Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Phương trình mũ - lôgarit - Luyện thi đại học
Chuyên đề 5 Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit §1. Lũy Thừa Bài tập 5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau: a) (0, 04) −1,5 − (0, 125) − 2 3 . b) 1 16 −0,75 + 1 8 − 4 3 . c) 27 2 3 + 1 16 −0,75 − 25 0,5 . d) (−0, 5) −4 − 625 0,25 − 2 1 4 −1 1 2 . e) 81 −0,75 + 1 125 − 1 3 − 1 32 − 3 5 . f) 10 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 . g) 4 2 √ 3 − 4 √ 3−1 .2 −2 √ 3 . h) 6 25 + 4 √ 6 − 3 1 + 2 √ 6 3 1 − 2 √ 6. Lời giải. a) (0, 04) −1,5 − (0, 125) − 2 3 = 1 25 − 3 2 − 1 8 − 2 3 = 5 −2 − 3 2 − 2 −3 − 2 3 = 5 3 − 2 2 = 121. b) 1 16 −0,75 + 1 8 − 4 3 = 2 −4 − 3 4 + 2 −3 − 4 3 = 2 3 + 2 4 = 24. c) 27 2 3 + 1 16 −0,75 − 25 0,5 = 3 3 2 3 + 2 −4 − 3 4 − 5 2 1 2 = 3 2 + 2 3 − 5 = 12. d) (−0, 5) −4 − 625 0,25 − 2 1 4 −1 1 2 = − 1 2 −4 − 5 4 1 4 − 9 4 − 3 2 = 2 4 − 5 − 2 3 3 = 289 27 . e) 81 −0,75 + 1 125 − 1 3 − 1 32 − 3 5 = 3 4 − 3 4 + 5 −3 − 1 3 − 2 −5 − 3 5 = 3 −3 + 5 − 2 3 = − 80 27 . f) 10 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 = 2 2+ √ 7 .5 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 = 5 (2+ √ 7)−(1+ √ 7) = 5. g) 4 2 √ 3 − 4 √ 3−1 .2 −2 √ 3 = 2 4 √ 3 − 2 2 √ 3−2 .2 −2 √ 3 = 2 4 √ 3−2 √ 3 − 2 2 √ 3−2−2 √ 3 = 2 2 √ 3 − 1 4 . h) 6 25 + 4 √ 6 − 3 1 + 2 √ 6 3 1 − 2 √ 6 = 6 1 + 2 √ 6 2 − 3 1 + 2 √ 6 3 1 − 2 √ 6 = 0. Bài tập 5.2. Rút gọn các biểu thức sau: a) x 5 4 y + xy 5 4 4 √ x + 4 √ y . b) a 1 3 √ b + b 1 3 √ a 6 √ a + 6 √ b . c) √ a − √ b 4 √ a − 4 √ b − √ a + 4 √ ab 4 √ a + 4 √ b . d) a − b 3 √ a − 3 √ b − a + b 3 √ a + 3 √ b . e) a 2 √ 3 − 1 a 2 √ 3 + a √ 3 + a 3 √ 3 a 4 √ 3 − a √ 3 . f) a + b 3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab : 3 √ a − 3 √ b 2 . g) a − 1 a 3 4 + a 1 2 . √ a + 4 √ a √ a + 1 .a 1 4 + 1. h) a + b 3 2 a 1 2 2 3 a 1 2 − b 1 2 a 1 2 + b 1 2 a 1 2 − b 1 2 − 2 3 . 1 Lời giải. a) x 5 4 y + xy 5 4 4 √ x + 4 √ y = x.x 1 4 y + xy.y 1 4 x 1 4 + y 1 4 = xy x 1 4 + y 1 4 x 1 4 + y 1 4 = xy. b) a 1 3 √ b + b 1 3 √ a 6 √ a + 6 √ b = a 1 3 b 1 2 + b 1 3 a 1 2 a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3 b 1 6 + b 1 3 a 1 3 a 1 6 a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3 b 1 6 + a 1 6 a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3 = 3 √ ab. c) √ a − √ b 4 √ a − 4 √ b − √ a + 4 √ ab 4 √ a + 4 √ b = 4 √ a − 4 √ b 4 √ a + 4 √ b 4 √ a − 4 √ b − 4 √ a 4 √ a + 4 √ b 4 √ a + 4 √ b = 4 √ a + 4 √ b − 4 √ a = 4 √ b. d) a − b 3 √ a − 3 √ b − a + b 3 √ a + 3 √ b = 3 √ a − 3 √ b 3 √ a 2 + 3 √ ab + 3 √ b 2 3 √ a − 3 √ b − 3 √ a + 3 √ b 3 √ a 2 − 3 √ ab + 3 √ b 2 3 √ a + 3 √ b = 2 3 √ ab. e) a 2 √ 3 − 1 a 2 √ 3 + a √ 3 + a 3 √ 3 a 4 √ 3 − a √ 3 = a √ 3 − 1 a √ 3 + 1 a √ 3 a √ 3 + 1 + a 2 √ 3 a √ 3 a √ 3 − 1 a 2 √ 3 + a √ 3 + 1 = a √ 3 + 1. f) a + b 3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab : 3 √ a − 3 √ b 2 = 3 √ a + 3 √ b 3 √ a 2 − 3 √ ab + 3 √ b 2 3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab : 3 √ a − 3 √ b 2 = 1. g) a − 1 a 3 4 + a 1 2 . √ a + 4 √ a √ a + 1 .a 1 4 + 1 = ( √ a − 1) ( √ a + 1) √ a ( 4 √ a + 1) . 4 √ a ( 4 √ a + 1) √ a + 1 . 4 √ a + 1 = √ a. h) a + b 3 2 a 1 2 2 3 a 1 2 − b 1 2 a 1 2 + b 1 2 a 1 2 − b 1 2 − 2 3 = √ a 3 + √ b 3 √ a . √ a (a −b) √ a 3 + √ b 3 2 3 = (a − b) 2 3 . Bài tập 5.3. Hãy so sánh các cặp số sau a) 3 √ 10 và 5 √ 20. b) 4 √ 13 và 5 √ 23. c) 3 600 và 5 400 . d) 3 √ 7 + √ 15 và √ 10 + 3 √ 28. Lời giải. a) Ta có: 3 √ 10 > 3 √ 8 = 2 và 5 √ 20 < 5 √ 32 = 2. Do đó 3 √ 10 > 5 √ 20. b) Ta có: 4 √ 13 = 20 √ 371293 và 5 √ 23 = 20 √ 279841. Do đó 4 √ 13 > 5 √ 23. c) Ta có: 3 600 = 27 200 và 5 400 = 25 200 . Do đó 3 600 > 5 400 . d) Ta có: 3 √ 7 + √ 15 < 3 √ 8 + √ 16 = 6 và √ 10 + 3 √ 28 > √ 9 + 3 √ 27 = 6. Do đó: 3 √ 7 + √ 15 < √ 10 + 3 √ 28. Bài tập 5.4. Tính A = a + b + c + 2 √ ab + bc + a + b + c − 2 √ ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b) Lời giải. Ta có: A = √ a + c + √ b 2 + √ a + c − √ b 2 = 2 √ a + c. §2. Lôgarit Bài tập 5.5. Tính a) log 3 4 √ 3. b) 2log 27 log 1000. c) log 25 8.log 8 5. d) log 45 − 2 log 3. e) 3log 2 log 4 16 + log 1 2 2. f) log 2 48 − 1 3 log 2 27. g) 5 ln e −1 + 4 ln e 2 √ e . h) log 72 − 2 log 27 256 + log √ 