Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 I HC À NNG TRNG I HC BÁCH KHOA KHOA S PHM K THUT 0 BÀI GING HÌNH HA  GVC - ThS NGUYN  À NNG - 2005 GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 1 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 M U A. MC CH V YấU CU 1) Mc ớch Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm: Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng thng l mt phng hai chiu Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn cỏc hỡnh biu din phng ú Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gii quyt mt s vn liờn quan n chuyờn mụn. 2) Yờu cu ca hỡnh biu din Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng ng hỡnh hc ca hỡnh biu din 3) Mt s ký hiu v quy c Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau: im Ch in nh: A, B, C, ng thng Ch thng nh: a,b,c, Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa nh: , , , , A, B, C, S liờn thuc Ký hiu nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q), Vuụng gúc nh: a b Giao nh: A= d l Kt qu = nh: g= mp mp Song song // nh: d // k Trựng nh: A B B. CC PHẫP CHIU I. PHẫP CHIU XUYấN TM 1) Cỏch xõy dng Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1) Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau: V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A Ta cú cỏc nh ngha: P : Mt phng hỡnh chiu A A S P S : Tõm chiu SA : ng thng chiu hoc tia chiu A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P . Hỡnh 1 Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 2 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Chỳ ý a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh xỏc nh hỡnh ú b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ: _ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn: a // b a b = M Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng _ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn mp // mp mp mp = d 2) Tớnh cht 1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2) 2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng ng qui Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct nhau ti im M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M ca ng thng a, b) (hỡnh 3) Hỡnh 2 Hỡnh 3 P P S M' S A B B' A ' a a' a b b' a' A B B' A II. PHẫP CHIU SONG SONG 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ tn Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s A P A t s H ỡ nh 4 Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt phng hỡnh chiu P (hỡnh 4). 2) Tớnh cht Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau: GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 3 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng ng thng song song. Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5) Hỡnh 5 Hỡnh 6 P P s s a ' b ' b a C ' B ' A ' C B A 2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu ca chỳng Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú: '' '' BC AC CB CA = Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC) III. PHẫP CHIU VUễNG GểC 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu P : s P (hỡnh 7) P s Hỡnh 7 2) Tớnh cht Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau. IV. NHN XẫT Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng. Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din. Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc . ======================== GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 4 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Bài 1 IM I.  THC CA IM I.1 H thng hai mt phng hình chiu vuông góc a) Cách xây dng Trong không gian cho hai mt phng P 1 và P 2 vuông góc nhau, đ d hình dung đt P 1 nm ngang, P 2 thng đng. Ta nhn đc h thng hai mt phng hình chiu vuông góc (hình 1.1) Hình 1.1 Hình 1.2 x A x (III) Cao<0, xa <0 (II) Cao>0, xa <0 (I) Cao>0, xa >0 A X A 2 A 1 A 1 A 2 A X P 1 (IV) Cao<0, xa >0 P 2 Xét mt đim A bt k trong không gian. _ Chiu vuông góc đim A ln lt lên P 1 và P 2 ta nhn đc các hình chiu A 1 , A 2 _ Quay mp P 1 quanh trc x mt góc 90 0 theo chiu mi tên qui c nh (hình 1.1) đn trùng P 2 . Vì mp (A A 1 A 2 ) ⊥ P 1 và P 2 nên s vuông góc vi trc x ti đim A X . Do đó sau khi quay đn v trí mi