường hợp duy nhất nghiệm và p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4.1 Tập (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hút đều . . . . . . . . . . . . 98 4 4.4.2 Tập (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ) ∩L q (Ω)) - hút đều . . . . . . 101 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiều trong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học,. . . Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ). Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây đó là Lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Lí thuyết này nằm ở giao của 3 chuyên ngành là Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảng phân loại toán học năm 2010). Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút, chẳng hạn đánh giá số 6 chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ thuộc liên tục của tập hút theo tham biến, tính trơn của tập hút, xác định các modes, . . . Tập hút toàn cục cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo của hệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ. Cụ thể với mỗi quĩ đạo cho trước của hệ và một khoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìm được một quĩ đạo nằm trên tập hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian đủ lớn của hai quĩ đạo này sai khác đủ nhỏ trên một khoảng có độ dài T . Hơn nữa, trong nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn và khi đó ta có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một nghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm trên tập hút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều về nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục. Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và thu được nhiều kết quả về lí thuyết tập hút đối với nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [27, 37, 38, 54, 85, 89] và các bài tổng quan gần đây [25, 72, 79]). Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều nhất là lớp phương trình parabolic. Lớp phương trình này mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học và sinh học như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng - khuếch tán, mô hình toán học trong sinh học quần thể, . . . Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [17, 23, 26, 33, 34, 41, 43, 48, 63, 65, 69, 77, 78, 83]). Tính liên tục của tập hút toàn cục đối với các bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình [21, 22, 23, 24, 32, 75, 76]. Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã 7 được chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến [22, 35, 80, 76, 70, 91, 93], phương trình parabolic với điều kiện biên động lực [5, 47, 51, 92, 94, 93]. Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đối với lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã khá hoàn thiện. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phương trình suy biến vẫn còn ít. Các phương trình parabolic suy biến xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều bài toán của vật lí, hóa học, sinh học, và đang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng: −∆Φ(u) hoặc −div(Φ(u)∇u), trong đó Φ(0) = 0. Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho nhiều lớp phương trình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phương trình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74, 95] và một số lớp phương trình khác [45, 49, 50]. • Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lớp phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin (xem [53]), G s u = ∆ x 1 u + |x 1 | 2s ∆ x 2 u, x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ω ⊂ R N 1 × R N 2 , s ≥ 0. Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập trong [86], sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic chứa toán tử này, trong cả hai trường hợp ôtônôm và không ôtônôm. Trong trường hợp ôtônôm, sự tồn tại 8 [...]... của tập hút toàn cục (tính trơn, sự phụ thuộc nửa liên tục trên theo số hạng phi tuyến, đánh giá số chiều fractal) đối với một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ôtônôm trên miền bị chặn Ω ⊂ RN với số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức với độ tăng tùy ý – Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và tính trơn của tập 13 hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic. .. → ∞ 1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục Kết quả sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục 23 Định lí 1.3.11 [85, Chương 1] Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X Giả sử S(t) là tiêu hao và compact tiệm cận Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của S(t) thì A = ω(B) là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t) Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong... minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic trong miền bị chặn ở chương sau Hệ quả 1.3.12 [82] Nếu nửa nhóm S(t) là tiêu hao và B là một tập hấp thụ compact thì S(t) có một tập hút toàn cục compact liên thông A = ω(B) Bây giờ ta nhắc lại một vài khái niệm và kết quả trong [96] sẽ được sử dụng trong các chương sau để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cục bằng phương pháp đánh... parabolic suy biến là những vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của Luận án với tên gọi là "Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến" 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của Luận án là nghiên cứu sự tồn tại và một số tính... giữa a∈E b∈F hai tập con E và F của X Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa Mệnh đề 1.3.7 Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A Khi đó: 1 Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại); 2 Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B (tính cực tiểu); 3 A là duy nhất Kết quả sau đây nói về cấu trúc của tập hút toàn cục Định lí 1.3.8... một số tính chất của tập hút toàn cục (bao gồm tính trơn, sự phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, ) đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli-Musina, cả trong miền bị chặn và trong toàn bộ không gian 12 3 Phương pháp nghiên cứu • Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, chúng tôi sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các bổ đề compact... Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đối với lớp phương trình suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền bị chặn khi số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức với bậc tùy ý 11 • Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với phương trình suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền không bị chặn, chẳng hạn trong toàn không gian Lúc này khó khăn cơ bản... nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp các phương trình parabolic suy biến Các kết quả và ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến khác có dạng tương tự Nội dung chính của Luận án đã được công bố trong 04 bài báo khoa 14 học, liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan... gian đủ lớn, bất kì một quĩ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như một quĩ đạo nào đó trên tập hút trong một khoảng thời gian đủ dài Định lí 1.3.9 [82] Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Cho trước một quĩ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số > 0 và một khoảng thời gian T > 0 Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ ( , T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho u(τ + t) − S(t)v0 ≤ với mọi 0 ≤ t ≤ T.. .tập hút toàn cục đã được chứng minh trong [13] khi số hạng phi tuyến là Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu Sobolev; và được chứng minh trong [14] khi số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức Trong trường hợp không ôtônôm, tức là khi ngoại lực phụ thuộc vào cả biến thời gian t và biến không gian x, sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi đối với lớp phương trình . . . 56 2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . 59 Chương 3. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN 64 3.1. THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI. nước. Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng: −∆Φ(u) hoặc