108. i) log 0, 375 − 2 log √ 0, 5625. Lời giải. a) log 3 4 √ 3 = log 3 3 1 4 . b) 2log 27 log 1000 = 2log 3 3 log 10 3 = 2 3 log 3 3 = 2 3 . c) log 25 8.log 8 5 = log 5 2 8.log 8 5 = 1 2 log 5 8.log 8 5 = 1 2 . d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log 45 9 = log 5. e) 3log 2 log 4 16 + log 1 2 2 = 3log 2 log 4 4 2 + log 2 −1 2 = 3log 2 2 − log 2 2 = 2. f) log 2 48 − 1 3 log 2 27 = log 2 48 − log 2 3 = log 2 48 3 = log 2 16 = 4. g) 5 ln e −1 + 4 ln e 2 √ e = −5 ln e + 4 ln e 5 2 = −5 + 10 ln e = 5. h) log 72 − 2 log 27 256 + log √ 108 = log (8.9) − 2 (log 27 − log 256) + 1 2 log(4.27) = 20 log 2 − 5 2 log 3. i) log 0, 375 − 2 log √ 0, 5625 = log 3 8 − log 9 18 = log 2 3 . Bài tập 5.6. Đơn giản biểu thức a) log 2 4 + log 2 √ 10 log 2 20 + log 2 8 . b) log 2 24 − 1 2 log 2 72 log 3 18 − 1 3 log 3 72 . c) log 7 2 + 1 log 5 7 log 7. 2 Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit d) log a a 2 . 3 √ a. 5 √ a 4 4 √ a . e) log 5 log 5 5 5 5 √ 5 n dấu căn . f) 9 2log 3 4+4log 81 2 . g) 16 1+log 4 5 + 4 1 2 log 2 3+3log 5 5 . h) 81 1 4 − 1 2 log 9 4 + 25 log 125 8 49 log 7 2 . i) 72 49 1 2 log 7 9−log 7 6 + 5 −log √ 5 4 . Lời giải. a) log 2 4 + log 2 √ 10 log 2 20 + log 2 8 = log 2 4 √ 10 log 2 160 = 1 2 log 2 160 log 2 160 = 1 2 . b) log 2 24 − 1 2 log 2 72 log 3 18 − 1 3 log 3 72 = log 2 (8.3) − 1 2 log 2 (8.9) log 3 (2.9) − 1 3 log 3 (9.8) = 3 2 4 3 = 9 8 . c) log 7 2 + 1 log 5 7 log 7 = log 7.log 7 2 + log 7.log 7 5 = log 2 + log 5 = 1. d) log a a 2 . 3 √ a. 5 √ a 4 4 √ a = log a a 47 15 a 1 4 = log a a 173 60 = 173 60 . e) log 5 log 5 5 5 5 √ 5 n dấu căn = log 5 log 5 5 1 5 n = log 5 1 5 n = −n. f) 9 2log 3 4+4log 81 2 = 9 log 3 16+log 3 2 = 9 log 3 32 = 3 log 3 32 2 = 1024. g) 16 1+log 4 5 + 4 1 2 log 2 3+3log 5 5 = 16.16 log 4 5 + 2 log 2 3 .4 3 = 16. 4 log 4 5 2 + 3.64 = 448. h) 81 1 4 − 1 2 log 9 4 + 25 log 125 8 49 log 7 2 = 81 1 4 81 1 2 log 9 4 + 25 log 5 2 7 log 7 2 2 = 3 4 + 4 4 = 19. i) 72 49 1 2 log 7 9−log 7 6 + 5 −log √ 5 4 = 72 7 log 7 9 49 log 7 6 + 1 5 log 5 16 = 72 9 36 + 1 16 = 45 2 . Bài tập 5.7. So sánh các cặp số sau: a) log 3 6 5 và log 3 5 6 . b) log 1 2 e và log 1 2 π. c) log 2 10 và log 5 30. d) log 5 3 và log 0,3 2. e) log 3 5 và log 7 4. f) log 3 10 và log 8 57. Lời giải. a) Vì 6 5 > 5 6 và 3 > 1 nên log 3 6 5 > log 3 5 6 . b) Vì e < π và 1 2 < 1 nên log 1 2 e > log 1 2 π. c) Ta có: log 2 10 > log 2 8 = 3 và log 5 30 < log 5 125 = 3. Do đó log 2 8 > log 5 30. d) Ta có: log 5 3 > log 5 1 = 0 và log 0.3 2 < log 0.3 1 = 0. Do đó log 5 3 > log 0.3 2. e) Ta có: log 3 5 > log 3 3 = 1 và log 7 4 < log 7 7 = 1. Do đó log 3 5 > log 7 4. f) Ta có: log 3 10 > log 3 9 = 2 và log 8 57 < log 8 64 = 2. Do đó log 3 10 > log 8 57. Bài tập 5.8. Tính log 4 1250 theo a, biết a = log 2 5. Lời giải. Ta có: log 4 1250 = 1 2 log 2 2.5 4 = 1 2 (1 + 4log 2 5) = 1 2 (1 + 4a). Bài tập 5.9. Tính log 54 168 theo a, b, biết a = log 7 12, b = log 12 24. Lời giải. Ta có: log 54 168 = log 7 168 log 7 54 = log 7 (3.7.2 3 ) log 7 (2.3 3 ) = log 7 3 + 1 + 3log 7 2 log 7 2 + 3log 7 3 . Lại có: a = log 7 12 ab = log 7 24 ⇔ a = log 7 (2 2 .3) ab = log 7 (2 3 .3) ⇔ a = 2log 7 2 + log 7 3 ab = 3log 7 2 + log 7 3 ⇔ log 7 2 = ab − a log 7 3 = 3a − 2ab . Từ đó ta có: log 54 168 = 3a − 2ab + 1 + 3(ab − a) ab − a + 3(3a − 2ab) = ab + 1 a(8 − 5b) . Bài tập 5.10. Tính log 140 63 theo a, b, c, biết a = log 2 3, b = log 3 5, c = log 7 2. Lời giải. Ta có: log 140 63 = log 2 63 log 2 140 = log 2 (9.7) log 2 (4.5.7) = 2log 2 3 + log 2 7 2 + log 2 5 + log 2 7 = 2log 2 3 + log 2 7 2 + log 2 3.log 3 5 + log 2 7 . Theo giả thiết a = log 2 3, b = log 3 5, c = log 7 2, do đó: log 140 63 = 2a + 1 c 2 + ab + 1 c = 2ac + 1 2c + abc + 1 . Bài tập 5.11. Tính log 3 √ 25 135 theo a, b, biết a = log 4 75, b = log 8 45. 3 Lời giải. Ta có: log 3 √ 25 135 = 3 2 .log 5 135 = 3 2 . log 2 135 log 2 5 = 3 2 . log 2 (27.5) log 2 5 = 3 2 . 3log 2 3 + log 2 5 log 2 5 . Lại có: a = log 4 75 b = log 8 45 ⇔ a = 1 2 log 2 (3.25) b = 1 3 log 2 (9.5) ⇔ a = 1 2 log 2 3 + log 2 5 b = 2 3 log 2 3 + 1 3 log 2 5 ⇔ log 2 3 = 2b − 2 3 a log 2 5 = 4 3 a − b . Do đó: log 3 √ 25 135 = 3 2 3 2b − 2 3 a + 4 3 a − b 4 3 a − b = 3 2 . 