ba đim A 1 , A X , A 2 thng hàng và vuông góc trc x (hình1.2) b) Các đnh ngha _ P 1 Mt phng hình chiu bng _ P 2 Mt phng hình chiu đng _ x = P 1 ∩P 2 Trc hình chiu _ A 1 Hình chiu bng ca đim A _ A 2 Hình chiu đng ca đim A _ A 1 A 2 ( ⊥ x) ng gióng _ A 1 A x  xa ca đim A, qui c dng nu A 1 nm phía di trc x _ A 2 A x  cao ca đim A, qui c dng nu A 2 nm phía trên trc x _ (A 1 , A 2 ) Cp đim hình chiu này gi là đ thc ca đim A.Tht vy t A 1 , A 2 ta có th dng li đc đim A theo th t ngc li vi cách dng đ thc ca nó  H thng P 1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phn t: _ Góc phn t 1 - Là phn không gian nm trên P 1 và trc P 2 _ Góc phn t 2 - Là phn không gian nm trên P 1 và sau P 2 _ Góc phn t 3 - Là phn không gian nm di P 1 và sau P 2 _ Góc phn t 4 - Là phn không gian nm di P 1 và trc P 2 + Mt phng phân giác 1. Là mt phng phân giác ca P 1 và P 2 đi qua góc phn t th 1 và góc phn t th 3. Nhng đim thuc mt phng phân giác1 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng đi xng nhau qua trc hình chiu x GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 5 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 + Mt phng phân giác 2. Là mt phng phân giác ca P 1 và P 2 đi qua góc phn t th 2 và góc phn t th 4. Nhng đim thuc mt phng phân giác 2 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng trùng nhau (Hình 1.3) là hình không gian biu din mt phng phân giác 1, mt phng phân giác 2 và các góc phn t ca h thng hai mt phng hình chiu vuông góc P 1 và P 2 Phân giác 2 Phân giác 1 P 2 P 2 A A 2 P 1 x A 1 x P 1 Hình 1.3 Hình 1.4 Nu ta đt trc hình chiu x vuông góc vi mt phng ca t giy thì h thng hai mt phng hình chiu P 1 , P 2 và hai mt phng phân giác 1, 2 đc biu din nh (hình 1.4) Tóm li  thc ca mt đim trong không gian là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng có th phân bit hoc trùng nhau I.2 H thng ba mt phng hình chiu vuông góc a) Cách xây dng Thêm vào mt phng P 3 vuông góc vi P 1 và P 2 , thng P 3 đt phía bên phi ngi quan sát, ta nhn đc h thng ba mt phng hình chiu vuông góc nh (hình 1.5) Hình 1.5 Hình 1.6 x A P 2 y z 0 A z A 1 P 1 x z y’ y A y A 1 45 A y A 2 A 3 A y ’ A z A 2 A x A 3 P 3 0 A x Gi y = P 1 ∩ P 3 ; z = P 2 ∩P 3 Xét mt đim A bt k trong không gian. _ Chiu vuông góc đim A ln lt lên các mt phng P 1 , P 2 , P 3 ta nhn đc các hình chiu A 1 , A 2 , A 3 . _ Quay các mp P 1 , P 3 ln lt quanh các trc x, trc z mt góc 90 0 theo chiu mi tên qui c nh (hình 1.5). Trc y đc tách ra làm hai phn, mt phn trc y theo mp P 1 đn trùng vi trc GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 6 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 z, mt phn trc y theo mp P 3 n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din nh (hỡnh1.6) b) Cỏc nh ngha _ P 3 Mt phng hỡnh chiu cnh _ A 2 A z xa cnh ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa bờn trỏi trc z _ A 3 Hỡnh chiu cnh ca im A Chỳ ý _ A 2 A z = 0 A y = 0 A y = A x A 1 _ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba ca im ú Vớ d Cho thc ca im B (B 1 , B 2 ) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B. Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b Hỡnh chiu cnh B 3 ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B y' = 0B y II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 3 lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x, y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8) Vi im A (x A , y A , z A ) bt k trong khụng gian, ta cú: _ Honh x A = 0A x : xa cnh ca im A _ Tung y A = A x A 1 : xa ca im A _ Cao z A = A 1 A : cao ca im A Nh vy Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú. P 2 P 3 0 z y x A 1 A A x y A z A x A x y B 2 B 2 B 1 x B 1 y B Z B y B Y B 3 Hỡnh 1.8 P 1 Vớ d Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B (4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng. -2 +4 y - z + B Z B Y y + z - -5 Hỡnh 1.9 +2 +3 x - x + x + y + z - A Y A X A z y - z + +4 A 1 A 2 B 2 B 1 B X thc ca cỏc im A, B c biu din nh (hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y, z . x - Trong ú: OA x = +2; OA Y = +3; OA Z = +4 OB x = +4; OB Y = -2; OB Z = -5 III. MT VI V D GII SN Vớ d 1 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 