15b − 2a 4a − 3b . Bài tập 5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log 12 18, b = log 24 54. Lời giải. Ta có: a = log 12 18 = log 2 18 log 2 12 = 1 + 2log 2 3 2 + log 2 3 ⇒ log 2 3 = 2a − 1 2 − a . Và b = log 24 54 = log 2 54 log 2 24 = 1 + 3log 2 3 3 + log 2 3 ⇒ log 2 3 = 3a − 1 3 − a . Do đó: 2a − 1 2 − a = 3b − 1 3 − b ⇔ (2a −1) (3 − b) = (2 − a) (3b − 1) ⇔ ab + 5 (a −b) = 1 (đpcm). Bài tập 5.13. Cho y = 10 1 1−log x , z = 10 1 1−log y . Chứng minh rằng x = 10 1 1−log z . Lời giải. Ta có: z = 10 1 1−log y ⇔ log z = 1 1 − log y ⇔ log y = 1 − 1 log z = log z −1 log z . Lại có: y = 10 1 1−log x ⇔ log y = 1 1 − log x ⇔ log x = 1− 1 log y = 1 − log z log z −1 = 1 1 − log z ⇔ x = 10 1 1−log z (đpcm). Bài tập 5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc) a+b+c 3 ≤ a a b b c c . Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln (abc) a+b+c 3 ≤ ln a a b b c c ⇔ a + b + c 3 (ln a + ln b + ln c) ≤ a ln a + b ln b + c ln c ⇔ 3(a ln a + b ln b + c ln c) ≥ a ln a + a ln b + a ln c + b ln a + b ln b + b ln c + c ln a + c ln b + c ln c ⇔ (a ln a + b ln b − a ln b − b ln a) + (b ln b + c ln c −b ln c − c ln b) + (c ln c + a ln a − c ln a −a ln c) ≥ 0 ⇔ (a − b)(ln a − ln b) + (b −c)(ln b −ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ 0 Xét hàm số y = ln x đồng biến trên (0; +∞) nên với mọi x, y > 0 ta có: (x − y)(ln x − ln y) ≥ 0. Từ đó ta có bất đảng thức cần chứng minh. §3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Bài tập 5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = x 2 − 2 −2 . b) y = 2 − x 2 2 7 . c) y = x 2 − x − 2 √ 2 . d) y = log 2 (5 − 2x). e) y = log 3 x 2 − 2x . f) y = log 0,4 3x+2 1−x . Lời giải. a) D = R\ ± √ 2 . b) D = − √ 2; √ 2 . c) D = (−1; 2). d) D = −∞; 5 2 . e) D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). f) D = − 2 3 ; 1 . Bài tập 5.16. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y = 3x 2 − 4x + 1 √ 2 . b) y = 3x 2 − ln x + 4 sin x. c) y = 2xe x + 3 sin 2x. d) y = log x 2 + x + 1 . e) y = ln e x 1+e x . f) y = x 2 − 1 4 e 2x . g) y = e 4x + 1 − ln x π . h) y = 2 ln x+1 4 ln x−5 . i) y = ln 2e x + ln x 2 + 3x + 5 . Lời giải. a) y = √ 2 (6x −4) 3x 2 − 4x + 1 √ 2−1 . b) y = 6x − 1 x + 4 cos x. c) y = 2e x + 2xe x + 6 cos 2x. d) y = 2x + 1 (x 2 + x + 1) ln 10 . e) y = x − ln (1 + e x ) ⇒ y = 1 − e x 1 + e x = 1 1 + e x . f) y = 1 2 e 2x + 2 x 2 − 1 4 e 2x = xe 2x . g) y = π 4e 4x − 1 x π−1 . 4 Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit h) y = 2 x (4 ln x −5) − 4 x (2 ln x + 1) (4 ln x −5) 2 = − 14 x(4 ln x −5) 2 . i) y = 2e x + 2x+3 x 2 +3x+5 2e x + ln (x 2 + 3x + 5) = − 2e x x 2 + 3x + 5 + 2x + 3 (x 2 + 3x + 5) (2e x + ln (x 2 + 3x + 5)) . Bài tập 5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y = x − e 2x trên [0; 1]. b) y = e 2x − 2e x trên [−1; 2]. c) y = (x + 1) e x trên [−1; 2]. d) y = ln 3 + 2x − x 2 trên [0; 2]. e) y = ln 4 − 3x 2 − x 4 . f) y = x 2 − ln (1 −2x) trên [−2; 0]. g) y = x 2 e −x trên [0; ln 8]. h) y = x 2 ln x trên [1; e]. i) y = 5 x + 5 1−x trên [0; log 5 8]. Lời giải. a) Ta có: y = 1 − 2e x ; y = 0 ⇔ x = ln 1 2 (loại). Lại có: y(0) = −1; y(1) = 1 − e 2 . Vậy max [0;1] y = y(0) = −1; min [0;1] y = y(1) = 1 − e 2 . b) Ta có: y = 2e 2x − 2e x ; y = 0 ⇔ x = 0 (thảo mãn). Lại có: y(−1) = e −2 − 2e −1 ; y(2) = e 4 − 2e 2 ; y(0) = −1. Vậy max [−1;2] y = y(2) = e 4 − 2e 2 ; min [−1;2] y = y(0) = −1. c) Ta có: y = (x + 2)e x ; y = 0 ⇔ x = −2 (loại). Lại có: y(−1) = 0; y(2) = 3e 2 . Vậy max [−1;2] y = y(2) = 3e 2 ; min [−1;2] y = y(−1) = 0. d) Ta có: y = 2 − 2x 3 + 2x − x 2 ; y = 0 ⇔ x = 1 (thảo mãn). Lại có: y(0) = ln 2; y(2) = ln 3; y(1) = ln 4. Vậy max [0;2] y = y(1) = ln 4; min [0;2] y = y(0) = y(2) = ln 3. e) Tập xác định: D = (−1; 1). Ta có: y = −6x − 4x 3 4 − 3x 2 − x 4 ; y = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn). Vậy ta có max D y = y(0) = ln 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất. f) Ta có: y = 2x + 2 1 − 2x ; y = 0 ⇔ x = 1(loại) x = − 1 2 . Lại có: y(−2) = 4 − ln 5; y(0) = 0; y − 1 2 = 1 4 − ln 2. Vậy max [−2;0] y = y(−2) = 4 − ln 5; min [−2;0] y = y(0) = 0. g) Ta có: y = 2xe −x − x 2 e −x ; y = 0 ⇔ x = 0 x = 2 (thỏa mãn). Lại có: y(0) = 0; y(ln 8) = − ln 8 8 ; y(2) = 4e −2 . Vậy max [0;ln 8] y = y(2) = 4e −2 ; min [0;ln 8] y = y(ln 8) = − ln 2 8 8 . h) Ta có: y = 2x ln x + x; y = 0 ⇔ x = 0 x = 1 √ e (loại). Lại có: y(1) = 0; y(e) = e 2 . Vậy max [1;e] y = y(e) = e 2 ; min [1;e] y = y(1) = 0. i) Ta có: y = 5 x ln 5 −5 1−x ln 5; y = 0 ⇔ x = 1 2 (thỏa mãn). Lại có: y(0) = 6; y (log 5 8) = 69 8 ; y 1 2 = 2 √ 5. Vậy max [0;log 5 8] y = y (log 5 8) = 69 8 ; min [0;log 5 8] y = y 1 2 = 2 √ 5. §4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ Bài tập 5.18. Giải các phương trình sau a) 2 2x−1 = 3. b) 2 x 2 −x = 4. c) 2 x 2 −x+8 = 4 1−3x . d) 3 x .2 x+1 = 72. e) 3 2x−1 + 3 2x = 108. f) 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 = 3 x + 3 x−1 + 3 x−2 . g) 3 + 2 √ 2 x+1 = 3 − 2 √ 2 2x+8 . h) 5 − 2 √ 6 x 2 −3x+2 − 5 + 2 √ 6 1−x 2 2 = 0. Lời giải. a) 2 2x−1 = 3 ⇔ 2x −1 = log 2 3 ⇔ x = 1 2 + 1 2 log 2 3. b) 2 x 2 −x = 4 ⇔ x 2 − x = 2 ⇔ x = 2 x = −1 . c) 2 x 2 −x+8 = 4 1−3x ⇔ 2 x 2 −x+8 = 2 2−6x ⇔ x 2 − x + 8 = 2 − 6x ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x = −2 x = −3 . d) 3 x .2 x+1 = 72 ⇔ 3 x .2 x .2 = 72 ⇔ 6 x = 36 ⇔ x = 2. e) 3 2x−1 + 3 2x = 108 ⇔ 3 2x . 1 3 + 3 2x = 108 ⇔ 4 3 .3 2x = 108 ⇔ 3 2x = 81 ⇔ x = 2. f) Phương trình tương đương 2 x + 2.2 x + 4.2 x = 3 x + 1 3 .3 x + 1 9 .3 x ⇔ 7.2 x = 13 9 .3 x ⇔ 2 3 x = 13 63 ⇔ x = log 2 3 13 63 . g) 3 + 2 √ 2 x+1 = 3 − 2 √ 2 2x+8 ⇔ 3 + 2 √ 2 x+1 = 3 + 2 √ 2 −2x−8 ⇔ x + 1 = −2x −8 ⇔ x = −3. h) Phương trình tương đương 5 − 2 √ 6 x 2 −3x+2 = 5 − 2 √ 6 x 2 −1 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 −1 2 ⇔ x = 1 x = 5 . 5 Bài tập 5.19. Giải các bất phương trình sau a) 2 −x 2 +3x < 4. b) 3 x+2 + 3 x−1 ≤ 28. c) 2 x+2 − 2 x+3 − 2 x+4 > 5 x+1 − 5 x+2 . d) 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 < 3 x + 3 x−1 + 3 x−2 . e) x 2x−1 < x x 2 . f) √ 5 + 2 x−1 ≥ √ 5 − 2 x−1 x+1 . g) 32 x+5 x−1 > 0, 25.128 x+17 x−3 . h) 2 x 2 .7 x 2 +1 < 7.14 2x 2 −4x+3 . Lời giải. a) 2 −x 2 +3x < 4 ⇔ −x 2 + 3x < 2 ⇔ 1 < x < 2. b) 3 x+2 + 3 x−1 ≤ 28 ⇔ 9.3 x + 1 3 .3 x ≤ 28 ⇔ 28 3 .3 x ≤ 28 ⇔ x ≤ 1. c) 2 x+2 −2 x+3 −2 x+4 > 5 x+1 −5 x+2 ⇔ 4.2 x −8.2 x −16.2 x > 5.5 x −25.5 x ⇔ −20.2 x > −20.5 x ⇔ 2 5 x < 1 ⇔ x > 0. d) Bất PT tương đương 2 x + 2.2 x + 4.2 x < 3 x + 1 3 .3 x + 1 9 .3 x ⇔ 7.2 x < 13 9 .3 x ⇔ 2 3 x < 13 63 ⇔ x > log 2 3 13 63 . e) Điều kiện x > 0; x = 1. Khi đó x 2x−1 < x x 2 ⇔ (x −1) 2x − 1 − x 2 < 0 ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1. f) Bất PT tương đương √ 5 + 2 x−1 ≥ √ 5 + 2 1−x x+1 ⇔ x −1 ≥ 1−x x+1 ⇔ x 2 +x−2 x+1 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x < −1 x ≥ 1 . g) Bất PT tương đương 2 5x+25 x−1 > 2 5x+125 x−3 ⇔ 5x+25 x−1 > 5x+125 x−3 ⇔ −110x+50 (x−1)(x−3) > 0 ⇔ x < 5 11 1 < x < 3 . h) 2 x 2 .7 x 2 +1 < 7.14 2x 2 −4x+3 ⇔ 14 x 2 < 14 2x 2 −4x+3 ⇔ x 2 < 2x 2 − 4x + 3 ⇔ x > 3 x < 1 . Bài tập 5.20. Giải các phương trình sau a) 64 x − 8 x − 56 = 0. b) (TN-08) 3 2x+1 − 9.3 x + 6 = 0. c) 2 2+x − 2 2−x = 15. d) (TN-07) 7 x + 2.7 1−x − 9 = 0. e) (D-03) 2 x 2 −x − 2 2+x−x 2 = 3. f) 3 2x+1 = 3 x+2 + √ 1 − 6.3 x + 3 2(x+1) . Lời giải. a) 64 x − 8 x − 56 = 0 ⇔ 8 x = 8 8 x = −7(vô nghiệm) ⇔ x = 1. b) 3 2x+1 − 9.3 x + 6 = 0 ⇔ 3.3 2x − 9.3 x + 6 = 0 ⇔ 3 x = 1 3 x = 2 ⇔ x = 0 x = log 3 2 . c) 2 2+x − 2 2−x = 15 ⇔ 4.2 x − 4 2 x = 15 ⇔ 4.2 2x − 15.2 x − 4 = 0 ⇔ 2 x = 4 2 x = − 1 4 (vô nghiệm) ⇔ x = 2. d) 7 x + 2.7 1−x − 9 = 0 ⇔ 7 x + 14 7 x − 9 = 0 ⇔ 7 2x − 9.7 x + 14 = 0 ⇔ 7 x = 7 7 x = 2 ⇔ x = 1 x = log 7 2 . e) PT ⇔ 2 x 2 −x − 4 2 x 2 −x = 3 ⇔ 4 x 2 −x −3.2 x 2 −x −4 = 0 ⇔ 2 x 2 −x = 4 2 x 2 −x = −1 ⇔ x 2 −x = 2 ⇔ x = 2 x = −1(vô nghiệm) . f) Đặt 3 x = t, t > 0. Phương trình trở thành: 3t 2 = 9t + √ 9t 2 − 6t + 1 ⇔ 3t 2 − 9t = |3t −1| (1). Với t ≥ 1 3 , ta có: (1) ⇔ 3t 2 − 9t = 3t −1 ⇔ t = 6+ √ 33 3 t = 6− √ 33 3 (loại) ⇒ 3 x = 6+ √ 33 3 ⇔ x = log 3 6+ √ 33 3 . Với 0 < t < 1 3 , ta có: (1) ⇔ 3t 2 − 9t = −3t + 1 ⇔ t = 3±2 √ 3 3 (loại). Vậy phương trình có nghiệm x = log 3 6+ √ 33 3 . Bài tập 5.21. Giải các bất phương trình sau a) 4 x − 3.2 x + 2 > 0. b) 32.4 x + 1 < 18.2 x . c) 5 x + 5 1−x > 6. d) 2 + √ 3 x + 2 − √ 3 x > 4. Lời giải. a) 4 x − 3.2 x + 2 > 0 ⇔ 2 x > 2 2 x < 1 ⇔ x > 1 x < 0 . b) 32.4 x + 1 < 18.2 x ⇔ 1 16 < 2 x < 1 2 ⇔ −4 < x < −1. c) 5 x + 5 1−x > 6 ⇔ 5 x + 5 5 x > 6 ⇔ 5 2x − 6.5 x + 5 > 0 ⇔ 5 x > 5 5 x < 1 ⇔ x > 1 x < 0 . d) BPT ⇔ 2 + √ 3 2x − 4. 