7 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Hãy v đ thc ca các đim sau: _ im A thuc mt phng P 1 _ im B thuc mt phng P 2 _ im C thuc mt phng Phân giác 1 _ im D thuc mt phng Phân giác 2 _ im E thuc trc hình chiu x Gii _ im A thuc mt phng P 1 nên có A 1 ≡ A; A 2 ∈ x _ im B thuc mt phng P 2 nên có B 2 ≡ B; B 1 ∈ x _ im C thuc mt phng phân giác 1 nên có C 1 và C 2 đi xng nhau qua trc x _ im D thuc mt phng phân giác 2 nên có D 1 ≡ D 2 _ im E thuc trc hình chiu x nên có E 1 ≡ E 2 ∈ x ; (Hình 1.10) Hình 1.10 Hình 1.11 F 2 A 1 o y y’ z x H Y ’ F Y H 3 H 2 H 1 G 2 G 3 G Y ’ G 1 F Y ’ F Y G Y F 3 F 1 E 1 ≡E 2 D 1 ≡D 2 C 1 C 2 B 1 B 2 x  Ví d 2 Cho đ thc ca các đim F, G, H (hình 1.11). Hãy v hình chiu cnh ca chúng và cho bit chúng thuc góc phn t th my? Gii Hình chiu cnh ca các đim F, G, H đc v theo chièu mi tên bt đu đi t hình chiu bng F 1 , G 1 , H 1 tip theo là mi tên đi qua hình chiu đng F 2 , G 2 , H 2 . Ta s xác đnh đc các hình chiu cnh F 3 , G 3 , H 3 ; (Hình 1.11) _ im F có đ cao dng, đ xa âm nên đim F thuc góc phn t th 2 _ im G có đ cao âm, đ xa âm nên đim G thuc góc phn t th 3 _ im H có đ cao âm, đ xa dng nên đim H thuc góc phn t th 4 ================ GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 8 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Bài 2 NG THNG I.  THC CA NG THNG  thc ca đng thng đc xác đnh bi đ thc ca hai đim thuc đng thng đó. Gi s đng thng d đc xác đnh bi hai đim A(A 1 , A 2 ) và B (B 1 , B 2 ) thì : Hai đim A 1 , B 1 xác đnh hình chiu bng d 1 ca đng thng d Hai đim A 2 , B 2 xác đnh hình chiu đng d 2 ca đng thng d (hình 2.1) B 2 d 1 d 2 A 2 B 1 A 1 x d 1 d 2 x Hình 2.1 Hình 2.2 Nu d là đng thng thng (d 1 , d 2 không vuông góc trc hình chiu x ), thì khi biu din đ thc ca đng thng d không cn biu din hai đim thuc nó (hình 2.2) .  Chú ý _ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác1 có hình chiu đng và hình chiu bng di xng nhau qua trc hình chiu x _ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác 2 có hình chiu đng và hình chiu bng trùng nhau II. CÁC V TRÍ C BIT CA NG THNG II. 1 Loi đng thng song song vi mt mt phng hình chiu 1) ng bng (h) a) nh ngha: ng bng là đng thng song song vi mt phng hình chiu bng Gi h là đng bng, ta có: h // P 1 (hình 2.3a) h 2 h 1 B 1 A 2 B 2 β A 1 A B A 1 B 1 A 2 B 2 h 1 h 2 h β x x β P 2 P 1 Hình 2.3a Hình 2.3b b) Tính cht: • Hình chiu đng ca đng bng song song vi trc x : h 2 // x (hình 2.3b) • Hình chiu bng ca đng bng hp vi trc x mt góc bng góc ca đng bng hp vi mt phng hình chiu đng : (h 1 , x) = (h , P 2 ) = β GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 9 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 • Hình chiu bng ca mt đon thng thuc đng bng, bng chính nó. Gi s A, B ∈ h ⇒ A 1 B 1 = AB (hình 2.3b) 2) ng mt (f) a) nh ngha: ng mt là đng thng song song vi mt phng hình chiu đng: Gi f là đng mt, ta có: f // P 2 (hình 2.4a) C D f 2 f 1 D 1 C 2 D 2 α C 1 f 1 f 2 f P 1 P 2 x x D 1 C 2 D 2 α α C 1 Hình 2.4a Hình 2.4b b) Tính cht • Hình chiu bng ca đng mt song song vi trc x : f 1 // x (hình 2.4b) • Hình chiu đng ca đng mt hp vi trc x mt góc bng góc ca đng mt hp vi mt phng hình chiu bng : (f 2 , x) = (f , P 1 ) = α • Hình chiu đng ca mt đon thng thuc đng mt, bng chính nó. Gi s C, D ∈ f ⇒ C 2 D 2 = CD (hình 2.4b) 3) ng cnh (p) a) nh ngha: ng cnh là đng thng song song vi mt phng hình chiu cnh: p // P 3 (hình 2.5a) Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính cht • Hình chiu đng và hình chiu bng ca đng cnh, trùng nhau và vuông góc vi trc x: p 1 ≡ p 2 ⊥ x . Hai hình chiu này cha biu din đc mt đng cnh c th trong không gian. Vì vy đ biu din mt đng cnh c th ta cn phi biu din đ thc ca hai đim thuc đng cnh đó; (hình 2.5b) biu din đng cnh p đc xác đnh bng hai đim E, F • Hình chiu cnh ca đng cnh ln lt hp vi trc y’, z các góc bng góc ca đng cnh hp vi mt phng hình chiu bng và mt phng hình chiu đng : (p 3 , y’) = (p , P 1 ) = α (p 3 , z) = (p , P 2 ) = β z x z x P 2 p 2 p 1 E 2 F 2 α E 1 P 1 α β F 1 E 3 F 3 E 1 F 1 E 2 F 2 E 3 F 3 β β α 0 y 0 y ’ y P 3 P 3 p 2 p 1 P P 3 F E • Hình chiu cnh ca mt đon thng thuc đng cnh, bng chính nó. GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 10