2 + √ 3 x + 1 > 0 ⇔ 2 + √ 3 x > 2 + √ 3 2 + √ 3 x < 2 − √ 3 ⇔ x > 1 x < −1 . Bài tập 5.22. Giải các phương trình sau a) 5 − 2 √ 6 x + 5 + 2 √ 6 x = 10. b) (B-07) √ 2 − 1 x + √ 2 + 1 x − 2 √ 2 = 0. c) 7 + 3 √ 5 x + 5. 7 − 3 √ 5 x = 6.2 x . d) 5 + 2 √ 6 x + 5 − 2 √ 6 x = 10. e) 7 + 4 √ 3 x − 3 2 − √ 3 x + 2 = 0. f) 26 + 15 √ 3 x + 2 7 + 4 √ 3 x − 2 2 − √ 3 x = 1. 6 Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Lời giải. a) PT ⇔ 5 − 2 √ 6 2x − 10. 5 − 2 √ 6 x + 1 = 0 ⇔ 5 − 2 √ 6 x = 5 + 2 √ 6 5 − 2 √ 6 x = 5 − 2 √ 6 ⇔ x = −1 x = 1 . b) PT ⇔ √ 2 − 1 2x − 2 √ 2. √ 2 − 1 x + 1 = 0 ⇔ √ 2 − 1 x = √ 2 + 1 √ 2 − 1 x = √ 2 − 1 ⇔ x = −1 x = 1 . c) PT ⇔ 7+3 √ 5 2 x + 5. 7−3 √ 5 2 x = 6 ⇔ 7+3 √ 5 2 2x − 6. 7+3 √ 5 2 x + 5 = 0 ⇔ x = log 2 7+3 √ 5 2 x = log 3 7+3 √ 5 2 . d) PT ⇔ 5 + 2 √ 6 2x − 10. 5 + 2 √ 6 x + 1 = 0 ⇔ 5 + 2 √ 6 x = 5 + 2 √ 6 5 + 2 √ 6 x = 5 − 2 √ 6 ⇔ x = 2 x = −2 . e) PT ⇔ 7 + 4 √ 3 x − 3 2 − √ 3 x + 2 = 0 ⇔ 2 + √ 3 3x + 2 2 + √ 3 x − 3 = 0 ⇔ 2 + √ 3 x = 1 ⇔ x = 0. f) PT ⇔ 2 + √ 3 4x + 2 2 + √ 3 3x − 2 + √ 3 x − 2 = 0 ⇔ 2 + √ 3 x + 2 2 + √ 3 3x − 1 = 0 ⇔ x = 0. Bài tập 5.23. Giải các phương trình sau a) 3.4 x − 2.6 x = 9 x . b) 2.16 x+1 + 3.81 x+1 = 5.36 x+1 . c) 4 x+ √ x 2 −2 − 5.2 x−1+ √ x 2 −2 − 6 = 0. d) 5.2 x = 7 √ 10 x − 2.5 x . e) 27 x + 12 x = 2.8 x . f) (A-06) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0. Lời giải. a) 3.4 x − 2.6 x = 9 x ⇔ 3. 2 3 2x − 2. 2 3 x − 1 = 0 ⇔ 2 3 x = 1 2 3 x = − 1 3 (vô nghiệm) ⇔ x = 0. b) 2.16 x+1 + 3.81 x+1 = 5.36 x+1 ⇔ 2. 16 81 x+1 − 5. 4 9 x+1 + 3 = 0 ⇔ 4 9 x+1 = 1 4 9 x+1 = 3 2 ⇔ x = −1 x = − 3 2 . c) Ta có phương trình tương đương 4 x+ √ x 2 −2 − 5 2 .2 x+ √ x 2 −2 − 6 = 0 ⇔ 2 x+ √ x 2 −2 = 4 2 x+ √ x 2 −2 = − 3 2 ⇔ x + x 2 − 2 = 2 ⇔ x ≤ 2 x 2 − 2 = x 2 − 4x + 4 ⇔ x = 3 2 d) 5.2 x = 7 √ 10 x − 2.5 x ⇔ 5. 2 5 x − 7. 2 5 x + 2 = 0 ⇔ 2 5 x = 1 2 5 x = 2 5 ⇔ x = 0 x = 2 . e) 27 x + 12 x = 2.8 x ⇔ 3 2 3x + 3 2 x − 2 = 0 ⇔ 3 2 x = 1 ⇔ x = 0. f) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 ⇔ 3. 2 3 3x + 4. 2 3 2x − 2 3 x − 2 = 0 ⇔ 2 3 x = 2 3 2 3 x = −1 ⇔ x = 1. Bài tập 5.24. Giải các bất phương trình sau a) 27 x + 12 x < 2.8 x . b) 25 2x−x 2 +1 + 9 2x−x 2 +1 ≥ 34.15 2x−x 2 . c) 9 1 x − 13.6 1 x −1 + 4 1 x < 0. d) √ 9 x − 3 x+1 + 2 > 3 x − 9. e) 4−5 x 5 2x −5 x+1 +6 ≤ 1. f) 4−7.5 x 5 2x+1 −12.5 x +4 ≤ 2 3 . Lời giải. a) 27 x + 12 x < 2.8 x ⇔ 3 2 3x + 3 2 x − 2 < 0 ⇔ 3 2 x < 1 ⇔ x < 0. b) PT ⇔ 25. 25 9 2x−x 2 − 34. 5 3 2x−x 2 + 9 ≥ 0 ⇔ 5 3 2x−x 2 ≥ 1 5 3 2x−x 2 ≤ 9 25 ⇔ 2x − x 2 ≥ 0 2x − x 2 ≤ −2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 x ≥ 1 + √ 3 x ≤ 1 − √ 3 . c) 9 1 x − 13.6 1 x −1 + 4 1 x < 0 ⇔ 9 4 1 x − 13 6 . 3 2 1 x + 1 < 0 ⇔ 2 3 < 3 2 1 x < 3 2 ⇔ −1 < 1 x < 1 ⇔ x > 1 x < −1 . d) BPT ⇔ 3 x − 9 < 0 9 x − 3.3 x + 2 ≥ 0 3 x − 9 ≥ 0 9 x − 3.3 x + 2 > 9 x − 18.3 x + 81 ⇔ x < 2 0 ≤ x ≤ log 3 2 x ≥ 2 x > log 3 79 15 ⇔ 0 ≤ x ≤ log 3 2 x ≥ 2 . e) 4 − 5 x 5 2x − 5 x+1 + 6 ≤ 1 ⇔ −5 2x − 6.5 x − 2 5 2x − 5.5 x + 6 ≤ 0 ⇔ 5 x ≤ −3 − √ 7 −3 + √ 7 ≤ 5 x < 2 5 x > 3 ⇔ 5 x < 2 5 x > 3 ⇔ x < log 5 2 x > log 5 3 . f) 4 − 7.5 x 5 2x+1 − 12.5 x + 4 ≤ 2 3 ⇔ −10.5 2x + 3.5 x + 4 5.5 2x − 12.5 x + 4 ≤ 0 ⇔ 5 x ≤ − 1 2 2 5 < 5 x ≤ 4 5 5 x > 2 ⇔ log 5 2 5 < x < log 5 4 5 x > log 5 2 . 7 Bài tập 5.25. Giải các phương trình sau a) 12 + 6 x = 4.3 x + 3.2 x . b) 5 2x+1 + 7 x+1 − 175 x − 35 = 0. c) 2 x 2 −5x+6 + 2 1−x 2 = 2.2 6−5x + 1. d) (D-06) 2 x 2 +x − 4.2 x 2 −x − 2 2x + 4 = 0. e) 4 x 2 +x + 2 1−x 2 = 2 (x+1) 2 + 1. f) x 2 .2 x−1 + 2 |x−3|+6 = x 2 .2 |x−3|+4 + 2 x+1 . Lời giải. a) PT ⇔ 4 (3 − 3 x ) + 2 x (3 x − 3) = 0 ⇔ (3 x − 3) (2 x − 4) = 0 ⇔ 3 x = 3 2 x = 4 ⇔ x = 1 x = 2 . b) PT ⇔ 5 2x (5 − 7 x ) + 7 (7 x − 5) = 0 ⇔ (7 x − 5) 7 − 5 2x = 0 ⇔ 7 x = 5 5 2x = 7 ⇔ x = log 7 5 x = 1 2 log 5 7 . c) PT ⇔ 2 x 2 −5x+6 1 − 2 1−x 2 + 2 1−x 2 − 1 = 0 ⇔ 1 − 2 1−x 2 2 x 2 −5x+6 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 x = 2 x = 3 . d) PT ⇔ 2 2x 2 x 2 −x − 1 − 4 2 x 2 −x − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 −x − 1 2 2x − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 −x = 1 2 2x = 1 ⇔ x = 0 x = 1 . e) PT ⇔ 4 x 2 +x 1 − 2 1−x 2 + 2 1−x 2 − 1 = 0 ⇔ 1 − 2 1−x 2 4 x 2 +x − 1 = 0 ⇔ 2 1−x 2 = 1 4 x 2 +x = 1 ⇔ x = ±1 x = 0 . f) PT ⇔ x 2 2 x−1 − 2 |x−3|+4 + 4 2 |x−3|+4 − 2 x−1 = 0 ⇔ 2 x−1 − 2 |x−3|+4 x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 x = 4 . Bài tập 5.26. Giải các bất phương trình sau a) 12 + 6 x > 4.3 x + 3.2 x . b) 4 x 2 +x + 2 1−x 2 ≥ 2 (x+1) 2 + 1. c) 5 2x+1 + 6 x+1 > 30 + 5 x .30 x . d) 5 2x−10−3 √ x−2 − 4.5 x−5 < 5 1+3 √ x−2 . Lời giải. a) BPT ⇔ 4 (3 − 3 x ) + 2 x (3 x − 3) > 0 ⇔ (3 x − 3) (2 x − 4) > 0 ⇔ 3 x − 3 > 0 2 x − 4 > 0 3 x − 3 < 0 2 x − 4 < 0 ⇔ x > 2 x < 1 . b) BPT ⇔ 4 x 2 +x 1 − 2 1−x 2 +2 1−x 2 −1 ≥ 0 ⇔ 1 − 2 1−x 2 4 x 2 +x − 1 ≥ 0 ⇔ 2 1−x 2 ≤ 1 4 x 2 +x ≥ 1 2 1−x 2 ≥ 1 4 x 2 +x ≤ 1 ⇔ x ≥ 1 x ≤ 0 . c) BPT ⇔ 5 2x (5 − 6 x ) + 6 (6 x − 5) > 0 ⇔ (5 − 6 x ) 5 2x − 6 > 0 ⇔ 6 x < 5 5 2x > 6 6 x > 5 5 2x < 6 ⇔ 1 2 log 5 6 < x < log 6 5. d) Ta có bất phương trình tương đương 5 2 ( x−5−3 √ x−2 ) − 4.5 x−5−3 √ x−2 − 5 < 0 ⇔ 5 x−5−3 √ x−2 < 5 ⇔ 3 √ x − 2 > x −6 ⇔ x < 6 x ≥ 2 x ≥ 6 9x − 18 > (x −6) 2 ⇔ 2 ≤ x < 6 6 ≤ x < 18 ⇔ 2 ≤ x ≤ 18 Bài tập 5.27. Giải các phương trình sau a) 3 x = 11 − x. b) 2 x = x + 1. c) 3 x + 4 x = 5 x . d) 1 + 8 x 2 = 3 x . e) 5 x 2 −2x+2 + 4 x 2 −2x+3 + 3 x 2 −2x+4 = 48. f) 2 √ 3−x = −x 2 + 8x − 14. Lời giải. a) Ta có y = 3 x là hàm số đồng biến trên R còn y = 11 − x là hàm số nghịch biến trên R. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. b) Ta có phương trình tương đương 2 x − x − 1 = 0. Xét hàm số f(x) = 2 x − x − 1 có f (x) = 2 x ln 2 −1; f (x) = 0 ⇔ log 2 1 ln 2 . Vì f (x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm. Hơn nữa f (0) = f(1) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 0. c) Ta có phương trình tương đương 3 5 x + 4 5 x = 1. Lại có y = 3 5 x + 4 5 x là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. 8 Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit d) Ta có phương trình tương đương 1 3 x + 2 √ 2 3 x = 1. Lại có y = 1 3 x + 2 √ 2 3 x là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. e) Đặt x 2 − 2x + 2 = t, phương trình trở thành 5 t + 4.4 t + 9.3 t = 48 (∗). Ta có y = 5 t + 4.4 t + 9.3 t là hàm số đồng biến trên R còn y = 1 là hàm hằng. Do đó phương trình (∗) có nghiệm duy nhất t = 1. Với t = 1 ⇒ x 2 − 2x + 2 = 1 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1. f) Ta có phương trình tương đương x 2 − 8x + 2 √ 3−x + 14 = 0. Xét hàm số f(x) = x 2 − 8x + 2 √ 3−x + 14 trên (−∞; 3]. Ta có f (x) = 2x − 8 − 2 √ 3−x ln 2 2 √ 3−x < 0, ∀x < 3 nên f(x) nghịch biến trên (−∞; 3]. Lại có y = 0 là hàm hằng, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài tập 5.28. Giải các phương trình sau a) 4 x + (2x − 17) .2 x + x 2 − 17x + 66 = 0. b) 9 x + 2 (x −2) .3 x + 2x − 5 = 0. c) 9 x 2 + x 2 − 3 .3 x 2 − 2x 2 + 2 = 0. d) 3 2x − (2 x + 9) .3 x + 9.2 x = 0. Lời giải. a) Đặt 2 x = t, t > 0, phương trình trở thành t 2 + (2x − 17) t + x 2 − 17x + 66 = 0 (∗). Ta có: ∆ = (2x − 17) 2 − 4 x 2 − 17x + 66 = 25. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm t = 11 −x t = 6 −x . Với t = 11 − x ⇒ 2 x = 11 − x ⇔ x = 3; với t = 6 − x ⇒ 2 x = 6 − x ⇔ x = 2. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = 2. b) Đặt 3 x = t, t > 0, phương trình trở thành t 2 + 2 (x −2) t + 2x −5 = 0 (∗). Ta có: ∆ = (x − 2) 2 − (2x − 5) = (x − 3) 2 . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm t = −1(loại) t = 5 −2x . Với t = 5 − 2x ⇒ 3 x = 5 − 2x ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất x = 1. c) Đặt 3 x 2 = t, t > 0, phương trình trở thành t 2 + x 2 − 3 t − 2x 2 + 2 = 0 (∗). Ta có: ∆ = x 2 − 3 2 − 4 −2x 2 + 2 = (x 2 + 1) 2 . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm t = 2 t = 1 −x 2 . Với t = 2 ⇒ 3 x 2 = 2 ⇔ x = ± log 3 2; với t = 1 − x 2 ⇒ 3 x 2 = 1 − x 2 ⇔ x = 0. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0 và x = ± log 3 2. d) Đặt 3 x = t, t > 0, phương trình trở thành t 2 − (2 x + 9) t + 9.2 x = 0 (∗). Ta có: ∆ = (2 x + 9) 2 − 36.2 x = (2 x − 9) 2 . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm t = 9 t = 2 x . Với t = 9 ⇒ 3 x = 9 ⇔ x = 2; với t = 2 x ⇒ 3 x = 2 x ⇔ x = 0. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 0. Bài tập 5.29. Giải các phương trình sau a) 2 2x − √ 2 x + 6 = 6. b) 3 2x + √ 3 x + 7 = 7. c) 27 x + 2 = 3 3 √ 3 x+1 − 2. d) 7 x−1 = 6log 7 (6x − 5) + 1. Lời giải. a) Đặt u = √ 2 x + 6, u > 0, phương trình đã cho trở thành 2 2x − u = 6 (1) u 2 − 2 x = 6 (2) . Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 2 2x − u 2 − u + 2 x = 0 ⇔ (2 x − u) (2 x + u + 1) = 0 ⇔ u = 2 x . Với u = 2 x ⇒ √ 2 x + 6 = 2 x ⇔ 4 x − 2 x − 6 = 0 ⇔ 2 x = 3 2 x = −2(loại) ⇔ x = log 2 3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log 2 3. b) Đặt u = √ 3 x + 7, u > 0, phương trình đã cho trở thành 3 2x + u = 7 (1) u 2 − 3 x = 7 (2) . Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 3 2x − u 2 + u + 2 x = 0 ⇔ (3 x + u) (3 x − u + 1) = 0 ⇔ u = 3 x + 1. Với u = 3 x + 1 ⇒ √ 3 x + 7 = 3 x + 1 ⇔ 9 x + 3 x − 6 = 0 ⇔ 3 x = 2 3 x = −3(loại) ⇔ x = log 3 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log 3 2. c) Đặt u = 3 √ 3.3 x − 2, u > 0, phương trình đã cho trở thành 3 3x + 2 = 3u (1) u 3 + 2 = 3.3 x (2) . Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 3 3x − u 3 = 3u − 3.3 x ⇔ (3 x − u) 3 2 x + 3 x .u + u 2 + 3 = 0 ⇔ u = 3 x . Với u = 3 x ⇒ 3 √ 3.3 x − 2 = 3 x ⇔ 27 x − 3.3 x + 2 = 0 ⇔ 3 x = 1 3 x = −2(loại) ⇔ x = 0. 9 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. d) Đặt u − 1 = log 7 (6x − 5), phương trình trở thành 7 x−1 = 6u − 5 (1) 7 u−1 = 6x − 5 (2) . Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 7 x−1 − 7 u−1 = 6u − 6x ⇔ 7 x−1 + 6x = 7 u−1 + 6u (∗). Xét hàm số f(t) = 7 t−1 + 6t trên R có f (t) = 7 t−1 ln 7 + 6 > 0, ∀t ∈ R nên đồng biến trên R. Do đó (∗) ⇔ f(x) = f (u) ⇔ x = u ⇒ 7 x−1 = 6x − 5 ⇔ 7 x−1 − 6x + 5 = 0. Xét g(x) = 7 x−1 − 6x + 5 có g (x) = 7 x−1 ln 7 −6; g (x) = 0 ⇔ x = 1 + log 7 6 ln 7 . Vì g (x) có một nghiệm nên g(x) có tối đa hai nghiệm. Nhận thấy g(1) = g(2) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2. Bài tập 5.30. Giải các phương trình sau a) 2 x 2 = 3 x . b) 2 x 2 −4 = 3 x−2 . c) 5 x .8 x−1 x = 500. d) 8 x x+2 = 4.3 4−x . Lời giải. a) 2 x 2 = 3 x ⇔ x 2 = xlog 2 3 ⇔ x (x − log 2 3) = 0 ⇔ x = 0 x = log 2 3 . b) 2 x 2 −4 = 3 x−2 ⇔ x 2 − 4 = (x − 2) log 2 3 ⇔ (x −2) (x + 2 − log 2 3) = 0 ⇔ x = 2 x = −2 + log 2 3 . c) 5 x .8 x−1 x = 500 ⇔ 5 x−3 .2 x−3 x = 1 ⇔ x −3 + x−3 x log 5 2 = 0 ⇔ (x −3) (x − log 5 2) = 0 ⇔ x = 3 x = log 5 2 . d) 8 x x+2 = 4.3 4−x ⇔ 2 x−4 x+2 = 3 4−x ⇔ x−4 x+2 log 3 2 = 4 − x ⇔ (x − 4) (log 3 2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 4 x = −2 −log 3 2 . Bài tập 5.31. Giải các phương trình sau a) 3 x 2 = cos 2x. b) 2 |x| = sin x. c) 2 x−1 − 2 x 2 −x = (x − 1) 2 . d) 2 2x+1 + 2 3−2x = 8 log 3 (4x 2 −4x+4) . Lời giải. a) Ta có 3 x 2 ≥ 1 cos 2x ≤ 1 . Do đó phương trình tương đương với 3 x 2 = 1 cos 2x = 1 ⇔ x = 0. b) Ta có 2 |x| ≥ 1 sin x ≤ 1 . Do đó phương trình tương đương với 2 |x| = 1 sin x = 1 (vô nghiệm). c) Ta có: (x − 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 − x ≥ x − 1 ⇒ 2 x 2 −x ≥ 2 x−1 ⇒ 2 x−1 − 2 x 2 −x ≤ 0. Do đó phương trình tương đương với 2 x−1 − 2 x 2 −x = 0 (x − 1) 2 = 0 ⇔ x = 1. d) Theo bất đẳng thức AM −GM ta có: 2 2x+1 + 2 3−2x ≥ 2 √ 2 2x+1 .2 3−2x = 8. Lại có: 4x 2 − 4x + 4 = (2x − 1) 2 + 3 ≥ 3 ⇒ log 3 (4x 4 − 4x + 4) ≥ 1 ⇒ 8 log 3 (4x 4 −4x+4) ≤ 8. Do đó phương trình tương đương với 2 2x+1 + 2 3−2x = 8 8 log 3 (4x 4 −4x+4) = 8 ⇔ x = 1 2 . §5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit Bài tập 5.32. Giải các phương trình sau a) log 3 (x − 2) = 2. b) log 3 (5x + 3) = log 3 (7x + 5). c) log 2 x 2 − 1 = log 1 2 (x − 1). d) log 2 x + log 2 (x − 2) = 3. e) log 2 x 2 + 8 = log 2 x + log 2 6. f) log 3 (x + 2) + log 3 (x − 2) = log 3 5. g) log 3 x + log 4 x = log 5 x. h) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x. Lời giải. a) log 3 (x − 2) = 2 ⇔ x −2 = 9 ⇔ x = 11. b) Điều kiện: x > − 3 5 . Khi đó log 3 (5x + 3) = log 3 (7x + 5) ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = −1 (loại). c) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có phương trình tương đương: log 2 x 2 − 1 + log 2 (x − 1) = 0 ⇔ log 2 x 2 − 1 (x − 1) = 0 ⇔ x 3 − x 2 − x = 0 ⇔ x = 0(loại) x = 1+ √ 5 2 x = 1− √ 5 2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ √ 5 2 . 10 [...]... phải nghiệm của bất phương trình 11 − x > 11 − 2 = 9 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞) b) Ta có bất phương trình tương đương: 1 x 4 + √ 15 4 x ≤ 1 Nhận thấy x = 2 là nghiệm của bất phương trình Với x > 2 ta có: Với x < 2 ta có: 1 x 4 1 x 4 + + √ 15 4 √ 15 4 x < 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình x > 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình 17 Vậy bất phương trình có tập nghiệm... +∞) x x x c) Ta có bất phương trình tương đương: 1 + 2 1 + 3 1 < 1 6 3 2 Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình x 1 x 1 x Với x > 2 ta có: 6 + 2 1 + 3 2 < 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình 3 x x 1 x Với x < 2 ta có: 1 + 2 1 + 3 2 > 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình 6 3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞) d) Đặt log x = t Bất phương trình trở thành: 4.4t... Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; +∞) 0 1 2 d) Điều kiện: Khi đó ta có bất phương trình tương đương: x < −1 1 3 1 x+1 < ⇔ 2 Khi đó ta có phương trình tương đương: log2 [x (x − 2)] = 3 ⇔ x2 − 2x − 8 = 0 ⇔ x=4 x = −2(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 e) Điều kiện: x > 0 Khi đó ta có phương trình tương đương: log2 x2 + 8 = log2 (6x) ⇔ x2 − 6x + 8 = 0 ⇔ x=4 (thỏa mãn) x=2 f) Điều kiện: x > 2 Khi đó ta có phương trình tương đương: log3 x2 − 4 = log3... 5 Khi đó ta có bất phương trình tương đương: 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3 3 5 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = 3 ; 3 d) Điều kiện: x > −3 Khi đó ta có bất phương trình tương đương: log2 (x + 3) < 1 2 log (2x + 9) ⇔ log2 (x + 3) < log2 (2x + 9) ⇔ x2 + 4x < 0 ⇔ −4 < x < 0 2 2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = (−3; 0) Bài tập 5.34 Giải các phương trình sau a) log2 x2... t ⇔ x = 7t Bất phương trình trở thành: t < log3 √ √ 2 + 7t ⇔ 3t < 2 + 7 t 1 ⇔ 2 3 √ t + 7 3 t >1⇔t 0 ta có: log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) > 2 ⇒ x > 0 là nghiệm của bất phương trình Với x < 2 ta có: log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) < 2 ⇒ x < 0 không phải nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm... bất phương trình tương đương: log3 x+1 x+1 −2x + 4 ≤1⇔ ≤3⇔ ≤0⇔ x−1 x−1 x−1 x≥2 x1 c) Điều kiện: Khi đó ta có bất phương trình tương đương: x < −1 log3 log4 3x − 1 −x − 5 3x − 1 3x − 1 ≤ 0 ⇔ log4 ≤1⇔ ≤4⇔ ≤0⇔ x+1 x+1 x+1 x+1 x > −1 x ≤ −5 Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5] ∪ (1; +∞) d) Điều kiện: x > 0 Khi đó ta có bất phương. .. nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; +∞) §6 Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit Bài tập 5.46 Giải các hệ phương trình sau 3y+1 − 2x = 5 a) 4x − 6.3y + 2 = 0 log2 x2 + y 2 = 1 + log2 (xy) c) (A-09) 2 2 3x −xy+y = 81 23x = 5y 2 − 4y 4x +2x+1 2x +2 = y log2 (3y − 1) = x d) (B-2010) 4x + 2x = 3y 2 b) (D-02) Lời giải a) Ta có hệ tương đương: 3.3y = 2x + 5 (1) 4x − 6.3y + 2 = 0... < x < −2 Khi đó ta có phương trình tương đương: x < −4 x2 + 3x + 2 x2 + 7x + 12 = 24 ⇔ x4 + 10x3 + 35x2 + 50x = 0 ⇔ x=0 (thỏa mãn) x = −5 b) Điều kiện: x > −2 Khi đó ta có phương trình tương đương: x=9 log x3 + 8 = log [(x + 58) (x + 2)] ⇔ x3 + 8 = x2 + 60x + 116 ⇔ x = −2(loại) x = −6(loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 9 c) Điều kiện: x > 0; x = 1 Khi đó ta có phương trình tương đương: log2... > 2 ⇔ x < 3 ⇒ S2 = 0; 3 Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = 0; 1 ∪ (1; 3) 3 g) Điều kiện: x > log9 73 Khi đó ta có bất phương trình tương đương: log3 (9x − 72) ≤ x ⇔ 9x − 72 ≤ 3x ⇔ −8 ≤ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (log3 73; 2] h) Điều kiện: x < 2 Nhận xét rằng log3 (9 − 3x ) − 3 < 0 nên ta có bất phương trình tương đương: x − 1 ≥ log3 (9 − 3x . b 1 2 − 2 3 = √ a 3 + √ b 3 √ a . √ a (a −b) √ a 3 + √ b 3 2 3 = (a − b) 2 3 . Bài tập 5.3. Hãy so sánh các cặp số sau a) 3 √ 10 và 5 √ 20. b) 4 √ 13 và 5 √ 23. c) 3 600 và 5 400 . d) 3 √ 7 + √ 15. 5 −log √ 5 4 = 72 7 log 7 9 49 log 7 6 + 1 5 log 5 16 = 72 9 36 + 1 16 = 45 2 . Bài tập 5.7. So sánh các cặp số sau: a) log 3 6 5 và log 3 5 6 . b) log 1 2 e và log 1 2 π. c) log 2 10 và log 5 30. d). log 4 1 y = 1 x 2 + y 2 = 25 . c) (D-2010) x 2 − 4x + y + 2 = 0 2log 2 (x − 2) − log √ 2 y = 0 . d) (B -05) √ x − 1 + √ 2 − y = 1 3log 9 9x 2 − log 3 y 3 = 3 . 18 Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số